九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 与二次函数相关的新定义问题 (新版)浙教版.doc

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专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题类型之一应用型:阅读理解建模应用图4ZT11xx巴中如图4ZT1,我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,点A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,AB为半圆的直径,且抛物线的函数表达式为yx22x3,则半圆圆心M点的坐标为_. 2一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时,我们称该函数为“偶函数”如果二次函数yx2bx4是“偶函数”,该函数的图象与x轴交于点A和点B,顶点为P,那么ABP的面积是_3xx余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”,如图4ZT2所示,二次函数y1x22x2与y2x22x2是“关于y轴对称二次函数”(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点(2)二次函数y2(x2)21的“关于y轴对称二次函数”表达式为_;二次函数ya(xh)2k的“关于y轴对称二次函数”表达式为_(3)平面直角坐标系中,记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A,它们的两个顶点分别为B,C,且BC6,顺次连结点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,求“关于y轴对称二次函数”的表达式图4ZT2类型之二探究型:阅读理解尝试探究4若抛物线yax2bxc过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的函数表达式小敏写出了一个答案:y2x23x4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线yx22bxc1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式请你解答5xx衢州定义:如图4ZT3,抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A,B两点,点P在该抛物线上(点P与A,B两点不重合),若ABP的三边满足AP2BP2AB2,则称点P为抛物线yax2bxc(a0)的勾股点(1)直接写出抛物线yx21的勾股点的坐标;(2)如图,已知抛物线C:yax2bx(a0)与x轴交于A,B两点,点P(1,)是抛物线C的勾股点,求抛物线C的函数表达式;(3)在(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件SABQSABP的点Q(异于点P)的坐标图4ZT36xx嵊州市模拟在平面直角坐标系中,我们把直线yaxc称为抛物线yax2bxc的生成线,抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点,例如:抛物线yx22的生成线是直线yx2,生成点是(0,2)和(1,1)(1)若抛物线ymx25x2的生成线是直线y3xn,求m与n的值(2)已知抛物线yx23x3如图4ZT4所示,若它的一个生成点是(m,m3)求m的值若抛物线yx2pxq是由抛物线yx23x3平移所得(不重合),且同时满足以下两个条件:一是这两个抛物线具有相同的生成线;二是若抛物线yx23x3的生成点为点A,B,抛物线yx2pxq的生成点为点C,D,则ABCD.求p与q的值图4ZT47xx随州在平面直角坐标系中,我们定义直线yaxa为抛物线yax2bxc(a,b,c为常数,a0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”已知抛物线yx2x2 与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为_,点A的坐标为_,点B的坐标为_(2)如图4ZT5,M为线段CB上一动点,将ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由图4ZT5类型之三概括型:阅读理解概括拓展8xx郴州设a,b是任意两个实数,用maxa,b表示a,b两数中较大者,例如:max1,11,max1,22,max4,34,参照上面的材料,解答下列问题:(1)max5,2_,max0,3_;(2)若max3x1,x1x1,求x的取值范围;(3)求函数yx22x4与yx2的图象的交点坐标,函数yx22x4的图象如图4ZT6所示,请你在图中作出函数yx2的图象,并根据图象直接写出maxx2,x22x4的最小值图4ZT6详解详析1(1,0)解析 解x22x30得x11,x23,所以抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),所以AB4,所以点M的坐标为(1,0)28解析二次函数yx2bx4是“偶函数”,0,b0,函数表达式为yx24,令y0,则x240,解得x12,x22,A(2,0),B(2,0),AB2(2)4.令x0,则y4,点P的坐标为(0,4),ABP的面积448.3解:(1)顶点关于y轴对称,对称轴关于y轴对称(答案不唯一)(2)y2(x2)21ya(xh)2k(3)(答案不唯一)如图,由BC6,顺次连结点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,得OA8,点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(3,4)设左侧抛物线的函数表达式为ya(x3)24,将点A的坐标代入,得9a48,解得a,故y(x3)24,其“关于y轴对称二次函数”的表达式为y(x3)24.根据对称性,开口向下的抛物线也符合题意,“关于y轴对称二次函数”的表达式为y(x3)24和y(x3)24.4解:(1)答案不唯一,合理即可(2)因为抛物线的函数表达式可化为y(x22bxb2)b2c1(xb)2b2c1,所以此定点抛物线的顶点坐标为(b,b2c1)因为抛物线过定点M(1,1),将其代入函数表达式可得12bc11,解得c12b,则顶点纵坐标b2c1b212b1(b1)21,所以当b1时,b2c1的值最小为1,此时c12b1211.故抛物线的函数表达式为yx22x.5解:(1)抛物线yx21的勾股点的坐标为(0,1)(2)抛物线yax2bx过原点,即点A(0,0)如图,过点P作PGx轴于点G.点P的坐标为(1,),AG1,PG,PA2,PAG60,AB2PA4,点B的坐标为(4,0)设抛物线C的函数表达式为yax(x4),将P(1,)代入得a,yx(x4)x2x.(3)当点Q在x轴上方时,由SABQSABP知点Q的纵坐标为,则有x2x,解得x13,x21,点Q的坐标为(3,);当点Q在x轴下方时,由SABQSABP知点Q的纵坐标为,则有x2x,解得x12,x22,点Q的坐标为(2,)或(2,)综上,满足条件的点Q有3个,其坐标为(3,)或(2,)或(2,)6解:(1)抛物线ymx25x2的生成线是直线y3xn,m3,n2,n2.(2)抛物线yx23x3的一个生成点是(m,m3),m3m23m3,整理,得m24m0,解得m0或4.抛物线yx2pxq是由抛物线yx23x3平移所得(不重合),且这两个抛物线具有相同的生成线,q3.抛物线yx23x3与它生成线yx3的生成点为(0,3),(4,7),AB2(40)2(73)232.抛物线yx2px3与它生成线yx3的生成点为(0,3),(1p,4p),CD2(1p0)2(4p3)22(1p)2.ABCD,2(1p)232,p5或3.抛物线yx2px3与抛物线yx23x3不重合,p3不合题意,应舍去,p5.7解:(1)yx(2,2 )(1,0)(2)抛物线与x轴负半轴交于点C,C(3,0)过点A作AGy轴,垂足为G.当点N在y轴上时,AMN为“梦想三角形”设N(0,n),A(2,2 ),C(3,0),AC,ANAC.在RtAGN中,AG2GN2AN2,AG2,GN|n2 |,4(n2 )213,解得n2 3或n2 3.设M(m,0),当n2 3时,在RtMNO中,(2 3)2m2(m3)2,解得m22 ;当n2 3时,在RtMNO中,(2 3)2m2(m3)2,解得m22 .3m1,m22 不合题意,舍去m22 ,此时n2 3,N(0,2 3);当点M在y轴上时,AMN为“梦想三角形”,此时点M与点O重合,在RtAGM中,AG2,GM2 , ,AMG30,AMCAMNNMB60.过点N作NPx轴于点P,在RtNMP中,MNCM3,NP,OP,N.综上所述,点N的坐标为(0,2 3)或.(3)E1,F1;E2,F2.8解:(1)53(2)由题意可得3x1x1,解得x0.(3)由题意得解得交点坐标为(2,4)和(3,1)所作的函数yx2的图象如图所示由图象可知:当x3时,maxx2,x22x4有最小值1.
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