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专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2018全国,文4)若sin =,则cos 2=()A.B.C.-D.-2.已知cos(-2)sin-4=-22,则sin +cos 等于()A.-72B.72C.D.-3.ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.34B.3C.4D.64.(2018全国,文7)在ABC中,cos C2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.255.若2,3cos 2=sin4-,则sin 2的值为()A.118B.-118C.1718D.-17186.若tan-4=16,则tan =.7.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.9.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.二、思维提升训练12.若02,-20,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因为0A4,所以0sin A22,因此22-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范围是22,98.11.解 (1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.二、思维提升训练12.C解析 cos4+=13,02,sin4+=223.又cos4-2=33,-20,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sin C=12,所以C=6,故选B.14.B解析 因为cos 2=2cos2-1=,所以cos2=,sin2=.所以tan2=,tan =55.由于a,b的正负性相同,不妨设tan 0,即tan =55,由三角函数定义得a=55,b=255,故|a-b|=55.15.152104解析 如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sinDBF=104.综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.16.2113解析 因为cos A=,cos C=513,且A,C为ABC的内角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.17.233解析 由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cos A0,0A2,因为asinA=2R,所以sin A=12,A=30,所以cos A=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsin A=233.18.解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时,f(x)取到最小值-23.
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