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3.5确定圆的条件知识要点基础练知识点1确定圆的条件1.如图,在55正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A.点PB.点QC.点RD.点M【变式拓展】(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-1,-2).2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是(A)A.B.C.D.3.若AB=4 cm,则过点A,B且半径为3 cm的圆有2个.知识点2三角形的外接圆与外心4.(南京中考)过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为(A)A.4,176B.(4,3)C.5,176D.(5,3)5.如图,将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是5.6.如图,O是ABC的外接圆,sin A=35,BC=6,求O的半径.解:作直径CD,连接BD.则DBC=90,D=A,sin D=sin A=BCCD=35,CD=10,O的半径是5.7.如图,为丰富A,B,C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院M,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置.(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)解:如图.综合能力提升练8.如图,ABC内接于O,OCOB,ODAB于点D,交AC于点E,已知O的半径为1,则AE2+CE2的值为(B)A.1B.2C.3D.49.(陕西中考)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5,若P是O上的一点,在ABP中,PB=AB,则PA的长为(D)A.5B.532C.52D.5310.(扬州中考)如图,已知O是ABC的外接圆,连接AO,若B=40,则OAC=50.11.如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB,OC,若BAC和BOC互补,则弦BC的长度为43.12.如图,是一块残破的圆轮片,A,B,C是圆弧上的三点.(1)作出弧ACB所在的O;(不写作法,保留作图痕迹)(2)如果AC=BC=60 cm,ACB=120,求该残破圆轮片的半径.解:(1)作AC,BC的垂直平分线,交点O即为圆心;再以O为圆心,OA为半径画圆即可.图略.(2)连接AC,BC,OA,OB,OC.AC=BC,OA=OB,OC=OC,AOCBOC.ACB=120,ACO=BCO=60,AOC与BOC为等边三角形,OA=AC=60 cm,则该残破圆轮片的半径为60 cm.13.如图,在ABC中,AB=AC=10,BC=12,求ABC外接圆O的半径r.解:作ABC的外接圆O,直径AD交BC于点E,交圆于点D,连接BD,则ABD=90,AB=AC,ABC=C,C=D,ABC=D.BAE=DAB,ABEADB,AEB=ABD=90,BE=CE=6.AE=AB2-BE2=8.ABEADB,ABAD=AEAB,AD=AB2AE=1028=252,ABC外接圆O的半径r为254.14.(临沂中考)如图,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB;(2)若BAC=90,BD=4,求ABC外接圆的半径.解:(1)AD平分BAC,BE平分ABC,ABE=CBE,BAE=CAD,BD=CD,DBC=BAE,DBE=CBE+DBC,DEB=ABE+BAE,DBE=DEB,DE=DB.(2)连接CD.由(1)得BD=CD,CD=BD=4,BAC=90,BC是直径,BDC=90,BC=BD2+CD2=42,ABC外接圆的半径为1242=22.15.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示),公司领导让工人师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得B=45,C=30,BC=4 m.为使所做广告牌最小,工人师傅给出两种方案:(1)作ABC的外接圆;(2)以BC为直径作圆.问:哪个方案中的圆面积最小?是多少?解:如图,作ABC的外接圆O和以BC为直径的P.方案(2)中圆的面积较小.理由:ABC=45,ACB=30,BAC=180-(45+30)=105.BAC90,ABC的外接圆O的直径大于BC的长.P的直径为BC,O的直径大于BC的长,SPSO.P的半径为BP,SP=BP2,BC=4 m,BP=2 m,SP=4 m2.则圆的最小面积是4 m2.16.如图,已知P是O外一点,Q是O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若O的半径为2,OP=4,求线段OM的最小值.解:由题图可知OMOP-PM,而且OP=4是定值,所以当PM最大时OM最小.而PM=12PQ,所以当PQ最大,即PQ=6时,OM最小,此时PQ过圆心O,OM=OP-PM=4-126=1,即线段OM的最小值等于1.17.(安徽中考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分BCE.解:(1)由圆周角定理得B=E,又B=D,E=D.CEAD,D+ECD=180,E+ECD=180,AECD,四边形AECD为平行四边形.(2)作OMBC于点M,ONCE于点N.四边形AECD为平行四边形,AD=CE.又AD=BC,CE=CB,OM垂直平分BC,ON垂直平分CE,CN=CM.又OC=OC,ONC=OMC=90,ONCOMC,NCO=MCO,即CO平分BCE.拓展探究突破练18.(温州中考)如图,D是ABC的BC边上一点,连接AD,作ABD的外接圆,将ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在O上.(1)求证:AE=AB;(2)若CAB=90,cosADB=13,BE=2,求BC的长.解:(1)由折叠的性质可知ADEADC,AED=ACD,AE=AC,ABD=AED,ABD=ACD,AB=AC,AE=AB.(2)过点A作AHBE于点H,AB=AE,BE=2,BH=EH=1,ABE=AEB,ABE=AEB=ADB,cosADB=13,cosABE=cosADB=13,BHAB=13,AC=AB=3.BAC=90,AC=AB,BC=32.
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