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专题1探索规律问题常考类型分析专题类型突破类型1 数式规律一、数与数阵规律【例1】观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( )A23 B75 C77 D139【解析】 上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11，左边的数为21,22,23，b2664.上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，a116475.满分技法通过所给的特例所列举的数字或数字本身的变化，或者在数表、数轴、坐标、图形中的变化，找出共性或者与自然序数的关系确定变化后的结果，列出通式，再代入求值二、算式变化规律【例2】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10， 这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，这样的数称为“正方形数”从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是( ) A13310 B25916 C361521 D491831【解析】 按照以下环节进行思考：(1)从“形”的角度来看，“正方形数”依次为：112,422,932,1642,2552，即从1开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数”，依次为：1,123,1236,123410,1234515，即从1开始的连续正整数相加的和；(2)从“数”的角度来看，等式规律用字母表示出来：如果用n2表示“正方形数”，则等式表示为 (3)对以上结论进行证明： (4)对照图示规律或者等式特征，可知选C.满分技法探索算式或等式的规律，一般要将每个式子中相同位置上的数字进行比较，发现其变化特征，用表示算式序号的字母表示出来，通常以选择题或填空题的形式出现满分变式必练1.按照一定规律排列的n个数：2,4，8,16，32,64，若最后三个数的和为768，则n为( ) A9 B10 C11 D12解析：B，由题意，得第n个数为(2)n，那么(2)n2(2)n1(2)n768.当n为偶数时，整理，得32n2768.解得n10；当n为奇数时，整理，得32n2768，无解n10.2.如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如 ，表示a1a2a3，则a1的最小值为( )A32 B36 C38 D40解析：D，a1a2a3a4a5a5a6a7a8a8a9a8a9a9a10a73(a8a9)a10，要使a1取得最小值，则a8a9应尽可能的小，取a82，a94.a5a8a96，则a7，a10中不能有6.若a108，则a6a9a1012.a714，则a414216，a216622，a361218，a1182240.综上，a1的最小值为40.3.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3451为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从12为第二次“移位”若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 .解析：3。若小宇从编号为2的顶点开始，第1次“移位”他应走2个边长，到达编号为4的顶点；第2次“移位”应走4个边长，到达编号为3的顶点；第3次“移位”应走3个边长，到达编号为1的顶点；第4次“移位”应走1个边长，到达编号为2的顶点，依此类推，4次“移位”为一个循环组，返回编号为2的顶点.10422.所以第10次“移位”为第3个循环组的第2次“移位”到达编号为3的顶点 4.已知 则a8 .解析：由题意给出的5个数可知，5.观察下列式子：13122；79182；25271262；79811802；可猜想第xx个式子为(3xx2)3xx1(3xx1)2.解析：。观察发现，第n个等式可以表示为(3n2)3n1(3n1)2，当nxx时，(3xx2)3xx1(3xx1)2.6.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：则xx在第 行解析：45。由观察可知第n行最大一个数为n2.4421936,4522025，xx在第45行7.观察下列各个等式的规律：第一个等式： 第二个等式： 第三个等式：请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的类型2 图形变化规律【例3】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有3个菱形，第个图形中一共有7个菱形，第个图形中一共有13个菱形，按此规律排列下去，第个图形中菱形的个数为( )A73 B81 C91 D109【解析】 第个图形中共有3个菱形，3122；第个图形中共有7个菱形，7223；第个图形中共有13个菱形，13324；第n个图形中菱形的个数为n2n1.第个图形中菱形的个数为929191.满分技法解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，列出通式，最后确定相应图形的元素特征满分变式必练1.用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( )A3n B6n C3n6 D3n3解析：D第一个图需棋子336；第二个图需棋子3239；第三个图需棋子33312；.第n个图需棋子(3n3)个2.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图2，图3)，则图6中挖去三角形的个数为( )A121 B362 C364 D729解析：C。图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(13)个小三角形，图3挖去中间的(1332)个小三角形，则图6挖去中间的(1332333435)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形3.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )A6 B5 C3 D2解析：B。由观察可知，从开始每3次变换完成后，正方体骰子就恢复到初始位置因此，连续完成9次变换后，正方体骰子恢复到初始位置10331，第10次的情况如题中图所示，可见骰子朝上一面的点数是5.4.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是( )A11 B12 C13 D14解析：B。第1个图形有1个小圆；第2个图形有123个小圆；第3个图形有1236个小圆；第4个图形有123410个小圆；第n个图形有123n 个小圆第n个图形中“”的个数是78，78 解得n112，n213(不合题意，舍去)类型3 图象变化规律【例4】如图，一段抛物线：yx(x3)(0x3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180得C3，交x 轴于点A3；如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m .【解析】 C1：yx(x3)(0x3)；C2：y(x3)(x6)(3x6)；C3：y(x6)(x9)(6x9)；C4：y(x9)(x12)(9x12)；C13：y(x36)(x39)(36x39)，当x37时，y2，则m2.满分技法从图象的变化或者变换方式与次数中，寻找规律，一般要利用数形结合的思想进行研究，通常以选择题或填空题的形式出现 满分变式必练1.如图，过点A0(2,0)作直线l：y 的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3l，垂足为点A3，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，则线段AxxAxx的长为( )2.如图，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PxxAxxAxx是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，都在函数y 的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，AxxAxx都在x轴上，则Axx的坐标为 . 3.二次函数 的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，A100在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，B100在二次函数 位于第一象限的图象上，若A0B1A1，A1B2A2，A2B3A3，A99B100A100都为等边三角形，则A99B100A100的边长为 .
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