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直角三角形与勾股定理 19直角三角形与勾股定理限时:30分钟夯实基础1.xx柳州 如图K19-1,图中直角三角形共有()图K19-1A.1个B.2个C.3个D.4个2.xx滨州 在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.83.xx眉山 将一副直角三角尺按如图K19-2所示的位置放置,使含30角的三角尺的一条直角边和含45角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上,则的度数是()图K19-2A.45B.60C.75D.854.xx黄冈 如图K19-3,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD等于()图K19-3A.2B.3C.4D.25.如图K19-4,在ABC中,BF平分ABC,AFBF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长,交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为()图K19-4A.2B.3C.4D.56.xx聊城 如图K19-5是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上.如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()图K19-5A.2B.3C.4D.57.如图K19-6是一个艺术窗的一部分,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为5 cm,则正方形A,B,C,D的面积和是.图K19-68.如图K19-7所示,在ABC中,BAC=106,EF,MN分别是AB,AC的垂直平分线,点E,N在BC上,则EAN=.图K19-79.如图K19-8,在ABC中,C=90,AD平分CAB,交CB于点D,过点D作DEAB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图K19-8能力提升10.xx青岛 如图K19-9,在三角形纸片ABC中,AB=AC,BAC=90,点E为AB的中点,沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是()图K19-9A.322B.32C.3D.3311.如图K19-10,矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE沿直线BE折叠后得到GBE,延长BG,交CD于点F.若AB=6,BC=46,则FD的长为()图K19-10A.2B.4C.6D.2312.xx吉林 如图K19-11,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为.图K19-1113.xx黄冈 如图K19-12,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计).图K19-1214.如图K19-13,在ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF,交CD于点M,连接AM.(1)求证:EF=12AC;(2)若BAC=45,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.图K19-13拓展练习 15.已知点P是RtABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)如图K19-14,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是,QE与QF的数量关系是;(2)如图,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;(3)如图,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形,并给予证明.图K19-14参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.B解析 如图所示,使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,故选B.7.25 cm2解析 如图所示,根据勾股定理可知,S正方形2+S正方形3=S正方形1,S正方形C+S正方形D=S正方形3,S正方形A+S正方形B=S正方形2,S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形3+S正方形2=S正方形1=52=25(cm2).8.32解析 在ABC中,BAC=106,B+C=180-BAC=180-106=74.EF,MN分别是AB,AC的垂直平分线,B=BAE,C=CAN,即B+C=BAE+CAN=74.EAN=BAC-(BAE+CAN)=106-74=32.9.解:(1)证明:在ABC中,C=90,AD平分CAB,DEAB,CD=DE,AED=C=90,CAD=EAD.在ACD和AED中,CAD=EAD,C=AED,CD=DE,ACDAED.AC=AE.(2)DEAB,点E为AB的中点,AD=BD.B=DAB=CAD.C=90,3B=90,B=30.DE=CD=4,DEB=90,BD=2DE=8.由勾股定理,得BE=82-42=43.10.B解析 沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,B=EAF=45.AFB=90.点E为AB的中点,EF=12AB.又EF=32,AB=AC=3.BAC=90,BC=32+32=32.故选B.11.B12.(-1,0)解析 由题意知,OA=4,OB=3,AC=AB=5,OC=1.点C的坐标为(-1,0).13.20解析 如图,将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A,连接AB,则AB即为最短距离,AB=AD2+BD2=162+122=20(cm).14.解:(1)证明:CD=CB,E为BD的中点,CEBD.AEC=90.又F为AC的中点,EF=12AC.(2)BAC=45,AEC=90,ACE=BAC=45.AE=CE.又F为AC的中点,EFAC.EF为AC的垂直平分线.AM=CM.AM+DM=CM+DM=CD.又CD=CB,AM+DM=BC.15.解:(1)AEBFQE=QF(2)QE=QF.证明:如图,延长FQ,交AE于点D.AECP,BFCP,AEBF.1=2.又3=4,AQ=BQ,AQDBQF.QD=QF.AECP,QE为斜边FD的中线.QE=12FD=QF.(3)(2)中的结论仍然成立.证明:如图,延长EQ,FB交于点D.AECP,BFCP,AEBF.1=D.又2=3,AQ=BQ,AQEBQD.QE=QD.BFCP,FQ为斜边DE的中线.QF=12DE=QE.
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