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小专题(三)与切线有关的证明和计算1.在证明圆的切线问题时,常见的辅助线作法:(1)若所给直线与圆有一个公共点,则连接圆心与该公共点得半径,证半径与直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;(2)若题目未明确指出直线与圆有公共点,则过圆心作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径”.2.遇到有切线的条件,常见辅助线作法:连接过切点的半径,运用切线的性质构造直角三角形,再应用三角形的知识求解,解题中常用圆周角定理、垂径定理、勾股定理等进行角度或线段转化,从而化未知为已知,求出未知的角和线段.类型1与切线有关的计算角度问题1.(常州中考)如图,AB是O的直径,MN是O的切线,切点为N,如果MNB=52,则NOA的度数为(A)A.76B.56C.54D.522.(宜昌中考)如图,直线AB是O的切线,C为切点,ODAB交O于点D,点E在O上,连接OC,EC,ED,则CED的度数为(D)A.30B.35C.40D.453.直线AB与O相切于点B,C是O与OA的交点,D是O上的动点(点D不与点B,C重合),若A=40,则BDC的度数是(A)A.25或155B.50或155C.25或130D.50或130提示:当点D在优弧BC上时,BDC=12BOC=25;当点D在劣弧BC上时,BDC=180-25=155.4.如图,已知PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,P=40,则BAC的大小是(D)A.70B.40C.50D.205.已知A,B,C是O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,过点C作O的切线,交AB的延长线于点D.(1)如图1,求ADC的大小;(2)如图2,过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与AB交于点F,连接AF,求FAB的大小.解:(1)CD是O的切线,OCD=90.四边形OABC是平行四边形,OCAD,ADC=180-OCD=180-90=90.(2)连接OB,由圆的性质知OA=OB=OC.四边形OABC是平行四边形,OC=AB,OA=OB=AB,OAB是等边三角形,AOB=60.OFCD,OFAD,由垂径定理,得AF=BF,FAB=12BOF=14AOB=15.类型2与切线有关的计算长度问题6.如图,BC为半圆O的直径,D为半圆上一点,过点D作半圆O的切线AD,作BADA于点A,BA交半圆于点E,已知BC=10,AD=4,若直线CE与以O为圆心,r为半径的圆相切,则r等于(C)A.2B.2.5C.3D.3.57.如图,O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切O于点Q,则PQ的最小值为(B)A.3B.5C.3D.28.如图,直线AB与O相切于点A,AC,CD是O的两条弦,且CDAB,若O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为(D)A.10B.8C.43D.459.如图,AB=AC=8,BAC=90,直线l与以AB为直径的O相切于点B,D是直线l上任意一动点,连接DA交O于点E.(1)当点D在AB上方且BD=6时,求AE的长;(2)当CE恰好与O相切时,求BD的长.解:(1)连接BE.AB为直径,AEB=90,BD为切线,ABBD,ABD=90,在RtABD中,AD=AB2+BD2=82+62=10,12BEAD=12ABBD,BE=ABBDAD=8610=245,在RtABE中,AE=AB2-BE2=82-2452=325.(2)如图,连接OC,OE.BAC=90,CA为O的切线,CE为O的切线,CA=CE,OA=OE,OC垂直平分AE,1+3=90,1+2=90,2=3,AB=CA,CAO=ABD,ABDCAO,BD=AO=4.类型3与切线有关的证明问题10.如图,C为以AB为直径的O上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分BAD.证明:连接OC.OA=OC,ACO=CAO,CD切O于点C,COCD.又ADCD,ADCO,DAC=ACO,DAC=CAO,AC平分BAD.11.如图,AD是ABC的高,且AD=12BC,E,F分别为AB,AC的中点,以EF为直径作圆O,试判断圆O与BC的位置关系,并说明理由.解:圆O与BC相切.理由:过点O作OPBC,垂足为P.E,F分别为AB,AC的中点,EF为ABC的中位线,EF=12BC,EFBC.AD=12BC,EF=AD.OPAD=BEAB=12,OP=12AD=12EF.EF为圆O的直径,OP为圆O的半径,圆O与BC相切.12.如图,AB,BC,CD分别与O相切于点E,F,G,且ABCD,BO=6,CO=8.(1)判断OBC的形状,并证明你的结论;(2)求BC的长;(3)求O的半径OF的长.解:(1)OBC是直角三角形.证明:AB,BC,CD分别与O相切于点E,F,G,OBE=OBF=12EBF,OCG=OCF=12GCF,ABCD,EBF+GCF=180,OBF+OCF=90,BOC=90,OBC是直角三角形.(2)在RtBOC中,BO=6,CO=8,BC=BO2+CO2=10.(3)BC与O相切于点F,OFBC,SOBC=12BOCO=12BCOF,OF=BOCOBC=6810=4.8.
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