九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的角试题 （新版）青岛版.doc

与圆有关的角 角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论2：圆内接四边形的对角互补。说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。示例：如图，AB是O的切线，B为切点，AO与O交于点C，若BAO=40，则OCB的度数为（ ）A. 40 B. 50 C. 65 D. 75解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。解：AB是O的切线，OBA=90，O=90BAO=9040=50，又OB=OC，OCB=OBC=（18050）=65，故选C。例题 已知直线l与O，AB是O的直径，ADl于点D。（1）如图，当直线l与O相切于点C时，若DAC=30，求BAC的大小；（2）如图，当直线l与O相交于点E、F时，若DAE=18，求BAF的大小。解析：（1）连接OC，由已知及切线的性质推ADOC，进而根据OA=OC，推DAC、ACO、CAO的关系；（2）连接BF，根据已知条件利用直角三角形两直角互余求建立等量关系，再根据圆内接四边形对角互补转化关系，最后求BAF。答案：解：（）如图，连接OC。直线l与O相切于点C时，OCl，得OCD=90。由ADl，得ADC=90。ADOC，ACO=DAC，在O中，由OA=OC，得BAC=ACO，BAC=DAC=30；（）如图，连接BF。AB为O直径，FAB+B=90。ADl，DAE+AED=90。AED+AEF=180，又在O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有AEF+B=180，AED =B，FAB=DAE。DAE=18，BAF=18。点拨：1. 有切线和切点，常做切半径作为辅助线，转移相关的角；2. 直径对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补等性质是在圆中推导角的关系时常用的性质。圆中的角在开放性问题中的应用满分训练 如图，ABC内接于O，且AB为O的直径。ACB的平分线CD交O于点D，过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F。（1）求证：DPAB；（2）试猜想线段AE、EF、BF之间有何数量关系，并加以证明；解析：（1）题须作“经过切点的半径”，是圆中解决和切线有关的问题时常用的辅助线；理顺各角间的关系是解答本题的关键。（2）题须证明ADEDBF，利用圆周角定理找出ADBD是解答本题的关键；答案：（1）证明：连接OD。PD切O于点D，ODPD，ODP90ACDBCD，AOD2ACD，BOD2BCD，AODBODAOB18090，ODPBOD，PDAB。（2）答：BFAEEF。证明如下：AB是O的直径，ADBADEBDF90。AECD，BFCD，AEDBFD90，FBDBDF90，FBDADE。AODBOD，ADBD，ADEDBF。BFDE，AEDF，BFAEDEDFEF，即BFAEEF。点拨：由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半径，构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，来寻求圆周角和圆心角之间的关系。（答题时间：30分钟）1. （黔西中考）如图1所示，线段AB是O的直径，点C是O上一点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB2，AD1，P点在切线CD上移动。当APB的度数最大时，则ABP的度数为（ ）A. 15 B. 30 C. 60 D. 903. （广东中考）如图，ABCD的顶点A、B、D在O上，顶点C在O的直径BE上，ADC=54，连接BE，则AEB的度数为（ ）A. 36 B. 46 C. 27 D. 634. 如图，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，BMO=120，则C的半径长（ ）A. 6 B. 5 C. 3 D. 35. 如图，O是ABC的外接圆，已知ABO40，则ACB的大小为（ ）A. 40 B. 30 C. 50 D. 606. 如图，已知ABC内接于O，BC是O的直径，MN与O相切，切点为A，若MAB=30。则B= 度。7. 如图，PA、PB分别切O于点A、B，若P=70，则C的大小为 。8. （济南中考）如图，AB是O的直径，点D在O上，BAD=35，过点D作O的切线交AB的延长线于点C，则C=_度。9. 在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD。求D的度数。10. 如图AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点E，K为上一动点，AK、DC的延长线相交于点F，连接CK、KD。求证：AKDCKF 1. A 解析：连接OC，CE为切线，OCE=90，COE=40，E=50。故选A。2. B 解析：如图所示，连接OD，BD，由切线的性质可知，ODCD，OAODAD1。AOD为等边三角形，DAOAOD60，CDA906030，又DCA906030，当APB的度数最大时，P点移动到D点的位置，即CDADCA30。ABD30。故答案为B。3. A 解析：四边形ABCD是平行四边形，B=ADC=54。BE是O的直径，BAE=90，AEB=90B=9054=36。故选A。 4. C 解析：连结OC，点A、B、M、O四点共圆，BMO +BAO=180，BMO=120，BAO=60，AC=OC，OAC是等边三角形。OC=OA=3。故本题选C。5. C 解析：在O中，OAOB，所以ABOBAO40，所以AOB100，所以ACBAOB50。故选C。6. 60 解析：连接OA，则OAMN，由于MAB=30，所以OAB=9030=60，而OA=OB，所以B=OAB=60。7. 55 解析：如图，连接OA、OB，PA、PB分别切O于点A、B，PAO=PBO=90，又P=70，AOB=36090270=110，C=。8. 20 解析：连接OD，则ODC=90，DOC=2BAD=70，因此C=9070=20。9. 解析：连接BD，ABO是直径，BD AD。又CFAD，BDCF，BDC=C。又BDC=BOC，C=BOC，ABCD，C=30，ADC60。10. 解析：证明：连接AD，CKF是圆内接四边形ADCK的外角，CKFADC，AB为O的直径，弦CDAB，。ADCAKD。AKDCKF