九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 巧用抛物线对称性解题 （新版）浙教版.doc

巧用抛物线对称性解题类型之一二次函数与三角形的综合图3ZT11如图3ZT1，抛物线yx22x3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_2如图3ZT2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA8，ABAC10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足SCOESADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式图3ZT23如图3ZT3，已知二次函数yax2bx3(a0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断ABC的形状图3ZT34如图3ZT4，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求MAB的面积；(3)求MCB的面积图3ZT45如图3ZT5，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点(1)求该抛物线的函数表达式；(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P，且点P在x轴上方若SPAB8，请求出此时点P的坐标图3ZT56如图3ZT6，一小球从斜坡上点O抛出，球的抛出路线可以用二次函数yx24x刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画(1)请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标；(2)小球的落点是A，求点A的坐标；(3)连结抛物线的最高点P与点O，A得POA，求POA的面积；(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(点M与点P不重合)，使MOA的面积等于POA的面积，请直接写出点M的坐标图3ZT6类型之二二次函数与特殊四边形的综合图3ZT77边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75得正方形OABC(如图3ZT7)，使点B恰好落在函数yax2(a0)的图象上，则a的值为()ABC2 D8如图3ZT8，在平面直角坐标系中，二次函数yax2c(a0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是_图3ZT8图3ZT99二次函数yx2的图象如图3ZT9，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数yx2的图象上，四边形OBAC为菱形，且OBA120，则菱形OBAC的面积为_10如图3ZT10，在平面直角坐标系中，抛物线yax2x2过点B(1，0)(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y轴的交点C的坐标及与x轴的另一交点A的坐标；(3)以AC为边在第二象限画正方形ACPQ，求P，Q两点的坐标图3ZT1011如图3ZT11，已知抛物线yx2x2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标(2)E是此抛物线上的点，F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图3ZT11详解详析1(1，2)或(1，2)解析PCD是以CD为底的等腰三角形，点P在线段CD的垂直平分线l上如图，作CD的垂直平分线交抛物线于点P1，P2，交y轴于点E，则E为线段CD的中点抛物线yx22x3与y轴交于点C，C(0，3)，而D(0，1)，点E的坐标为(0，2)，点P的纵坐标为2.在yx22x3中，令y2，可得x22x32，解得x1，点P的坐标为(1，2)或(1，2)2解：如图，过点D作DGx轴于点G.OA8，ACAB10，A(0，8)，BOOC6，B(6，0)，C(6，0)SCOESADE，SCBDSAOB8624，BC24，解得4，D为AB的中点，D(3，4)联合C点坐标可求得直线CD的函数表达式为yx，E.设过B，C，E三点的抛物线的函数表达式为ya(x6)(x6)，将E代入，得a，过点B，C，E的抛物线的函数表达式为y(x6)(x6)x2.3解：(1)把A(3，0)，B(4，1)代入yax2bx3中，得解得该二次函数的表达式为yx2x3.(2)ABC是直角三角形理由：过点B作BDx轴于点D，易知点C的坐标为(0，3)，OAOC，OAC45.又点B的坐标为(4，1)，ADBD，DAB45，BAC180454590，ABC是直角三角形4解：(1)A(1，0)，B(5，0)，可设表达式为ya(x1)(x5)将C(0，5)代入，得a1，抛物线的函数表达式为y(x1)(x5)x24x5.M(2，9)(2)SMABAB6927.(3)过点M作MDy轴于点D，则SMCBS梯形MDOBSDCMSCOB(25)9245515.5解：(1)抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，方程x2bxc0的两根为x1或x3，13b，13c，b2，c3，该抛物线的函数表达式是yx22x3.(2)yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，4)(3)设点P的纵坐标为yP，SPAB8，AB|yP|8.AB314，|yP|4，yP4.点P在x轴上方，yP4.把yP4代入表达式，得4x22x3，解得x12 ，点P的坐标为(12 ，4)或(12 ，4)6解：(1)yx24x(x24x)(x24x4)4(x2)24，最高点P的坐标为(2，4)(2)点A的坐标满足方程组解得或点A的坐标为.(3)如图，过点P作PBx轴交OA于点B，则点B的坐标为(2，1)，PB3，SPOASOPBSAPB323.(4)如图，过点P作PMOA交抛物线于点M，连结OM，则MOA的面积等于POA的面积设直线PM的函数表达式为yxb，直线PM过点P(2，4)，2b4，解得b3，直线PM的函数表达式为yx3.根据题意，可列方程组解得 或点M的坐标为.7D解析 如图，过点B作BEx轴于点E，连结OB.依题意得AOE75，AOB45，BOE30.OA1，OB.OEB90，BEOB，OE，点B的坐标为.将其代入yax2(a0)，得a.故选D.82解析 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OAc，四边形ABOC是正方形，AOBC，ADOD，ABD，ACD是等腰直角三角形，ADOD.ABD是等腰直角三角形，BD.BD，OD，点B的坐标为(，)将点B的坐标代入二次函数表达式yax2c，可得ac，整理，得ac2.92 解析 连结BC交OA于点D.四边形OBAC为菱形，BCOA.OBA120，OBD60，ODBD.设BDt，则ODt，B.把B(t，t)代入yx2，得tt2，解得t10(舍去)，t21.BD1，OD，BC2BD2，OA2OD2 ，菱形OBAC的面积为22 2 .10解：(1)将B(1，0)代入yax2x2，得a20，a，抛物线的函数表达式为yx2x2.(2)当y0时，x2x20，解得x11，x23.当x0时，y2，抛物线与x轴的另一交点A的坐标为(3，0)，与y轴的交点C的坐标为(0，2)(3)如图，过点P，Q分别作PHy轴，QGx轴，H，G分别为垂足四边形ACPQ是正方形，易知AOCQGACHP，AOQGCH3，OCGAHP2，P(2，5)，Q(5，3)11解：(1)当x0时，y2，C(0，2)当y0时，x2x20，解得x14，x22，B(4，0)，A(2，0)(2)易得对称轴为直线x1.当AB为对角线时，如图，图由点F的横坐标为1，易知点E的横坐标也是1，E(1，)，AEBF的面积为AB2；当AB为边时，如图，图AB6，EF6，E(5，)或E(7，)，以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积为AB6.综上，以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积为或.(3)存在，设点M的坐标为(1，t)A(2，0)，C(0，2)，AC2，MC，AM.当ACMC时，2，解得t2，即M(1，2)或M(1，2)；当MCAM时，解得t1，即M(1，1)；当ACAM时，2，此方程无解综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得ACM是等腰三角形，点M的坐标为(1，2)或(1，2)或(1，1)