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27.2.1三角形相似第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似一、学习目标：1理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；2会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.二、学习重难点：运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题探究案三、教学过程课堂导入相似三角形的判定：课堂探究知识点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似问题 利用刻度尺和量角器画ABC与A1B1C1，使A=A1，ABA1B1和ACA1C1都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角B与B1，C与C1是否相等？ 合作探究如图ABC和A1B1C1中，ABA1B1=ACA1C1A=A1求证： ABCA1B1C1归纳总结判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例题解析例1 根据下列条件,判断ABC和ABC是否相似,并说明理由.A=120,AB=7cm, AC=14cm. A =120, AB=3cm, AC=6cm.小试牛刀1. 已知：如图，在ABC中，C90，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE9，AD15，连接DE.若BC6，AC8，求证：ABCDBE.知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应用例题解析例2 如图，在ABC中，AB16，AC8，在AC上取一点D，使AD3，如果在AB上取点E，使ADE和ABC相似，求AE的长小试牛刀如图，已知ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB12，AC8，AD6，当AP的长度为_时，ADP和ABC相似随堂检测1如图，在正方形网格上，若使ABCPBD，则点P应在()AP1 BP2 CP3 DP42如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ADAC13，AEBE，则有()AAEDBED BAEDCBDCAEDABD DBADBCD3如图，在ABC中，ABAC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC3AD，AB3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ,可以使得FDBADE.4如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且.(1)试问：BAE与CAD相等吗？为什么？(2)试判断ABE与ACD是否相似？并说明理由5.如图，CD是RtABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：ACCFBCDF.6. 如图所示，BCCD于点C，BEDE于点E，BE与CD相交于点A，若AC3，BC4，AE2，求CD的长7. 如图，在ABC中，C90，BC8cm，5AC3AB0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间ABC和PQC相似？课堂小结1三角形相似的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2应用判定定理解决简单的问题我的收获_参考答案课堂导入1.（简称：平行线）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.(简称：三边）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.合作探究证明：在线段A1B1(或它的延长线)上截取A1D=AB，过点D作DE/B1C1，交A1C1于点E，A1DEA1B1C1A1DA1B1=DEB1C1=A1EA1C1又ABA1B1=ACA1C1，A1D=ABA1EA1B1=ACA1C1，A1E=ACA=A1,A1DEABCABCA1B1C1例题解析例1解：ABAB=73,ACAC=146=73ABAB=ACAC又A=AABCABC小试牛刀解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DBAB的值，再计算出EBBC的值，继而可判定ABCDBE.证明：在RtABC中，C90，BC6，AC8，AB10，DBADAB15105，DBAB12.又EBCEBC963，EBBC12，EBBCDBAB，又DBEABC90，ABCDBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，例2解：设AE的长为x.A是公共角，要使ADE和ABC相似，则有ADAC=AEAB或者ADAB=AEAC即83=x16或者316=x8解得x6或x1.5.所以AE的长为6或1.5.小试牛刀解析：当ADPACB时，解得AP9.当ADPABC时，解得AP4，当AP的长度为4或9时，ADP和ABC相似故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答随堂检测1. C2. B3.4.解：(1)BAE与CAD相等理由：，ABCAED.BACEAD.BACEAFEADEAF，即BAECAD.(2)ABE与ACD相似，.又BAECAD，ABEACD.5.解析：先证明ADCCDB可得，再结合条件证明FDCFAD，可得，则可证得结论证明：ACB90，CDAB，DACBBDCB90，DACDCB，且ADCCDB，ADCCDB，.E为BC的中点，CDAB，DECE，EDCDCE，EDCFDAECDACD，FCDFDA，又FF，FDCFAD，ACCFBCDF.方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式6.解析：因为AC3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明ABC与ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.解：在RtABC中，由勾股定理可得AB5.BCCD，BEDE，CE，又CABEAD，ABCADE，即，解得AD，CDADAC3.方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解7.解：由5AC3AB0，得到5AC3AB，设AB为5xcm，则AC3xcm，在RtABC中，由BC8cm，根据勾股定理得25x29x264，解得x2或x2(舍去)，AB5x10cm，AC3x6cm.设经过t秒ABC和PQC相似，则有BP2tcm，PC(82t)cm，CQtcm，分两种情况：当ABCPQC时，有，即，解得t；当ABCQPC时，有，即，解得t.综上可知，经过或秒ABC和PQC相似方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况ABCPQC与ABCQPC分别列出比例式来解决问题
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