资源描述
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
知识要点基础练
知识点 直线与圆的位置关系
1.已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为 (B)
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2.已知☉O的半径为3,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与☉O的位置关系是 (C)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定
3.如果一条直线与圆有公共点,那么该直线与圆的位置关系是 (D)
A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切
4.如图,∠O=30,C为OB上一点,且OC=6,以C为圆心,半径为3的圆与OA的位置关系是 相切 .
5.Rt△ABC的斜边AB=6厘米,直角边AC=3厘米,以C为圆心,2厘米为半径的圆和AB的位置关系是 相离 ,以4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 相交 .
综合能力提升练
6.☉O的半径为6,☉O的一条弦AB长为33,以3为半径的同心圆与AB的位置关系是 (A)
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
7.如图,已知∠BAC=45,一动点O在射线AB上运动(点O与点A不重合),设OA=x,如果半径为1的圆O与射线AC有公共点,那么x的取值范围是 (A)
A.02
8.
如图,直线l与☉O相交于A,B两点,点O到直线l的距离为3,AB=8.
(1)求☉O的直径;
(2)☉O满足什么条件时,它与直线l不相交?
解:(1)作OC⊥AB于点C,连接OA.由已知可得OC=3,
AC=12AB=4,
根据勾股定理得OA=OC2+AC2=5,故☉O的直径为10.
(2)当☉O的半径r≤3时,它与直线l不相交.
9.(教材改编)如图,△ABC中,∠C=90,∠B=60,点O在AB上,AO=x,☉O的半径为1.问当x在什么范围内取值时,AC与☉O相离、相切、相交?
解:过点O作OD⊥AC于点D.∵∠C=90,∠B=60,∴∠A=30,∵AO=x,∴OD=12AO=12x.(1)若☉O与AC相离,则有OD大于r,即12x>1,解得x>2;(2)若☉O与AC相切,则有OD等于r,即12x=1,解得x=2;(3)若☉O与AC相交,则有OD小于r,即0<12x<1,解得00)个单位,若平移后得到的直线l与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),m的取值范围是 m<132 .
提示:如图,设直线l所对应的函数关系式为y=-512x+m(m>0),设直线l与x轴、y轴分别交于点A,B,过点O作OD⊥AB于点D,∴OA=125m,OB=m.在Rt△OAB中,根据勾股定理得AB=135m,∵S△ABO=12ODAB=12OAOB,∴12OD135m=12125mm,∵m>0,解得OD=1213m,由直线与圆的位置关系可知1213m<6,解得m<132.
第2课时 切线的性质与判定
知识要点基础练
知识点1 切线的性质
1.如图,A,B是☉O上的两点,AC是☉O的切线,∠B=70,则∠BAC等于(C)
A.70 B.35
C.20 D.10
2.如图,在△ABC中,∠A=90,AB=AC=2 cm,☉A与BC相切于点D,则☉A的半径长为2 cm.
3.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点.已知AB=8,大圆半径为5,则小圆半径为 3 .
知识点2 切线的判定
4.下列直线是圆的切线的是 (B)
A.与圆有公共点的直线
B.到圆心的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
5.已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 (D)
A.OP=5
B.OE=OF
C.O到直线EF的距离是4
D.OP⊥EF
6.如图,已知△ABC内接于☉O,AB为直径,过点A作直线EF,要使EF是☉O的切线,只需添加的一个条件是 答案不唯一,如①AB⊥FE;②∠BAC+∠CAE=90;③∠C=∠FAB .(写出一个即可)
综合能力提升练
7.菱形的对角线相交于点O,以点O为圆心,以点O到菱形一边的距离为半径的☉O与菱形其他三边的位置关系是 (C)
A.相交 B.相离
C.相切 D.无法确定
8.(深圳中考)如图,直尺、60的直角三角板和光盘如图摆放,60角与直尺交于A点,AB=3,则光盘的直径是 (D)
A.3 B.33 C.6 D.63
9.(重庆中考)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为 (A)
A.4 B.23 C.3 D.2.5
10.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为正方形,顶点A,C在坐标轴上,以边AB为弦的☉M与x轴相切,若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为 (D)
A.(4,5) B.(-5,4)
C.(-4,6) D.(-4,5)
11.如图所示,∠APB=60,半径为a的☉O切PB于P点,若将☉O在PB上向右滚动,则当滚动到☉O与PA也相切时,圆心O移动的水平距离是3a .
12.
(黄冈中考改编)如图,AD是☉O的直径,AB为☉O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.
求证:∠CBP=∠ADB.
证明:连接OB.
∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90,
∴∠A+∠ADB=90,
∵BC为切线,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90,
∴∠OBA+∠CBP=90,
∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠CBP=∠ADB.
13.如图,有两个同心圆,大圆的弦AB和CD相等.AB切小圆于点E,那么CD是小圆的切线吗?为什么?
解:CD是小圆的切线.
理由:连接OE,过点O作OF⊥CD,垂足为F.
∵AB切小圆于点E,∴OE⊥AB,
∵AB=CD,∴OF=OE,∴CD是小圆的切线.
14.
如图所示,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接BC,BC平分∠ABD.
求证:CD为☉O的切线.
证明:∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB=∠DBC,
∴OC∥BD,
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD为☉O的切线.
15.如图,△ABC内接于☉O,∠B=60,CD是☉O的直径,P是CD延长线上一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)若PD=5,求☉O的直径.
解:(1)连接OA.
∵∠B=60,∴∠AOC=2∠B=120,
又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30,
又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90,∴OA⊥PA,
∴PA是☉O的切线.
(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30,∴PO=2OA=OD+PD,又∵OA=OD,∴PD=OA,
∵PD=5,∴2OA=2PD=25,∴☉O的直径为25.
拓展探究突破练
16.(宁波中考改编)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以P为圆心,PM长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,求BP的长.
解:如图1,当☉P与直线CD相切时,设PC=PM=x.
在Rt△PBM中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,
∴PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.
如图2,当☉P与直线AD相切时,设切点为K,连接PK,则PK⊥AD,四边形PKDC是矩形.
∴PM=PK=CD=2BM,∴BM=4,PM=8,
在Rt△PBM中,PB=PM2-BM2=82-42=43.
综上所述,BP的长为3或43.
第3课时 切线长定理
知识要点基础练
知识点1 切线长的概念
1.下列说法正确的有 (C)
①切线就是切线长;②切线是可以度量的;③切线长是可以度量的;④切线与切线长是不同的量,切线是直线,而切线长是线段的长度.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图,P是☉O外一点,以OP为直径画圆,使它和☉O交于A,B两点,连接PA,PB.则线段PA,PB是☉O的 切线 .
3.
如图,☉O的半径为5,PA切☉O于点A,∠APO=30,则切线长PA为 53 .(结果保留根号)
知识点2 切线长定理
4.如图,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30,切线CD与AB的延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为 (A)
A.23 B.43
C.2 D.4
5.如图,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,OP交☉O于点C,下列结论中,错误的是 (D)
A.∠1=∠2 B.PA=PB
C.AB⊥OP D.△PAB是等边三角形
6.如图,☉O的半径为3 cm,点P到圆心O的距离为6 cm,过点P引☉O的两条切线,这两条切线的夹角为 60 .
7.(教材改编)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 44 .
综合能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为 (A)
A.23 B.32
C.32 D.22
9.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点C,D,交AB于点E,AF为☉O的直径,下列结论:①∠ABP=∠AOP;②BC=DF;③PCPD=PEPO.其中正确的结论有 (A)
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
10.如图所示,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90,∠A,∠ABC,∠ACB所对的边长依次为6,8,10,则☉O的半径是 4 .
11.如图,MA,MB是☉O的两条切线,A,B为切点,若∠AMB=60,AB=1,则☉O的直径等于233 .
提示:连接OB.∵MA,MB是☉O的两条切线,A,B为切点,∴AM=BM,∠AMO=12∠AMB=30,∠OAM=90,∵OA=OB,∴OM是AB的垂直平分线,∵AB=1,∴AC=12,在Rt△OAM中,∠AOM=60,∵∠ACO=90,∴sin 60=ACOA,
∴OA=1232=13=33,∴☉O的直径为233.
12.
(教材改编)如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,连接PO,交☉O于点D,交AB于点C,根据以上条件,请写出三个你认为正确的结论,并对其中的一个结论给予证明.
解:如图,结论:①∠3=∠4或∠7=∠8或∠1=∠5或∠2=∠6或∠1=∠2;②OP⊥AB;
③AC=BC.
证明②:∵PA,PB是☉O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90.
在Rt△OAP与Rt△OBP中,OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL),
∴PA=PB,
∵OA=OB,∴点O,P在AB的垂直平分线上,
∴OP⊥AB.
13.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90,以BC为直径的圆交AB于点D,过点D作☉O的切线EF交AC于点E.求证:AE=DE.
证明:连接CD.∵BC是☉O的直径,∴∠CDB=90.
∵∠ACB=90,∴CE切☉O于点C.
∵DE切☉O于点D,∴CE=DE,
∴∠EDC=∠ECD,
∴∠EDC+∠ADE=90,∠ECD+∠A=90,
∴∠ADE=∠A,∴AE=DE.
14.
如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,CD⊥AB于点D,从C,B两点分别作半圆O的切线,它们相交于点E,连接AE交CD于点P.求证:PD∶CE=AD∶AB.
证明:显然∠PDA=90.
∵E,即∠EBA=90,
又∵∠PADB为半圆O的切线,AB是半圆O的直径,
∴EB⊥AB=∠EAB,∴△APD∽△AEB,
∴PD∶BE=AD∶AB,
∵EC,EB都是半圆O的切线,∴CE=BE,
∴PD∶CE=AD∶AB.
15.(凉山州中考)如图,已知AB为☉O的直径,AD,BD是☉O的弦,BC是☉O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)若AE=1,ED=3,求☉O的半径.
解:(1)连接DO.∵AD∥OC,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中,
∵OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,
∴△COD≌△COB(SAS),∴∠CDO=∠CBO.
∵BC是☉O的切线,
∴∠CBO=90,∴∠CDO=90,
又∵点D在☉O上,∴CD是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为R,则OD=R,OE=OA+AE=R+1,∵CD是☉O的切线,∴∠EDO=90,
∴ED2+OD2=OE2,∴32+R2=(R+1)2,
解得R=4,∴☉O的半径为4.
拓展探究突破练
16.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B,直线EF也是☉O的切线,切点为Q,与PA,PB的交点分别为E,F,已知PA=12 cm,∠P=40.
(1)求△PEF的周长;
(2)求∠EOF的度数;
(3)若∠P=α,请直接写出∠EOF的度数.
解:(1)∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,
又∵直线EF是☉O的切线,∴EB=EQ,
FQ=FA,∴△PEF的周长=PE+PF+EF=PE+PF+EB+FA=PA+PB=2PA=24 cm.
(2)连接OE,OF,则OE平分∠BEF,OF平分∠AFE,
∴∠OEF+∠OFE=12(∠P+∠PFE)+12(∠P+∠PEF)=12(180+40)=110,
∴∠EOF=180-110=70.
(3)∠EOF=90-α2.
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