九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的动态问题试题 （新版）青岛版.doc

与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。例题1 如图，已知线段OA交O于点B，且OBAB，点P是O上的一个动点，那么OAP的最大值是（）A. 30B. 45C. 60D. 90解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。根据题意找出当OPAP时，OAP取得最大值。所以在RtAOP中，利用直角三角形可以求得此时OAP的值。解：根据题意知，当OAP的取最大值时，OPAP；在RtAOP中，OPOB，OBAB，OA2OP，OAP30。故选A。答案：A点拨：在点P的运动过程中，OAP取最大值时，AP正好是O的切线。例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB2，设弦AP的长为x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）解析：考虑用特殊值验证的方法。解：可以采用特殊值的方法来“破题”，比如当x1时，APO恰为正三角形，此时面积为，达不到，这样就排除了选项B、D；由于比较接近，所以只有选项A符合要求。答案：A点拨：可以发现，在这种解法中，特殊值（y1）至关重要；此外，数学的直观能力、题感在这道题也体现得比较充分，这也是本题选择以客观题（即不必展示过程）形式出现的原因。正如史宁中教授所说：“数学上有很多问题我们能看出结果，但要说得真切是困难的！”例题3 如图，C为O直径AB上一动点，过点C的直线交O于D、E两点，且ACD45，DFAB于点F，EGAB于点G，当点C在AB上运动时，设AF，DE，下列能表示与函数关系的图象大致是（ ）解析：本题若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂。若注意分析y随x的变化而变化的趋势，与各选项的图象逐一比对，则能迅速解决。解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小。故选A。答案：A点拨：本题是一个以圆为背景的动点问题，若通过求函数解析式的方法求解，比较复杂；但若仔细观察、分析可以发现：随着x的值逐渐增大，y经历了一个先变大再变小的过程，这样就能快速解决问题。与圆有关的动态问题中的切线动态问题一般是图形在运动中产生函数问题或规律问题，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从“动”中找出问题的隐含规律。满分训练 半径为2cm的O与边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，O与l 相切于点F，DC在l上。（1）过点B作O的一条切线BE，E为切点，填空：如图1，当点A在O上时，EBA的度数是_；如图2，当E、A、D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M、N分别是边BC、AD与O的公共点，求扇形MON的面积的范围。解析：本题综合考查了动态问题、圆、特殊平行四边形的判定、相似三角形的判定、三角函数、一元二次方程的解法等知识。解：（1）如图1，因为切线BE是O的切线，所以OEBE于E，又OAABOE2，易得EBA30； 如图2，直线l与O相切于F，OFD 90。正方形ADCB中，ADC 90，OF/AD。OFAD2，四边形OFDA为平行四边形。OFD90，平行四边形OFDA为矩形。DA AO，正方形ABCD中，DAAB，E、A、D三点在同一直线上。E、A、D三点在同一直线上，EAOB。OEB90，OEBEAO。又EOBAOE，EOABOE。OE2 OAOB。OA（2OA）4，解得，OA1，OA0，OA1（2）如图3，设MON n，（cm2）。S随n的增大而增大，MON取最大值时，最大。过O点作OKMN于K，MON2NOK，NM2NK，在RtONK中，sinNOKNOK随NK的增大而增大，MON随MN的增大而增大，当MN最大时MON最大，当MN最小时MON最小。当N、M、O分别与D、B、A重合时，MN最大，MNBD，MONBOD90，（cm2） 当MNDC2时，MN最小。ONMNOM，NOM60。 （cm2），。答案：（1）30；1；（2）点拨：这类问题可细分为点动型、线动型、形动型。解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径。（答题时间：45分钟）【友情提示】因本讲内容综合性较强，故在解题过程中可能会涉及到相似和锐角三角函数相关知识，请敢于挑战自我、勇于得满分的“童鞋”提前预习相关知识点。1. 如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB2，AD1，P点在切线CD上移动。当APB的度数最大时，则ABP的度数为（ ）A. 15 B. 30 C. 60 D. 90 2.（湖南中考）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ） A. B. C. D.3. （甘肃中考）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）*4. （甘肃中考）如图，已知P的圆心在定角（00）变化的函数图象大致是（ ）5. 如图，A点在半径为2的O上，过线段OA上的一点P作直线l，与O过A点的切线交于点B，且APB60，设OPx，则PAB的面积y关于的函数图像大致是（ ） A. B. C. D.6. 如图，A、B、C、D为O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OCDO的路线做匀速运动，设运动时间为t秒，APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）的函数关系最恰当的是（ ） A. B.C.D.7. 如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则O自转了（ ）A. 2周B. 3周C. 4周D. 5周8. 如图，ABC中，BAC60，ABC 45，AB2，D 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。9. 如图，已知O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，AOB45，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是_。*10. 如图，APB30，圆心在边PB上的O半径为1cm，OP3cm，若O沿BP方向移动，当O与PA相切时，求圆心O移动的距离。*11. 在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）。已知AD13，AB5，设APx，BQy。（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的P和以QC长为半径的Q外切时，求的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EFEC4，求x的值。*12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）。动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0o的常数），点P的速度是1。当0ta时，APt，BPat，S （at）2（ta）2；当at2a时，BPta，S （ta）2，均为二次函数形式，图象为开口向上的抛物线，只有选项B满足。4. C 解析：如图，连接PA、PB、PO，则POA，APB180。PAr，在RtPAO中，。S四边形AOBP2SAOPOAPA。S扇形APB。所以S。所以S是r的二次函数，并且S随r的增大而增大，图象在第一象限，故选C。5. D 解析：AB是O的切线，OAB90，在RtPAB中，PA2x，ABPAtan60（2x），y（2x）2（0x2），函数的图象是抛物线，且开口向上，对称轴是x2，只有选项D符合题意，故选D。6. C 解析：（1）点P在OC上时，y（APB）随t的增大而减小，由90减小到45；（2）点P在上时，y（APB）随t的增大而始终不变，APBAOB45；（3）点P在DO上时，y（APB）随t的增大而增大，由45增加到90。选C。7. C 解析：等边ABC的周长为6等边三角形的边长为2O的半径是1O的周长为2，故等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，圆从D转到D的过程中在三角形的边上转动了3圈，在每个顶点处，转动的角度是360609090120，在三个顶点处转动360，即在三个顶点共转1圈。则这个圆共转了4圈。故选C。8. 解析：如图所示：连接ED、EO；弦EF所对的圆周角EAF60，要使弦最小只要圆最小即可，圆的大小由直径AD确定，所以AD最小即圆最小，当ADBC时EF最小。因为ABC 45，AB2，所以ADBD2，所以EO10。5BD，所以EO/BD，则AE；因为BAC60，ABC 45，得ACB75，根据三角函数公式，求出AC，DC，因为ADEAFE，EAFCAB，所以AEFACB，EF9. 且 解析：作与OA平行且与圆相切的直线，这两条直线与x轴的交点即是所求的点P，过点O向直线作垂线，因为AOB45，所以得到一腰长为1等腰直角三角形，根据锐角三角函数或勾股定理得点P的坐标，所以。又直线与OA平行，。故x的取值范围为且。10. 解析：设当O与PA相切时，切点为H，则OHPA，所以在RtPOH中，sinAPB，即PO2OH2。因此，当O与PA相切时，圆心O移动的距离为321（cm）。11. 解析：（1）在矩形中，线段的垂直平分线交边于点，MQBP，PQBQ，即，即，的取值范围为1x13；（2）当以AP长为半径的P和以QC长为半径的Q外切时，即PQAPCQ，可得BQAPCQ，可得，解得；（3）如图，即，可得，即，可得或者（舍去），的值为。12. 解析：（l）因为 CA 是 OP 的直径，所以CDOA 。所以 CD BO。所以 ACD ABO，所以。因为 OA 8，OB6，AB10，CA2t，所以ADt，OQt。当点 Q 与点 D 重合时，即OQADOA，所以 tt 8，t （2）由ACD ABO，易得CDt，当0 t时，St（8tt） t2t。因为，0，所以当t时，S有最大值为；当 t5时，St（t 8t） t2t。因为，所以 S 随 t 的增大而增大。所以当 t 5时，S 有最大值为15 。综上所述S 的最大值为15。 （3）0t或t5。