高三数学一轮复习 6.4基本不等式课件 .ppt

第四节基本不等式 知识梳理 1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件是 2 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 a 0 b 0 a b 2 常用的几个重要不等式 1 2 a b a 0 b 0 3 a2 b2 a b R 4 以上不等式等号成立的条件均为a b时取得 2ab 3 算术平均数与几何平均数 不小于 4 利用基本不等式求最值 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b为正实数 且a b M M为定值 则ab 等号当且仅当 时成立 简记 和定积最大 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b为正实数 且ab P P为定值 则a b 等号当且仅当 时成立 简记 积定和最小 a b a b 考点自测 1 思考 给出下列命题 函数y x 的最小值是2 ab 成立的条件是ab 0 函数f x cosx 的最小值等于4 x 0且y 0是的充分不必要条件 若a 0 则的最小值为2 其中正确的是 A B C D 解析 选D 错误 当x 0时 函数值一定为负 最小值不是2 错误 当ab 0时 仍有因此对于不等式当a b中有0或一个负数时也是成立的 错误 虽然由基本不等式可得但由于其中的等号成立的条件是即cosx 2 但这显然不成立 所以不能说函数的最小值是4 正确 当x 0且y 0时一定有但当时 不一定有x 0且y 0 所以x 0且y 0是的充分不必要条件 正确 因为a 0 所以a2 0 所以等号成立的条件是a 1 2 若x 0 y 0 且x y 则xy的最大值为 解析 选D 由基本不等式可得当且仅当x y 时 xy取最大值 故选D 3 若x 1 则的最小值是 解析 选C 由x 1得x 1 0 则当且仅当x 1 时取等号 故选C 4 已知x y 0且x 4y 1 则的最小值为 A 8B 9C 10D 11 解析 选B 因为x y 0且x 4y 1 所以当且仅当时取等号 5 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站千米处 解析 设仓库到车站的距离为x千米 由题意设y2 k2x 而当x 10时 y1 2 y2 8 于是k1 20 k2 因此y1 y2 x 所以当且仅当x 5时取等号 所以仓库应建在离车站5千米处 答案 5 6 已知a b 0 且满足8a 2b ab 9 则ab的取值范围是 解析 由a b 0 可得ab 9 8a 2b 即ab 9 0 故故ab 81 等号成立的条件是b 4a 18 答案 81 考点1利用基本不等式求最值 典例1 1 2014 福州模拟 已知a 0 b 0 则的最小值是 A 2B C 4D 5 2 已知x y R 且满足则xy的最大值为 3 2014 余姚模拟 已知正数a b满足则a b的取值范围是 解题视点 1 利用基本不等式可解 2 利用基本不等式先求的取值范围 从而可求xy的最大值 3 一种思路是根据将a b中的b用a表示 然后用基本不等式求范围 另一种思路是对变形 获得a b与ab的关系 然后利用基本不等式消去ab建立a b的不等式求解 规范解答 1 选A 因为a 0 b 0 所以ab 0 所以等号当且仅当ab 1时取得 2 因为所以xy 3 当且仅当即x y 2时取等号 故xy的最大值为3 答案 3 3 方法一 由得a b 3ab 所以由于a 0 b 0 可得a 于是当且仅当即a 时取等号 所以a b的取值范围是 方法二 由得a b 3ab 由于所以即4 a b 3 a b 2 所以a b 即a b的取值范围是答案 互动探究 本例题 3 中 条件不变 求ab的取值范围 解析 由于a b 2 所以3ab 2 即9 ab 2 4ab 所以ab 即ab的取值范围是 规律方法 利用基本不等式求最值的常见类型 1 若直接满足基本不等式条件 则直接应用基本不等式 2 若不直接满足基本不等式条件 则需要创造条件对式子进行恒等变形 如构造 1 的代换等 3 若可用基本不等式 但等号不成立 则一般是利用函数单调性求解 4 若一次应用基本不等式不能达到要求 需多次应用基本不等式 但要注意等号成立的条件必须要一致 利用基本不等式求最值的要求 1 在利用基本不等式求最值时 必须满足三个条件 各项均为正数 含变数的各项的和 或积 必须是定值 当含变数的各项均相等时取得最值 即一正 二定 三相等 这三个条件极易忽略而导致解题失误 应引起足够的重视 2 上述结论是我们用基本不等式求最值的依据 可简述为 和定积最大 积定和最小 变式训练 2014 慈溪模拟 若正数x y满足2x y 3 0 则的最小值为 解析 因为2x y 3 0 所以所以 答案 3 加固训练 1 2013 福州模拟 已知f x x 2 x0 则f x x 2 当且仅当x 1时取等号 2 设x 0 则函数的最小值等于 解析 当且仅当x 1 即x 1时取等号 所以函数的最小值等于2 答案 2 3 函数f x sinx 0 x 的最小值是 解析 因为0 x 所以0 sinx 1 因此由基本不等式得 当且仅当sinx 即x 或x 时取等号 所以函数的最小值等于1 答案 1 考点2基本不等式的实际应用 典例2 1 2013 四平模拟 某种饮料分两次提价 提价方案有两种 方案甲 第一次提价p 第二次提价q 方案乙 每次都提价若p q 0 则提价多的方案是 2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物需建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 C x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 求k的值及f x 的表达式 隔热层修建多厚时 总费用f x 最小 并求最小值 解题视点 1 列出两次提价的关系式 利用基本不等式比较大小即可 2 利用已知条件代入关系式可求k 从而可求f x 的表达式 整理转化后利用基本不等式可解 规范解答 1 设原价为1 则提价后的价格 方案甲 1 p 1 q 方案乙 因为且p q 0 所以即所以提价多的方案是乙 答案 乙 2 由题设 建筑物每年能源消耗费用为C x 再由C 0 8 得k 40 所以C x 而隔热层建造费用为C1 x 6x 所以20年的能源消耗费用之和与隔热层建造费用之和为f x 20C x C1 x f x 当且仅当即x 5时取等号 所以当隔热层修建厚度为5cm时 总费用最小 为70万元 易错警示 关注自变量的取值范围本例 2 中建立关系时 一定要注意自变量的取值范围 否则解题时易丢分 一定要注意实际问题中自变量的范围 规律方法 解应用题的关键点及步骤 1 关键 如何把等量关系 不等量关系转化为不等式的问题来解决 2 一般步骤 审题 审清题意 初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路 明确解题方向 建立数学模型 根据 中的分析 把实际问题用 符号语言 图形语言 抽象成数学模型 建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系 讨论不等关系 根据 中建立起来的数学模型和题目要求 讨论与结论有关的不等关系 得到有关理论参数的值 得出问题结论 根据 中得到的理论参数的值 结合题目要求得出问题的结论 提醒 当运用基本不等式求最值时 若使等号成立的自变量的值不在定义域内时 就不能使用基本不等式求解 此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 变式训练 2014 武汉模拟 经观测 某公路段在某时段内的车流量y 万辆 小时 与汽车的平均速度v 千米 小时 之间有函数关系 1 在该时段内 当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大 最大车流量为多少 2 为保证在该时段内车流量至少为1万辆 小时 则汽车的平均速度应控制在什么范围内 解析 1 当即v 40 千米 小时 时 车流量最大 最大值约为1 108万辆 小时 2 据题意有化简得v2 89v 1600 0 即 v 25 v 64 0 所以25 v 64 所以汽车的平均速度应控制在 25 64 千米 小时 这个范围内 加固训练 1 某种汽车 购车费用为10万元 每年的保险费 汽油费约为0 9万元 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 这种汽车使用多少年时 它的年平均费用最少 解析 由于 年维修费第一年是0 2万元 以后逐年递增0 2万元 可知汽车每年维修费构成以0 2万元为首项 0 2万元为公差的等差数列 因此 汽车使用x年时总的维修费用为万元 设汽车的年平均费用为y万元 则有当且仅当即x 10时 y取得最小值 答 汽车使用10年时 它的年平均费用最少 2 某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房 由于地理位置的限制 房子侧面的长度x不得超过5m 房屋正面的造价为400元 m2 房屋侧面的造价为150元 m2 屋顶和地面的造价费用合计为5800元 如果墙高为3m 且不计房屋背面的费用 当侧面的长度为多少时 总造价最低 解析 由题意可得 总造价y 则当且仅当x 即x 4时取等号 故当侧面的长度为4m时 总造价最低 考点3基本不等式的综合应用 考情 基本不等式是高考考查的热点 几乎每年高考均有与其有关的题目 常以选择题 填空题的形式出现 通常以不等式为载体综合考查函数 方程 三角函数 立体几何 解析几何等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 福建高考 若2x 2y 1 则x y的取值范围是 A 0 2 B 2 0 C 2 D 2 2 2013 四川高考 已知函数f x 4x x 0 a 0 在x 3时取得最小值 则a 解题视点 1 利用基本不等式 有理指数幂的运算性质及指数函数的单调性可解 2 利用基本不等式确定等号成立条件可求a 规范解答 1 选D 2x 2y 1 所以2x y 即2x y 2 2 所以x y 2 2 由f x 4x x 0 a 0 根据基本不等式4x 当且仅当4x 时取等号 而由题知当x 3时取得最小值 即a 36 答案 36 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2014 湖州模拟 若a 0 b 0 a b 2 则下列不等式 a2 b2 2 ab 1 恒成立的是 A B C D 解析 选B 因为a 0 b 0 a b 2 所以由得a2 b2 2 ab 1 即 均正确 不妨令a b 1 则故 错误 综上所述 恒成立的是 故选B 2 2012 陕西高考 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b a b 其全程的平均时速为v 则 解析 选A 设甲乙两地的路程为s 则往返时间分别是 3 2014 温州模拟 已知a b为正实数 且若a b c 0对于满足条件的a b恒成立 则c的取值范围为 解析 选A 因为a b为正实数 且可知所以 当且仅当时取等号 因此可知c小于等于a b的最小值即可 故有c的取值范围是选A 4 2013 天津高考 设a b 2 b 0 则的最小值为 解析 因为a b 2 b 0 所以当且仅当时等号成立 此时a 2或答案 加固训练 1 2012 湖北高考 设a b c R 则 abc 1 是 a b c 的 A 充分条件但不是必要条件B 必要条件但不是充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要的条件 解析 选A 2 2013 浙江十校联考 若正数x y满足4x2 9y2 3xy 30 则xy的最大值是 解析 选C 由x 0 y 0知4x2 9y2 3xy 2 2x 3y 3xy 当且仅当2x 3y时等号成立 所以12xy 3xy 30 即xy 2 故选C 3 2013 郑州模拟 函数y loga x 3 1 a 0 且a 1 的图象恒过定点A 若点A在mx ny 2 0上 其中mn 0 则的最小值为 解析 当x 2时 y loga 2 3 1 1 即定点A的坐标为 2 1 于是有 2m n 2 0 即当且仅当即n m 2 1 时取等号 因此的最小值是答案 4 2013 孝感模拟 已知a b c都为正数 且a b c 1 求证 证明 因为a b c都为正数 且a b c 1 所以同理上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得当且仅当a b c 时取等号 易错误区15 多元基本不等式求最值的易错点 典例 2013 山东高考 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 x 2y z的最大值为 解析 选C 由x2 3xy 4y2 z 0 得z x2 3xy 4y2 所以 当且仅当即x 2y 时取等号 此时z 2y2 所以x 2y z 2y 2y 2y2 4y 2y2 2y 2 y 当且仅当y 2 y时取等号 或x 2y z 2y 2y 2y2 4y 2y2 2 y 1 2 2 当y 1时 此时x 2 z 2 x 2y z的最大值为2 误区警示 1 处进行转化消元 化为x y的关系式时出现错误而失分 2 处忘记利用已求得的最值 将x z均用y表示 而后用基本不等式或化为二次函数求解导致错误而失分 规避策略 1 对多元关系式求最值要进行消元转化 再利用基本不等式 2 求解过程中能消元的尽量消元 能转化为一元的 要转化为一元 从而使求解方法更为灵活 类题试解 2014 杭州模拟 已知x 0 y 0 x a b y成等差数列 x c d y成等比数列 则的最小值是 解析 因为x a b y成等差数列 所以a b x y 因为x c d y成等比数列 所以cd xy 则当且仅当时 取等号 答案 4