高三数学一轮复习 4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算课件 .ppt

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算 知识梳理 1 平面向量基本定理 1 基底 平面内 的向量e1 e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这个平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 不共线 1e1 2e2 2 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 由平面向量基本定理知 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与数对 x y 是一一对应的 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a 其中a在x轴上的坐标是x a在y轴上的坐标是y x y 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 x1y2 x2y1 0 考点自测 1 思考 给出下列命题 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 在 ABC中 向量的夹角为 ABC 同一向量在不同基底下的表示是相同的 设a b是平面内的一组基底 若实数 1 1 2 2满足 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 其中正确的是 A B C D 解析 选D 平面内不共线的两个向量可以组成一组基底 平面内同一向量在不同基底下的表示形式是不同的 故 不正确 向量是有方向的 故在 ABC中 与的夹角应是 ABC的补角 故 不正确 根据平面向量基本定理 同一向量在基底a b下的表现形式是唯一的 故 正确 2 已知A x 1 B 2 y 3 4 则x y A 3B 3C 4D 4 解析 选C 由题意 得解得所以x y 4 3 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c A 3a bB 3a bC a 3bD a 3b 解析 选B 设c xa yb 则所以故c 3a b 4 下列各组向量中 能作为基底的是 a 1 2 b 2 4 a 1 1 b 1 1 a 2 3 b 3 2 a 5 6 b 7 8 A B C D 解析 选C 对于 显然b 2a 对于 b a 故 不能作为基底 对于 因为2 2 3 3 0 所以a b不共线 故 能作为基底 对于 因为5 8 6 7 0 所以a b不共线 故 能作为基底 综上应选C 5 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则实数m 解析 a b 1 m 1 因为 a b c 所以2 1 m 1 0 所以m 1 答案 1 考点1平面向量基本定理及其应用 典例1 1 2014 绍兴模拟 若a与b不共线 已知下列各组向量 a与 2b a b与a b a b与a 2b 其中可以作为基底的是 只填序号即可 2 2014 莱芜模拟 如图 已知 OCB中 A是CB的中点 D是将分成2 1的一个内分点 DC和OA交于点E 设 用a和b表示向量 若求实数 的值 解题视点 1 由共线向量定理及基底的定义进行判断 2 由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解 由平面向量基本定理及共线向量定理求解 规范解答 1 因为a与b不共线 所以 对于 显然a与 2b不共线 对于 假设a b与a b共线 则存在实数 使a b a b 则 1且 1 由此得 1且 1矛盾 故假设不成立 即a b与a b不共线 同理 对于 a b与a 2b也不共线 对于 故与共线 由基向量的定义知 都可以作为基底 不可以 答案 2 由题意知 A是BC的中点 且由平行四边形法则 得所以 由题意知 故设因为所以 因为a与b不共线 由平面向量基本定理 得解得故 互动探究 本例 1 中 若将条件a与b不共线省去 则情况如何 解析 若a与b共线 不妨令a 0 b 0 则所给4组向量都共线 故4组向量都不能作为基底 规律方法 1 构成平面一组基底的条件 1 一组基底有两个向量 2 这两个向量不共线 其中没有零向量 2 应用平面向量基本定理的注意事项 1 选定基底后 通过向量的加 减 数乘以及向量平行的充要条件 把相关向量用这一组基底表示出来 2 强调几何性质在向量运算中的作用 用基底表示未知向量 常借助图形的几何性质 如平行 相似等 3 强化共线向量定理的应用提醒 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 变式训练 如图所示 在 ABC中 点M是AB的中点 且BN与CM相交于点E 设试用基底a b表示向量 解析 易得由N E B三点共线知 存在实数m 满足由C E M三点共线知存在实数n 满足所以由于a b为基底 所以解得所以 加固训练 1 下列各组向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 A B C D 2 如图 在 ABC中 DE BC交AC于E BC边上的中线AM交DE于N 设用a b表示向量 解析 1 选A 中的两向量不共线 中e1 e2 故两向量共线 中e2 e1 故两向量共线 综上 只有 中的两向量可作为平面的一组基底 2 因为DE BC 所以由 ADE ABC 得又AM是 ABC的中线 DE BC 所以又 因为 ADN ABM 所以 考点2平面向量的坐标运算 典例2 1 2014 杭州模拟 在平行四边形ABCD中 AC为一条对角线 2 4 1 3 则 A 2 4 B 1 1 C 1 1 D 2 4 2 2013 北京高考 向量a b c在正方形网格中的位置如图所示 若c a b R 则 解题视点 1 先将用表示 再利用向量坐标运算法则求解 2 结合图形建立适当的平面直角坐标系 利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解 规范解答 1 选C 因为四边形ABCD为平行四边形 所以因此 1 3 2 4 1 1 2 以向量a b的交点为原点 原点向右的方向为x轴正方向 正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 根据c a b得 1 3 1 1 6 2 即解得 2 所以 4 答案 4 互动探究 在本例 2 中 试用a c表示b 解析 建立本例 2 规范解答中的平面直角坐标系 则a 1 1 b 6 2 c 1 3 设b xa yc 则 6 2 x 1 1 y 1 3 即解得故b 4a 2c 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1 向量的坐标运算主要是利用向量加 减 数乘运算的法则来进行求解的 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求向量的坐标 2 解题过程中 常利用向量相等则其坐标相同这一原则 通过列方程 组 来进行求解 并注意方程思想的应用 变式训练 已知点A 1 2 B 2 8 以及求点C D的坐标和的坐标 解析 设点C D的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 得 x1 1 y1 2 3 6 1 x2 2 y2 3 6 因为所以有和解得和所以点C D的坐标分别是 0 4 2 0 从而 2 4 加固训练 1 设平面向量a 3 5 b 2 1 则a 2b A 6 3 B 7 3 C 2 1 D 7 2 解析 选B a 2b 3 5 2 2 1 7 3 2 已知点A 2 1 B 0 2 C 2 1 O 0 0 给出下面的结论 直线OC与直线BA平行 其中正确结论的个数是 A 1个B 2个C 3个D 4个 解析 选C 由题意得 2 1 2 1 故又无公共点 故OC BA 正确 因为故 错误 因为 0 2 故 正确 因为 4 0 4 0 故 正确 所以选C 3 已知A 2 4 B 3 1 C 3 4 且则向量 解析 因为A 2 4 B 3 1 C 3 4 所以 1 8 6 3 所以 3 1 8 3 24 2 6 3 12 6 所以 12 6 3 24 9 18 答案 9 18 考点3平面向量共线的坐标表示及运算 考情 平面向量共线的坐标表示以其承前启后的连接形式成为高考命题的亮点 作为一种重要的坐标运算 常以选择题 填空题的形式出现 作为载体有时也在解答题的某一步中出现 考查解方程 函数式化简等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 陕西高考 已知向量a 1 m b m 2 若a b 则实数m等于 A B C D 0 2 2014 金华模拟 已知向量 1 3 3 1 且则点P的坐标为 A 2 4 B C D 2 4 解题视点 1 根据平面向量共线的坐标表示直接列方程求解 2 设点P的坐标为 x y 由可得 x 1 y 3 2 3 x 1 y 解出x y的值 即可得到点P的坐标 规范解答 1 选C 因为a 1 m b m 2 a b 所以1 2 m2 0 即m2 2 故 2 选C 设点P的坐标为 x y 由可得 x 1 y 3 2 3 x 1 y 故有x 1 6 2x 且y 3 2 2y 解得故点P的坐标为 通关锦囊 通关题组 1 2014 舟山模拟 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b等于 A 5 10 B 4 8 C 3 6 D 2 4 解析 选B 因为a b a 1 2 b 2 m 所以m 2 2 0 得m 4 所以2a 3b 2 4 6 12 4 8 2 2011 广东高考 已知向量a 1 2 b 1 0 c 3 4 若 为实数 a b c 则 A B C 1D 2 解析 选B 因为a b 1 2 1 0 1 2 c 3 4 又 a b c 所以4 1 2 3 0 解得 3 2014 枣庄模拟 已知平面向量a 1 x b 若a与b共线 则y f x 的最小值是 A B 4C D 3 解析 选C 因为a与b共线 所以即y x2 3x 1 x 3 2 所以当x 3时 ymin 加固训练 1 2013 郑州模拟 已知向量 k 12 4 5 k 10 且A B C三点共线 则k的值是 解析 选A 4 k 7 2k 2 因为A B C三点共线 所以共线 所以 2 4 k 7 2k 解得 2 2014 济宁模拟 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 则锐角 等于 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 选B 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得sin 又 为锐角 所以 45 3 2011 北京高考 已知向量a 1 b 0 1 c k 若a 2b与c共线 则k 解析 因为a 1 b 0 1 所以a 2b 1 2 0 1 3 又c k 所以 3k 0 解得k 1 答案 1 易错误区11 平面向量基本定理应用的易错点 典例 2013 广东高考 设a是已知的平面向量且a 0 关于向量a的分解 有如下四个命题 给定向量b 总存在向量c 使a b c 给定向量b和c 总存在实数 和 使a b c 给定单位向量b和正数 总存在单位向量c和实数 使a b c 给定正数 和 总存在单位向量b和单位向量c 使a b c 上述命题中的向量b c和a在同一平面内且两两不共线 则真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 选B 对于 因为a与b给定 所以a b一定存在 可表示为c 即c a b 故a b c成立 正确 对于 因为b与c不共线 由平面向量基本定理可知 正确 对于 以a的终点为圆心 以 为半径作圆 这个圆必须和向量 b有交点 这个不一定满足 故 错误 对于 由向量加法的三角形法则 不共线两边的和大于第三边 即必有 b c a 而给定的 和 不一定满足此条件 所以 是假命题 误区警示 1 处想不到用a b表示c 而直接根据平面向量基本定理判断该结论错误 2 处忽略平面向量基本定理成立的条件 而直观认为 正确 规避策略 1 明确给定和存在的关系 另外 注意向量加法三角形法则的应用 2 明确平面向量基本定理成立的条件 即 1 给定的向量a与b不共线 2 对平面内任一向量c存在唯一确定的有序实数对 使c a b 其中 的正负及是否为0不确定 类题试解 在平面直角坐标系中 若O为坐标原点 则A B C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 使得成立 此时称实数 为 向量关于和的终点共线分解系数 若已知P1 3 1 P2 1 3 P1 P2 P3三点共线且向量与向量a 1 1 垂直 则 向量关于和的终点共线分解系数 为 A 3B 3C 1D 1 解析 选D 由与向量a 1 1 垂直 可设 t t t 0 由得 t t 3 1 1 1 3 4 1 3 2 所以两式相加得2 2 0 所以 1