高三数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示法课件 .ppt

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法 知识梳理 1 数列的有关概念 一定顺序 每一个数 an f n a1 a2 an 2 数列的表示方法 1 表示方法 an n an 公式 2 数列的函数特征 上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法 数列可以看作是定义域为正整数集 或它的有限子集 1 2 n 的函数an f n 当自变量由小到大依次取值时所对应的一列 函数值 3 数列的性质 an 1 an an 1 an an 1 an 4 an与Sn的关系若数列 an 的前n项和为Sn 则an n 1 n 2 S1 Sn Sn 1 考点自测 1 思考 给出下列命题 所有数列的第n项都能使用公式表达 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个 已知an 2 f an 1 an 时 如果要确定这个数列 则必须知道初始值a1 a2 如果数列 an 的前n项和为Sn 则对 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 其中正确的是 A B C D 解析 选D 错误 不是所有的数列的第n项都能使用公式表达 正确 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可以有多个 错误 如已知an 2 an 1 2an 则只要知道任意连续两项都可以确定这个数列 正确 根据数列的前n项和的定义可知 2 已知数列 an 的前4项分别为2 0 2 0 则下列各式不可以作为数列 an 的通项公式的一项是 A an 1 1 n 1B an 2sinC an 1 cosn D an 解析 选B 因为a1 2 a2 0 a3 2 a4 0 但当n 3时选项B中a3 2sin 2 2 其他选项都适合 故选B 3 把1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 则第7个三角形数是 A 27B 28C 29D 30 解析 选B 由图可知 第7个三角形数是1 2 3 4 5 6 7 28 4 已知an 那么数列 an 是 A 递减数列B 递增数列C 常数列D 摆动数列 解析 选B 因为an 所以an 1 所以an 1 an 0 所以an 1 an 所以数列 an 是递增数列 5 已知数列 an 的前n项和Sn 2n 3 则数列 an 的通项公式是 解析 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 1 故数列 an 的通项公式是答案 6 在数列 an 中 a1 1 an 2 an 1 an n N 则a100等于 解析 因为an 2 an 1 an 所以an 3 an 2 an 1 两式相加得an 3 an 则an 6 an 3 an 即数列 an 的周期为6 所以a100 a16 6 4 a4 a3 a2 a2 a1 a2 a1 1 答案 1 考点1由数列的前几项归纳数列的通项公式 典例1 写出下面各数列的一个通项公式 1 3 5 7 9 2 3 1 4 5 9 99 999 9999 解题视点 通过分析各数列已知项的数字特征的共性写出各数列的通项公式 规范解答 1 各项减去1后为正偶数 所以an 2n 1 2 每一项的分子比分母少1 而分母组成数列21 22 23 24 所以an 3 奇数项为负 偶数项为正 故通项公式的符号为 1 n 各项绝对值的分母组成数列1 2 3 4 而各项绝对值的分子组成的数列中 奇数项为1 偶数项为3 即奇数项为2 1 偶数项为2 1 所以an 也可写为 an 4 偶数项为负 而奇数项为正 故通项公式中必含有 1 n 1 观察各项绝对值组成的数列 从第3项到第6项可知 分母分别由奇数7 9 11 13组成 而分子则是32 1 42 1 52 1 62 1 按照这样的规律 第1 2两项可改写为所以an 1 n 1 5 这个数列的前4项可以写成10 1 100 1 1000 1 10000 1 所以它的一个通项公式为an 10n 1 规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1 常用方法 观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等方法 2 具体策略 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项的符号特征和绝对值特征 化异为同 对于分式还可以考虑对分子 分母各个击破 或寻找分子 分母之间的关系 对于符号交替出现的情况 可用 1 k或 1 k 1 k N 处理 变式训练 写出下列数列的一个通项公式 1 2 4 6 8 2 3 a b a b a b 其中a b为实数 4 3 33 333 3333 5 4 2 解析 1 这个数列的前4项都是序号的2倍 所以它的一个通项公式为an 2n n N 2 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数 且奇数项为负 偶数项为正 所以它的一个通项公式为an 1 n 3 这是一个摆动数列 奇数项是a 偶数项是b 所以此数列的一个通项公式为an 4 将数列各项改写为 分母都是3 而分子分别是10 1 102 1 103 1 104 1 所以an 10n 1 5 将该数列的前4项改写成分数的形式 可得通项公式an 1 n 1 加固训练 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 3 解析 1 符号可通过 1 n表示 后面的数的绝对值总比前一个数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 2 数列变为 1 0 1 1 0 01 1 0 001 所以其通项公式为an 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母少3 因此把第1项变为 原数列化为 所以an 1 n 考点2an与Sn关系式的应用 典例2 1 2014 台州模拟 设数列 an 的前n项和为Sn 若Sn an 则an A 2nB 3nC 2n 1D 3n 1 2 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn A 2n 1B C D 解题视点 1 利用an 求解或采用特值验证 2 根据 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 把Sn 2an 1化为Sn 1 Sn之间的关系 求出数列 Sn 的通项 另外也可根据Sn 2an 1得出Sn 1 2an 进而得出an 1与an的关系 从而求出Sn 规范解答 1 选D 方法一 因为Sn an 所以Sn 1 an 1 n 2 得an 即an 3an 1 又S1 a1 所以a1 1 所以 an 是以1为首项 3为公比的等比数列 故an 3n 1 方法二 在已知式中令n 1 得a1 1 排除A B 令n 2 得a1 a2 a2 得a2 3 排除C 故选D 2 选B 方法一 因为an 1 Sn 1 Sn 所以由Sn 2an 1得 Sn 2 Sn 1 Sn 整理得3Sn 2Sn 1 所以 所以数列 Sn 是以S1 a1 1为首项 q 为公比的等比数列 所以Sn 故选B 方法二 因为Sn 2an 1 所以Sn 1 2an n 2 两式相减得 an 2an 1 2an 所以 所以数列 an 从第2项起为等比数列 又n 1时 S1 2a2 所以a2 所以Sn a1 互动探究 若例2题 2 中 结论改为求an 如何求解 解析 根据原题的结果Sn 当n 1时 a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n 1时不适合这个公式 所以an 规律方法 已知Sn求an的三个步骤 1 先利用a1 S1求出a1 2 用n 1替换Sn中的n得到一个新的关系 利用an Sn Sn 1 n 2 便可求出当n 2时an的表达式 3 对n 1时的结果进行检验 看是否符合n 2时an的表达式 如果符合 则可以把数列的通项公式合写 如果不符合 则应该分n 1与n 2两段来写 变式训练 已知数列 an 的前n项和Sn 分别求它们的通项公式an 1 Sn 2n2 3n 2 Sn 3n 1 解析 1 由题可知 当n 1时 a1 S1 2 12 3 1 5 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 当n 1时 4 1 1 5 a1 所以an 4n 1 2 当n 1时 a1 S1 3 1 4 当n 2时 an Sn Sn 1 3n 1 3n 1 1 2 3n 1 当n 1时 2 31 1 2 a1 所以 加固训练 1 已知数列 an 的前n项和Sn n2 3n 若an 1an 2 80 则n的值为 A 5B 4C 3D 2 解析 选A 因为Sn n2 3n 所以a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 4 2n 因此an 4 2n n N 又因为an 1an 2 80 即 4 2 n 1 4 2 n 2 80 n n 1 20 解得n 5或n 4 舍去 2 设数列 an 的前n项和为Sn 数列 Sn 的前n项和为Tn 满足Tn 2Sn n2 n N 1 求a1的值 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 令n 1 T1 2S1 1 因为T1 S1 a1 所以a1 2a1 1 所以a1 1 2 n 2时 Tn 1 2Sn 1 n 1 2 则Sn Tn Tn 1 2Sn n2 2Sn 1 n 1 2 2 Sn Sn 1 2n 1 2an 2n 1 因为当n 1时 a1 S1 1也满足上式 所以Sn 2an 2n 1 n N 当n 2时 Sn 1 2an 1 2 n 1 1 两式相减得an 2an 2an 1 2 所以an 2an 1 2 n 2 所以an 2 2 an 1 2 因为a1 2 3 0 所以数列 an 2 是以3为首项 公比为2的等比数列 所以an 2 3 2n 1 所以an 3 2n 1 2 当n 1时也成立 所以an 3 2n 1 2 考点3由数列的递推关系求通项公式 典例3 1 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln 则an等于 A 2 lnnB 2 n 1 lnnC 2 nlnnD 1 n lnn 2 若数列 an 满足a1 1 an 1 2nan 则数列 an 的通项公式an 解题视点 1 把已知转化为an 1 an ln 采用叠加的方法 2 把已知转化为 2n 采用叠乘的方法 规范解答 1 选A 由已知 an 1 an ln a1 2 所以an an 1 ln n 2 an 1 an 2 ln a2 a1 ln 将以上n 1个式子叠加 得an a1 lnn 所以an 2 lnn n 2 经检验n 1时也适合 故选A 2 由于 2n 故将这n 1个等式叠乘得故an 答案 易错警示 注意对n 1的检验本例题 1 在利用递推公式求通项时限制了n 2的条件 此时不要忽略检验n 1时是否成立 否则易出现错解 规律方法 典型的递推数列及处理方法 其中 1 an 1 pan q p 0 1 q 0 的求解方法是 设an 1 p an 即an 1 pan p 与an 1 pan q比较即可知只要 2 an 1 pan q pn 1 p 0 1 q 0 的求解方法是两端同时除以pn 1 即得 q 数列为等差数列 提醒 对于有些递推公式要注意参数的限制条件 变式训练 根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 1 an 1 3an 2 2 a1 1 an an 1 n 2 3 a1 2 an 1 an 3n 2 解析 1 因为an 1 3an 2 所以an 1 1 3 an 1 所以 3 所以数列 an 1 为等比数列 公比q 3 又a1 1 2 所以an 1 2 3n 1 所以an 2 3n 1 1 2 因为an an 1 n 2 所以an 1 an 2 a2 a1 以上 n 1 个式子叠乘得an 当n 1时符合上式 所以an 3 因为an 1 an 3n 2 所以an an 1 3n 1 n 2 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n 2 当n 1时 a1 2符合上式 所以an 加固训练 1 设数列 an 的前n项和为Sn 已知2an 2n Sn 则数列 an 的通项公式an 解析 令n 1得a1 2 由2an 2n Sn 得2an 1 2n 1 Sn 1 整理得an 1 2an 2n 即 即数列是首项为1 公差为的等差数列 故故an n 1 2n 1 答案 n 1 2n 1 2 已知数列 an 中 a1 1 an 1 bn 则数列 bn 的通项公式bn 解析 由于an 1 2 2 2 即bn 1 4bn 2 bn 1 4 bn 又a1 1 故b1 1 所以是首项为 公比为4的等比数列 bn 4n 1 bn 4n 1 答案 4n 1 考点4数列的性质 考情 因为数列可以看作是一类特殊的函数 所以数列也具备函数应具备的性质 因此 高考命题往往以数列作载体 用选择题 填空题的形式考查单调性 周期性等问题 高频考点通关 典例4 1 2014 杭州模拟 已知数列 an 的通项公式为an 则数列 an A 有最大项 没有最小项B 有最小项 没有最大项C 既有最大项又有最小项D 既没有最大项也没有最小项 2 2014 台州模拟 已知数列 xn 满足xn 3 xn xn 2 xn 1 xn n N 若x1 1 x2 a a 1且a 0 则数列 xn 的前2015项的和S2015为 A 671B 670C 1342D 1344 解题视点 1 构造f n an an 1 再利用二次函数的单调性求解 2 推算出 xn 的周期 利用周期性简化计算 规范解答 1 选C 因为数列 an 的通项公式为an 所以f n an an 1 f n 是关于 n N 的二次函数 且二次项系数为负 自变量 0 从而对应图象是开口向下的抛物线上的一群孤立点 所以数列先增后减 故有最大项和最小项 选C 2 选D 由题意x1 1 x2 a x3 x2 x1 a 1 1 a x4 1 a a 1 2a 又x4 x1 所以 1 2a 1 又因为a 0 所以a 1 所以此数列为 1 1 0 1 1 0 其周期为3 所以S2015 S671 3 2 671 2 2 1344 通关锦囊 通关题组 1 2013 新课标全国卷 设 AnBnCn的三边长分别为an bn cn AnBnCn的面积为Sn n 1 2 3 若b1 c1 b1 c1 2a1 an 1 an bn 1 cn 1 则 A Sn 为递减数列B Sn 为递增数列C S2n 1 为递增数列 S2n 为递减数列D S2n 1 为递减数列 S2n 为递增数列 解析 选B 因为an 1 an bn 1 cn 1 所以an a1 bn 1 cn 1 bn cn an bn cn a1 bn 1 cn 1 2a1 bn cn 2a1 注意到b1 c1 2a1 所以bn cn 2a1 于是 AnBnCn中 边长BnCn a1为定值 另两边的长度之和为bn cn 2a1为定值 因为bn 1 cn 1 所以bn cn b1 c1 当n 时 有bn cn 0 即bn cn 于是 AnBnCn的边BnCn上的高hn随n的增大而增大 于是其面积Sn BnCn hn a1hn 所以 Sn 为递增数列 2 2013 温州模拟 已知数列 an 若a1 b b 0 an 1 n N 则能使an b成立的n的值可能是 A 14B 15C 16D 17 解析 选C 因为an 1 所以an 代入上式得an 1 1 an 2 1 an 2 所以周期T 3 因为a1 b 所以a16 a3 5 1 a1 b 3 2014 绍兴模拟 已知数列 an 中 an n N a R 且a 0 1 若a 7 求数列 an 中的最大项和最小项的值 2 若对任意的n N 都有an a6成立 求a的取值范围 解析 1 因为an n N a R 且a 0 又因为a 7 所以an 1 结合函数f x 1 的单调性 可知1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an 1 n N 所以数列 an 中的最大项为a5 2 最小项为a4 0 2 an 因为对任意的n N 都有an a6成立 结合函数f x 1 的单调性 所以5 6 所以 10 a 8 加固训练 1 对于数列 an an 1 an n 1 2 是 数列 an 为递增数列 的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选B 方法一 由an 1 an n 1 2 知 an 从第二项起均为正项 且a1 an n 1 2 如 2 1 0 1 2 所以 an 1 an n 1 2 是 数列 an 为递增数列 的充分不必要条件 方法二 因为an 1 an n 1 2 3 所以若a1 0 则an 0 n 1 2 3 此时an 1 an 数列 an 是递增数列 若a1an 数列 an 是递增数列 但是 数列 an 是递增数列 不能得到an 1 an 如 3 2 1 2 3 所以 an 1 an n 1 2 是 数列 an 为递增数列 的充分不必要条件 2 已知数列 an 满足a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 A B C 10D 21 解析 选B 因为an 1 an 2n 所以an an 1 2 n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33适合上式 所以an n2 n 33 所以 令f x x 1 x 0 则f x 1 令f x 0得x 所以当0时 f x 0 即f x 在区间 0 上递减 在区间 上递增 又5f 6 所以当n 6时 有最小值 3 已知数列 an 1 若an n2 5n 4 数列中有多少项是负数 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 2 若an n2 kn 4且对于n N 都有an 1 an 求实数k的取值范围 解析 1 由n2 5n 4an知该数列是一个递增数列 又因为通项公式an n2 kn 4 可以看作是关于n的二次函数 考虑到n N 所以 即得k 3 易错误区12 an与Sn关系问题的易错点 典例 2013 新课标全国卷 若数列 an 的前n项和Sn 则 an 的通项公式是an 解析 由Sn 得 当n 2 时 Sn 1 所以当n 2 时 an Sn Sn 1 an an 1 化简得an 2an 1 即 2 又n 1 时 S1 a1 a1 a1 1 所以数列 an 是首项a1 1 公比q 2的等比数列 所以an 2 n 1 答案 2 n 1 误区警示 1 处未考虑到是n 2时才成立的情况 2 处忽略n 1时的情况导致解析不完整 规避策略 1 重视分类讨论思想的应用 分n 1和n 2两种情况讨论 特别注意an Sn Sn 1中需n 2 2 由Sn Sn 1 an推得an 要检验n 1时的情况 当n 1时 a1也适合 an式 则需统一 合写 当n 1时 a1不适合 an式 则数列的通项公式应分段表示 分写 即an 类题试解 1 已知数列 an 的前n项和Sn 3n 2 n N 则 A an 是递增的等比数列B an 是递增数列 但不是等比数列C an 是递减的等比数列D an 不是等比数列 也不单调 解析 选B 根据题意 由于数列 an 的前n项和Sn 3n 2 n N 那么可知当n 1时 则有首项为1 当n 2时 an Sn Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 n N 故可知数列是递增数列 但不是等比数列 故答案为B 2 数列 an 的前n项和为Sn a1 1 an 1 Sn n 1 2 3 则an 解析 因为an 1 Sn 所以an Sn 1 n 2 所以an 1 an Sn Sn 1 an n 2 所以an 1 an n 2 又a1 1 a2 S1 a1 所以an n 2 所以an 答案 创新体验 数列的新定义问题 典例 2013 湖南高考 对于E a1 a2 a100 的子集X 定义X的 特征数列 为x1 x2 x100 其中其余项均为0 例如 子集 a2 a3 的 特征数列 为0 1 1 0 0 0 1 子集 a1 a3 a5 的 特征数列 的前3项和等于 2 若E的子集P的 特征数列 为p1 p2 p100满足p1 1 pi pi 1 1 1 i 99 E的子集Q的 特征数列 为q1 q2 q100满足q1 1 qj qj 1 qj 2 1 1 j 98 则P Q的元素个数为 审题视点 解析 1 子集 a1 a3 a5 的 特征数列 的前三项是1 0 1 故和为2 2 根据题设条件 子集P的 特征数列 是1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 子集Q的 特征数列 是1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 发现p1 q1 1 p7 q7 1 p6i 5 q6i 5 1 于是令6n 5 97 得n 17 所以P Q的元素个数为17 答案 1 2 2 17 创新点拨 1 高考考情 以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点 考查频次较高 2 命题形式 常见的有新定义 新规则等 备考指导 1 准确转化 解决数列新定义问题时 一定要读懂新定义的本质含义 紧抓题目所给定义转化成题目要求的形式 切忌同已有概念或定义相混淆 2 方法选取 对于数列新定义问题 搞清定义是关键 仔细认真地从前几项 特殊处 简单处 体会题意 从而找到恰当的解决方法 新题快递 1 定义 若数列 An 满足An 1 An2 则称数列 An 为 平方递推数列 已知数列 an 中 点 an an 1 在函数f x 2x2 2x的图象上 其中n为正整数 证明 数列 2an 1 是 平方递推数列 思路点拨 仔细审题 搞清题中所给的定义 结合新的定义进行推理与证明 证明 由条件得 an 1 2an2 2an 所以2an 1 1 4an2 4an 1 2an 1 2 所以 2an 1 是 平方递推数列 2 设函数f x 定义如表 定义数列 an a0 2 an 1 f an n N 1 求a1 a2 a3 a4 a2013 a2014 2 若a1 a2 a3 an 1000 求n的值 解析 1 由题意知a1 f a0 f 2 4 a2 f a1 f 4 5 a3 f a2 f 5 1 a4 f a3 f 1 3 a5 f a4 f 3 2 a6 f a5 f 2 4 数列 an 为周期数列 最小正周期为5 而a1 a2 a3 a4 a9 a10 0 a2011 a1 4 a2012 a2 5 a2013 a3 1 a2014 a4 3 所以原式 a1 a2 a3 a4 a2008 a2009 a2010 a2011 a2012 a2013 a2014 0 4 5 1 3 3 2 因为一个周期内的和为15 又1000 15 66 10 a1 a2 a3 10 所以n 66 5 3 333