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线段垂直平分线、角平分线、中位线一、选择题1. （xx四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为（ ）A.20 B. 16 C. 12 D.8第7题图【答案】B【解析】ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以O为AC的中点，又因为E是AB中点，所以EO是ABC的中位线，AE=AB，EO=BC，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD中AD=BC，AB=CD，所以周长为2(AB+BC)=16【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线2. （xx四川省南充市，第8题，3分）如图，在中，分别为，的中点，若，则的长度为（ ）A B1 C D【答案】B【思路分析】1.由ACB=90，A=30，BC的长度，可求得AB的长度，2.利用直角三角形斜边的中线等于斜边第一半，求得CD的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF的长.【解题过程】解：在RtABC中，ACB=90，A=30，BC=2，AB=4，CD=AB，CD=4=2，E，F分别为AC，AD的中点，EF=CD=2=1，故选B.【知识点】30所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理3. （xx四川省达州市，8，3分） ABC的周长为19，点D、E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M若BC7，则MN的长为（ ） A B2 C D3第8题图【答案】C，【解析】ABC的周长为19，BC7，ABAC12ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，BABE，N是AE的中点ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，ACDC，M是AD的中点DEABACBC5MN是ADE的中位线，MNDE故选C. 【知识点】三角形的中位线4. （xx浙江杭州， 10，3分）如图，在ABC中，点D在AB边上，DE/BC，与边AC交于点E，连接BE，记ADE，BCE的面积分别为S1，S2,（ ）A. 若2ADAB，则3S12S2 B. 若2ADAB，则3S12S2 C. 若2AD2S2 D. 若2ADAB，则3S1BD时S1，S2的变化情况。【解题过程】当2AD=AB即AD=BD时2 S1= S2，则3S12S2。当2ADAB时，ADBD,AEEC, S1变小，S2变大，一定有3S1AB时，不确定。【知识点】中位线及面积大小比较5. （xx浙江湖州，8，3）如图，已知在ABC中，BAC90，点D为BC的中点，点E在AC上，将CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ） AAEEF BAB2DECADF和ADE的面积相等 DADE和FDE的面积相等【答案】C【解析】选项A，D为BC的中点，所以BDCDFDCD，FDBDBBFDCDFE， B+CBFD+DFEFAEAFEAEFE选项A正确选项B，E为AC的中点，D为BC的中点，DE为ABC的中位线AB2DE选项B正确选项C，BFDE，ADF和ADE的高相等但不能证明AFDE，ADF和ADE的面积不一定相等选项C错误选项D，ADE和FDE同底等高，面积相等，选项D正确故选C.【知识点】等腰三角形，折叠，中位线，三角形的外角1. （xx湖北黄冈，4题，3分）如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，B=60，C=25，则BAD为A.50 B.70 C.75 D.80第4题图【答案】B【解析】在ABC中，B=60，C=25,所以BAC=95,因为DE是AC的垂直平分线，所以DA=DC,所以DAC=C=25，所以BAD=BAC-DAC=70，故选B【知识点】三角形内角和，垂直平分线的性质2. （xx湖南郴州，7，3）如图，AOB=60，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P，以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）A.6 B.2 C.3 D.【答案】D【思路分析】判断出OP是AOB的平分线，过点M作MEOB于E，根据角平分线的性质可得MOB=30，然后根据“直角三角形中30所对的直角边等于斜边一半”列式计算即可得解【解析】解：由题意得OP是AOB的平分线，过点M作MEOB于E，又AOB=60，MOB=30，在RtMOE中，OM=6，EM=OM=3，故选C【知识点】角平分线的性质，尺规作图3. （xx甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OEAB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为（ ）A.4 B.5 C.342 D.34 【答案】B.【解析】四边形ABCD是矩形，ABC=90，ABCD，AB=CD，点O是AC的中点.OEAB，OECD，OE是ACD的中位线，CD=2OE=6，AB=6.在RtABC中，AB=6，BC=8，AC=10.OB是RtABC斜边的中线，OB=12AC=5.【知识点】矩形的性质，中位线的性质4. （xx河北省，6，3）尺规作图要求：过直线外一点作这条直线的垂线；作线段的垂直平分线；过直线上一点作这条直线的垂线；作角的平分线 如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（ ）A， B ，C， D ，【答案】D【解析】根据不同的作图方法可以一一对应 的已知点在直线外，所以对应，的已知点在直线上，所以对应【知识点】尺规作图，角的平分线，垂线，线段的垂直平分线5. （xx河北省，8，3） 已知，如图，点P在线段AB外，且PAPB求证：点P在线段AB的垂直平分线上在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ） A作APB的平分线PC交AB于点C B过点P作PCAB于点C且ACBCC取AB中点C，连接PCD过点P作PCAB，垂足为C第8题图【答案】B【解析】要证明PAPB需要作出AB上的中线（或垂线或APB的角平分线）选项B中作出的辅助线同时满足了两个条件，不正确故选B【知识点】线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一6.（xx贵州安顺，T8，F3）已知ABC （ACBC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使 PA+PC = BC, 则符合要求的作图痕迹是（ ）【答案】D【解析】选项A，该作图痕迹表示AB=PB，不符合题意；选项B，该作图痕迹表示作线段AC的垂直平分线交BC于点P，即PA=PC，不符合题意；选项C，该作图痕迹表示AC=PC，不符合题意；选项D，该作图痕迹表示作线段AB的垂直平分线交BC于点P，即PA=PB，故PA+PC=BC,符合题意.故选D.【知识点】尺规作图.7. （xx湖北荆门，11，3分）如图，等腰中，斜边的长为，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为（ ）A B C. D【答案】C.【解析】解：连接OM，CM，OC.OQOP，且M是PQ的中点，OM=PQ.ABC是等腰直角三角形，ACB=90，CM=PQ，OM=CM，OCM是等腰三角形，M在OC的垂直平分线上.当P在A点时，点M为AC的中点，当P在C点时，点M为BC的中点，点M所经过的路线长为AB=1.故选C.【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线，等腰三角形的判定与性质8. （xx湖北省襄阳市，7，3分） 如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于24cm长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BC、AC于点D、E.若AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为() A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm【答案】B【解析】解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，AD=CD，AC=2AE=6cm，AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=CABD=13cm，CABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.故选B.【知识点】线段垂直平分线9.（xx陕西，8，3分） 如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE若EH=2EF，则下列结论正确的是（ ）AAB=EFBAB=2EFCAB=EFDAB=EF【答案】D【思路分析】连接AC、BD交于点O利用中位线性质和菱形的性质证明EF=AO，EHBO，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB与AO的关系，即得出AB与EF的关系【解题过程】连接AC、BD交于点OE，F分别为AB、BC的中点，EF=AC四边形ABCD为菱形，AO=AC，ACBDEF=AO同理：EH=BOEH=2EFBO=2AO在RtABO中，设AO=x，则BO=2xAB=AOAB=EF，故选择D【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理二、填空题1. （xx四川泸州，题，3分） 如图5，等腰ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CDF周长的最小值为 .第16题图【答案】18【解析】做ABC的高AH，因为S=120，BC=20，所以AH=12，CDF的周长=CF+CD+DF，CF=5，因为EG是腰AC的垂直平分线，连接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值为AF的长度，在RtAHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此CDF周长的最小值为18【知识点】三角形面积，垂直平分线，勾股定理2. （xx四川内江，23，6） 如图，以AB为直径的O的圆心O到直线l的距离OE3，O的半径r2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为 【答案】12【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，ADl，BCl，ADBC，DAOFBO，ADOF，OAOB，AODBOF，ADBF，ODOF，OEl，ADBCOE，DECE，OECF (BFBC)(ADBC)，ADBC2OE6，四边形ABCD的面积(ADBC)CD，当ABl时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为6412【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；3. （xx四川广安，题号14，分值：3） 如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB于C，若EC=1，则OF=_.第14题图【答案】2.【解析】过点E作EDOA，于点D.EFCO，EFA=AOC=AOE+BOE=30.AFE是OEF的外角，OEF=AEF-AOE=15=AOE，OF=EF.OE是AOC的平分线，CEOB，EGOA，EG=CE=1.在RtEFG中，EFA=30EG=1，EF=2EG=2，即OF=2.【知识点】角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质4. （xx四川省南充市，第13题，3分）如图，在ABC中，平分，的垂直平分线交于点，则 度【答案】24【解析】解：设C的度数为xDE垂直平分AC，EA=EC，EAC=C=x，FAE=19，AFB=FAC+C=( x+19)+x=2x+19，AF平分ABC，BAF=FAC= x+19，BAF+AFB+B=180，即70+（2x+19）+(x+19)=180 ，解得：x=24.故答案为：24.【知识点】角平分线的定义；垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余5. （xx湖南衡阳，17，3分）如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M.如果CDM的周长为8，那么的周长是 【答案】16【解析】解：在ABCD中，AD=BC，AB=CD，点O为AC的中点，OMAC，MO为AC的垂直平分线，MC=MA，CDM的周长=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，平行四边形ABCD的周长=2（AD+CD）=16【知识点】6. （xx江苏泰州，14，3分）如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，ACD=ABC=90，E、F分别为AC、BD的中点，D=，则BEF的度数为 .（用含的式子表示）【答案】【解析】ACD=90，CAD=90D=90，E、F分别为AC、BD的中点，EFAD，CEF=CAD=90，AC平分BAD，BAC=CAD=90，ABC=90，E为AC的中点，AE=BE，EBA=BAC=90，BEC=1802，BEF=2703.【知识点】三角形中位线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质7. （xx山东省济宁市，13，3）在ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF.请你添加一个条件_，使BED与FDE全等.【答案】答案不唯一，如：点D是BC的中点或者DFAB.【解析】当D是BC的中点时，BEDFDE.E，F分别是边AB，AC的中点，EFBC，当E，D分别是边AB，BC的中点时，EDAC，四边形BEFD是平行四边形，BEDFDE，因此，答案为：D是BC的中点【知识点】全等三角形的判定，三角形中位线性质，平行线性质1. （xx武汉市，16，3分）如图，在ABC中，ACB60，AC1，D是边AB的中点，E是边BC上一点若DE平分ABC的周长，则DE的长是_【答案】【思路分析】延长BC至点F，使CF=AC，由题意得DE是ABF的中位线，ACF是底角为30的等腰三角形，作CGAF，垂足为G，可求得AF的长，从而求出DE的长.【解题过程】延长BC至点F，使CF=AC，DE平分ABC的周长，AD=BC，AC+CE=BE，BE=CF+CE=EF，DEAF，DE=AF，CAFACB30.作CGAF，垂足为G，则AGC=90，AF2AG2ACCAF2130，.【知识点】三角形的中位线 等腰三角形的性质 直角三角形中的边角关系2. （xx河南，15，3分）如图, MAN = 90,点C在边AM上,AC = 4,点B为边AN上一动点,连接BC, 与关于BC所在直线对称点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE当为直角三角形时, AB的长为_ 【答案】4或【思路分析】根据题意，易得EFAB，CAB90，123当为直角三角形时，分两种情况讨论：90时，22，所以+390，即3290，230，从而AB90时，90根据对称，45，进而判断出是等腰直角三角形，从而求出ABAC4【解题过程】图1 图2解：MAN = 90，与关于BC所在直线对称CAB90，CBA又点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交AB所在直线于点F，EFAB.当为直角三角形时，由题意得，不能为直角，则如图1，90时，+390EFAB，1+221.又,13,21+190,1302,AB.如图2，90时，EFAB,90由对称可得，45，是等腰直角三角形ABAC4.综上所述， AB的长为4或故答案为：4或【知识点】对称的性质，三角形中位线，直角三角形性质，三角形内角和，三角函数三、解答题1. (xx山东青岛中考，15，4分)已知：如图，射线上一点.求作：等腰，使线段为等腰的底边，点在内部，且点到两边的距离相等. （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）【思路分析】作线段BD的垂直平分线与ABC的平分线，交于点P，连接BP，PD，则PBD就是求作的三角形【解题过程】解：作图如下：【知识点】尺规作图角平分线、垂直平分线1. （xx湖北鄂州，18，8分）如图，在四边形ABCD中，DAB90，DBDC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF（1）求证：AEEF；（2）当AFAE时，设ADB，CDB，求，之间的数量关系【思路分析】【解析】解：（1）证明：点E、F分别为DB、BC的中点，EF是BCD的中位线，EFCD，又DBDC，EF DB，在RtABD中，点E为DB的中点，AE是斜边BD上的中线，AE DB，AEEF；（2）如下图（1），AEEF，AFAE，AEEFAF，AEF是等边三角形，AEFEAF60，又DAB90，1BAF906030，BAF301，EF是BCD的中位线，EFCD，BEFCDB，260，又21ADB1，160，160，AE是斜边BD上的中线，AEDE，1ADB，60，260【知识点】中位线定理；直角三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的外角性质；平行线的性质2. （xx四川攀枝花，20，8）(本小题满分8分)已知ABC中，A=90.（1）请在图8中作出BC边上的中线(保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图9，设BC边上的中线为AD.求证:BC=2AD.【思路分析】（1）用尺规作图作出线段BC的中垂线，目的是作出线段BC的中点D，然后连接线段AD即为所求。【解题过程】(1)如图(1)所示：(2) 如图(2),作AB边的中点E,连接ED，BE=EA,BD=DC,EDAC,BAC=90,BED=90，DEAB，DE是线段AB的垂直平分线， AD=BD，AD=BD=DC，BC=2AD。【知识点】尺规作图，三角形的中位线，线段的垂直平分线。3. （xx湖北省孝感市，20，7分）如图，中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：作的平分线交于点；作边的垂直平分线，与相交于点；连接，.请你观察图形解答下列问题：（1）线段，之间的数量关系是_；（2）若，求的度数.【思路分析】（1）根据从垂直平分线的性质可得PA=PB=PC.(2)根据等腰三角形的性质可得ACB=，再有三角形的内角和定理可得BAC=40，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得BAP =CAP=ABP =ACP=20,最后由三角形外角的性质可得=BPD+CPD=BAP +ABP +CAP +ACP =80.【解题过程】解：（1）线段，之间的数量关系是:（或相等）.（2）平分，.是线段的垂直平分线，.是的外角，.【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内角和定理；三角形外角的性质；角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图.4. （xx北京，17，5）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P求作：直线PQ，使得PQl作法：如图：在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AB_，CB_，PQl（_）（填推理的依据）【思路分析】（1）利用尺规作图，先作射线BC，再在射线BC上截取线段CQCB；最后过点P、Q作直线即可；（2）由作图易知PAAB，CQCB，依据是三角形的中位线的定义及定理，两点确定一条直线【解题过程】17解：（1）如下图所示： （2）PA，CQ；依据：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边；两点确定一条直线【知识点】尺规作图；三角形的中位线定理
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