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备考技法专题三 9 大板块知识系统归纳熟一熟基础板块(一)集合与常用逻辑用语 (一)巧用解题结论，考场快速抢分1集合运算的重要结论(1)ABA，ABB；AAA，AAB，BAB；AAA，AA，ABBA；AAA，A，ABBA.(2)若AB，则ABA；反之，若ABA，则AB.若AB，则ABB；反之，若ABB，则AB.(3)AUA，AUAU，U(UA)A.2特称命题真假的判断(1)要判断特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只需找到集合M中的一个元素x0，使p(x0)成立即可(2)要判定一个特称命题“x0M，p(x0)”是假命题，需验证p(x)对集合M中的每一个元素x都不成立3充分条件与必要条件的重要结论(1)如果pq，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件(2)如果pq，且qp，那么p是q的充要条件(3)如果pq，但qp，那么p是q的充分不必要条件(4)如果qp，且pq，那么p是q的必要不充分条件(5)如果pq，且qp，那么p是q的既不充分也不必要条件(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样在应用条件ABBABAAB时，不要忽略A的情况2“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论3要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(三)演练经典小题，做好考前热身1已知集合A1,2,3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则AB()A1B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析：选C由已知可得Bx|(x1)(x2)0，xZx|1x0且a1)；(ex)ex；(logax) (a0且a1)；(ln x).2函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)g(x)则为增(减)函数(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性(3)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数(5)定义在(，)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)0.3抽象函数的周期性与对称性的结论(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)为周期函数，T2a.若满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期函数，T2a.若满足f(xa)，则f(x)是周期函数，T2a.(2)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa 对称若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称4函数图象平移变换的相关结论(1)把yf(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c0时向左移，c0时向右移)得到函数yf(xc)的图象(c为常数)(2)把yf(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b0时向上移，b0时向下移)得到函数yf(x)b的图象(b为常数)5函数图象伸缩变换的相关结论(1)把yf(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0a1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数yaf(x)(a0)的图象(2)把yf(x)的图象上各点的横坐标伸长(0b1)或缩短(b1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数yf(bx)(b0)的图象(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替2判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响3分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数4不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0)既在切线上，又在函数图象上，而导致某些求导数的问题不能正确解出5易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的充分条件(三)演练经典小题，做好考前热身1已知函数f(x)若f(f(0)a21，则实数a()A1B2C3 D1或3解析：选D由题意可知，f(0)2，而f(2)42a，由于f(f(0)a21，所以a2142a，所以a22a30，解得a1或a3，故选D.2(2018益阳、湘潭调研)函数f(x)的图象大致是()解析：选B易知函数f(x)的定义域为x|x1，f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数当x(0,1)时，f(x)0，排除D；当x(1，)时，f(x)0，排除A、C.故选B.3函数yf(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3,5)为函数yf(x)的单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值解析：选C由函数yf(x)的导函数的图象可知，当x1或3x5时，f(x)0，yf(x)单调递减；当x5或1x3时，f(x)0，yf(x)单调递增所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3,5)，单调递增区间为(1,3)，(5，)函数yf(x)在x1,5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误4(2018武汉调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2xx2，则f(2)_.解析：法一：函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)f(2)2(2)(2)2(44)8.法二：当x0时，x0，f(x)2(x)(x)22xx2，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2xx2，f(2)22228.答案：85(2018郑州第一次质量测试)已知函数f(x)若不等式f(x)5mx恒成立，则实数m的取值范围是_解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)5mx，则g(x)恒过点(0,5)，由f(x)g(x)恒成立，并数形结合得m0，解得0m.答案：板块(三)不 等 式(一)巧用解题结论，考场快速抢分1一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是2基本不等式的重要结论(1)(a0，b0)(2)ab2(a，bR)(3) (a0，b0)3利用基本不等式求最值(1)对于正数x，y，若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2.(2)对于正数x，y，若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.4线性规划中的两个重要结论(1)点M(x0，y0)在直线l：AxByC0(B0)上方(或下方)Ax0By0C0(或0)(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：AxByC0同侧(或异侧)(Ax1By1C)(Ax2By2C)0(或0)(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错2容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如函数f(x)的最值，就不能利用基本不等式求解；求解函数yx(x1)2三点共线的判定A，B，C三点共线，共线；向量， ，中三终点A，B，C共线存在实数，使得，且1.3中点坐标和三角形的重心坐标(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， P为P1P2的中点，中点P的坐标为.(2)三角形的重心坐标公式：ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标是.4三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围2求yAsin(x)的单调区间时，要注意，A的符号Bsin Asin B.5当ab0时，不一定得到ab，当ab时，ab0；abcb，不能得到ac，消去律不成立；(ab)c与a(bc)不一定相等；(ab)c与c平行，而a(bc)与a平行6两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价(三)演练经典小题，做好考前热身1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos A，则b()A.B.C2 D3解析：选D由余弦定理得5b242b2，解得b3或b(舍去)，故选D.2(2018湖北八校联考)已知sin()，则tan的值为()A2 B2C. D2解析：选Dsin()，sin ，则cos ，tan2.3(2018郑州第二次质量预测)已知函数f(x) coscos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析：选Cf(x) coscos 2x coscos 2xsin 2x cos 2x2sin 2sin ，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y2sin 2x的图象故选C.4已知ABC中，三内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，若a2，sin C 2sin B且sin Acos Bsin Asin Bsin Csin B，则c的值为()A. B.C. D.解析：选Dsin Acos Bsin Asin Bsin Csin B可化为sin Acos Bsin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin B，即sin，A，又sin Acos Bcos Asin B2sin B，即cos Bsin B2sin B，则tan B，B，则C，c，故选D.5(2018西安八校联考)在ABC中，已知，|3，|3，M，N分别是BC边上的三等分点，则的值是()A. B.C6 D7解析：选B不妨设，所以22(22) (3232)，故选B.6已知向量a(1,2)，b(2，m)，c(7,1)，若ab，则bc_.解析：向量a(1,2)，b(2，m)，ab，m220，解得m4，b(2，4)，c(7,1)，bc274110.答案：10板块(五)数列 (一)巧用解题结论，考场快速抢分1等差数列的重要规律与推论(1)ana1(n1)dam(nm)d，pqmnapaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成的数列是等差数列(4)n是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列(5)若等差数列an的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(6)若等差数列an的项数为奇数2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.2等比数列的重要规律与推论(1)ana1qn1amqnm，pqmnapaqaman.(2)an，bn成等比数列anbn成等比数列(3)连续m项的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)仍然成等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则q.(5)等比数列前n项和有：SmnSmqmSn；(q1)(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1已知数列的前n项和求an，易忽视n1的情形，直接用SnSn1表示事实上，当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1.2易忽视等比数列中公比q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解3运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论一定分q1和q1两种情况进行讨论4对于通项公式中含有(1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an1an1d或q(n2)，求an的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论5求等差数列an前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件6利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项(三)演练经典小题，做好考前热身1若等差数列an的前n项和为Sn，且a2a36，则S4的值为()A12B11C10 D9解析：选A由题意得S4a1a2a3a42(a2a3)12.2若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为()A. B.C1 D2解析：选D设等比数列的首项为a1，公比为q，则第2,3,4项分别为a1q，a1q2，a1q3，依题意得a1a1qa1q2a1q39，a1a1qa1q2a1q3aq3，两式相除得2.3设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B.C. D1或2解析：选B设S2k，则S43k，由数列an为等比数列(易知数列an的公比q1)，得S2，S4S2，S6S4为等比数列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故选B.4已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，a2a54，则a8_.解析：因为S3，S9，S6成等差数列，所以公比q1，整理得2q61q3，所以q3，故a24，解得a28，故a882.答案：2板块(六)立体几何 (一)巧用解题结论，考场快速抢分1根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形，一般对应三棱锥(2)三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥(3)三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥(4)三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱(5)三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱2长方体的对角线与共点三条棱之间的长度关系d2a2b2c2；长方体外接球半径为R时有(2R)2a2b2c2.3棱长为a的正四面体内切球半径ra，外接球半径Ra.(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主2不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，ml，易误得出m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件3注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系4几种角的范围：两条异面直线所成的角090；直线与平面所成的角090；二面角0180；两条相交直线所成的角(夹角)090；直线的倾斜角0180；两个向量的夹角0180；锐角00相交，0相离，0相切(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离，dr相切(主要掌握几何方法)2直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10(斜率相等)且B1C2B2C10(在y轴上截距不相等)；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(4)垂直A1A2B1B20.3若点P(x0，y0)在圆x2y2r2上，则该点的切线方程为：x0xy0yr2.4通径：(1)椭圆通径长为；(2)双曲线通径长为；(3)抛物线通径长为2p.5抛物线焦点弦的常用结论：设AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，为直线AB的倾斜角，则(1)焦半径|AF|x1，|BF|x2.(2)x1x2，y1y2p2.(3)弦长|AB|x1x2p.(4).(5)以弦AB为直径的圆与准线相切(6)SOAB(O为抛物线的顶点)(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错2易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为yy0k(xx0)等3讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.4圆的标准方程中，易误把r2当成r；圆的一般方程中忽视方程表示圆的条件5易误认为两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解6利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支7已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解(三)演练经典小题，做好考前热身1已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20对称，则ab的取值范围是()A.B.C. D.解析：选A将圆的方程配方得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线2axby20上，代入整理得ab1，故aba(1a)2，选A.2已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A B1C D解析：选A设M(x0，y0)，易知焦点F，由抛物线的定义得|MF|x02p，所以x0p，故y2pp3p2，解得y0p，故直线MF的斜率k，选A.3设F1，F2是双曲线x21的左、右两个焦点，M是双曲线与椭圆1的一个公共点，则MF1F2的面积等于()A2B4C6 D8解析：选B法一：由得不妨设点M是两曲线在第一象限的交点，则有M，点M到x轴的距离为，由已知可得|F1F2|2c2，故MF1F2的面积等于24，故选B.法二：依题意可得双曲线与椭圆的焦点相同，假设点M是两曲线在第一象限的交点，则有|MF1|MF2|2，|MF1|MF2|6，解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，由于|MF1|2|MF2|2422220|F1F2|2，故MF1F2是直角三角形，其面积为424.故选B.4(2018福州期末)已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为.若点M在C上，且MF1MF2，M到原点的距离为，则C的方程为()A.1 B.1Cx21 Dy21解析：选C由题意可知，OM为RtMF1F2斜边上的中线，所以|OM|F1F2|c.由M到原点的距离为，得c，又e，所以a1，所以b2c2a2312.故双曲线C的方程为x21.5(2018合肥质检)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2y26x50所截得的弦长为2，则该双曲线的离心率等于_解析：不妨取双曲线1的一条渐近线方程为bxay0，圆x2y26x50的圆心为(3,0)，半径为2，圆心(3,0)到渐近线bxay0的距离d，又d， ，化简得a22b2，该双曲线的离心率e.答案：6过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为_解析：如图所示，令|PF1|1，在RtPF1F2中，由F1PF260，可知|PF2|2，|F1F2|，由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3,2c，所以e.答案：板块(八)概率与统计(一)巧用解题结论，考场快速抢分1直方图的三个结论(1)小长方形的面积组距频率(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高，所有小长方形高的和为.2线性回归方程线性回归方程x一定过样本点的中心(，)3独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小4二项式定理(1)各二项式系数之和：CCCC2n.CCCC2n1.(2)二项式系数的性质：CC，CCC.二项式系数最值问题：当n为偶数时，中间一项即第1项的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数C，C相等且最大(3)求两个二项式乘积的展开式中xk项(或系数)，要用系数配对5八组公式(1)离散型随机变量的分布列的两个性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.(2)均值公式E(X)x1p1x2p2xnpn.(3)均值的性质E(aXb)aE(X)b；若XB(n，p)，则E(X)np；若X服从两点分布，则E(X)p.(4)方差公式D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn，标准差.(5)方差的性质D(aXb)a2D(X)；若XB(n，p)，则D(X)np(1p)；若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(6)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)P(A)P(B)(7)独立重复试验的概率计算公式Pn(k)Cpk(1p)nk.(8)条件概率公式P(B|A).(二)明辨易错易混，谨防无谓失分1应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和2正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3二项式(ab)n与(ba)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同4要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为，因而有P(A|B)P(AB)(三)演练经典小题，做好考前热身1(2018武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.B.C. D.解析：选C将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为.故选C.2(2018重庆调研)已知圆C：(x2)2y22，直线l：ykx，其中k为，上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A. B.C. D.解析：选D当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d，解得k1或k1，又k，所以k1或1k，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P，故选D.3(2018合肥质检)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4)现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在98,104内的产品估计有()附：若X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.A3 413件 B4 772件C6 826件 D8 186件解析：选D由题意知100，2，则P(98X104)P(X)P(2X”的区别(三)演练经典小题，做好考前热身1(2018太原模拟)设复数z满足i，则z的共轭复数为()AiBiC2i D2i解析：选Ai，zi，i.2(2018石家庄模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为1，则输出的k的值为()A1 B2C3 D4解析：选D开始，k0，a1，所以b1；第一次循环，a，此时ab；第二次循环，k2，a2，此时ab；第三次循环，k4，a 1，此时ab，结束循环，输出k的值为4，故选D.3(2018郑州第一次质量测试)执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是()A(30,42 B(30,42)C(42,56 D(42,56)解析：选Ak1，S2，k2；S246，k3；S6612，k4；S12820，k5；S201030，k6；S301242，k7，此时不满足S42m，退出循环，所以300，当a1时，ln 0，当a时，ln0，当a2时，ln 0，所以a.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若函数f(x)是奇函数，则常数a_
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