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10.3抛物线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2016浙江文,19抛物线的定义和标准方程直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦点坐标、准线方程2014浙江文,22抛物线的定义和标准方程直线与抛物线的位置关系、抛物线的焦点坐标抛物线的几何性质1.掌握抛物线的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2016浙江,9抛物线的焦点坐标、准线方程抛物线的定义和标准方程2015浙江,5抛物线的焦点坐标抛物线的定义和标准方程、直线与抛物线的位置关系2014浙江文,22抛物线的焦点坐标直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义和标准方程分析解读1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题.3.预计2020年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查.破考点【考点集训】考点一抛物线的定义和标准方程1.(2018浙江杭州二中期中,8)已知点A(4,4)在抛物线y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为E,则EAF的平分线所在的直线方程为() A.2x+y-12=0B.x+2y-12=0C.2x-y-4=0D.x-2y+4=0答案D2.(2018浙江名校协作体期初,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若FM=12MN,则|FN|=.答案5考点二抛物线的几何性质1.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线y2=4ax的焦点坐标为()A.(a,0)或(-a,0)B.(a,0)C.(-a,0)D.(|a|,0)答案B2.(2018浙江镇海中学5月模拟,16)已知抛物线y2=4x,焦点记为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|-2|BF|的最小值为.答案22-2炼技法【方法集训】方法1求抛物线标准方程的方法1.(2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F(0,1),过O作斜率为k(k0)的直线l交抛物线于A(异于O点),已知D(0,5),直线AD交抛物线于另一点B.(1)求抛物线C的方程;(2)若OABF,求k的值.解析(1)由题意知, =1,所以p=2,所以抛物线C:x2=4y.(2)由题意知,直线OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y中,消去y,得x2-4kx=0,则A(4k,4k2).直线AB:y=4k2-54kx+5,直线BF:y=-x+1,联立可解得B-16k4k2-1,4k2+154k2-1.又因为B在抛物线C上,则-16k4k2-12=44k2+154k2-1,得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=52.2.(2018浙江名校协作体期初,21)如图,已知抛物线C1:x2=2py(p0)的焦点在抛物线C2:y=x2+1上,点P是抛物线C1上的动点.(1)求抛物线C1的方程及其准线方程;(2)过点P作抛物线C2的两条切线,A、B为两个切点,求PAB面积的最小值.解析(1)抛物线C1的方程为x2=4y,其准线方程为y=-1.(2)设P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA的方程为y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2x12+y1,又y1=x12+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切线PB的方程为y=2x2x+2-y2,又切线PA和PB都过P点,所以4tx1-y1+2-t2=0,4tx2-y2+2-t2=0,所以直线AB的方程为4tx-y+2-t2=0.联立y=4tx+2-t2,y=x2+1得x2-4tx+t2-1=0,所以x1+x2=4t,x1x2=t2-1.所以|AB|=1+16t2|x1-x2|=1+16t212t2+4.点P到直线AB的距离d=|8t2-t2+2-t2|1+16t2=6t2+21+16t2.所以PAB的面积S=|AB|d=2(3t2+1)3t2+1=2(3t2+1)32,所以当t=0时,S取得最小值,为2,即PAB面积的最小值为2.方法2利用抛物线的定义解决有关问题的方法1.(2018浙江宁波模拟,8)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(5,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,若|BF|=5,则BCF与ACF的面积的比SBCFSACF=() A.B.2033C.1531D.2029答案D2.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,12)已知抛物线y2=2px(p0)上一点A(1,a)到焦点的距离为2,则该抛物线的准线方程为;a=.答案x=-1;2过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一抛物线的定义和标准方程(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9考点二抛物线的几何性质1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是() A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案A2.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.解析(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t0,t1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B1t2,-2t.又直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t2-12t.从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-.所以Nt2+3t2-1,-2t.设M(m,0),由A,M,N三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m2.经检验,m2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).思路分析(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAM=kAN,最终求出结果.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.3.(2014浙江文,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF=3FM.(1)若|PF|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线的定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(22,2)或P(-22,2).由PF=3FM,分别得M-223,23或M223,23.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,x2=4y得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-m+415.由0,k20,得-m.又因为|AB|=41+k2k2+m,点F(0,1)到直线AB的距离为|m-1|1+k2,所以SABP=4SABF=8|m-1|k2+m=16153m3-5m2+m+1.记f(m)=3m3-5m2+m+1-13f43,所以,当m=时, f(m)取到最大值256243,此时k=5515.所以ABP面积的最大值为2565135.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2017课标全国理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.答案62.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案22考点二抛物线的几何性质1.(2016课标全国,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为() A.2B.4C.6D.8答案B2.(2018课标,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.答案23.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)4.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,12作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为14,0,准线方程为x=-.(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由y=kx+12,y2=x得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2=1-kk2,x1x2=14k2.因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=y2x2x,点B的坐标为x1,y2x1x2.因为y1+y2x1x2-2x1=y1x2+y2x1-2x1x2x2=kx1+12x2+kx2+12x1-2x1x2x2=(2k-2)x1x2+12(x2+x1)x2=(2k-2)14k2+1-k2k2x2=0,所以y1+y2x1x2=2x1.故A为线段BM的中点.方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.C组教师专用题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则k=() A.B.1C.D.2答案D2.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-答案C3.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=22x5.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.答案1+26.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)考点二抛物线的几何性质1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B2.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D3.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D. x=-2答案A4.(2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10答案B5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-3)2=16.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-27.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,得点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=14x02,由y=x,得切线l的斜率k=y|x=x0=x0,所以切线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=|MN|=14x0+3x0,|AB|=|AC|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.评析本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想.8.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.解析(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-1my+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、四点共圆等基础知识.考查解析几何的基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力.对于第(2)问将直线l方程设为x=my+1(m0),这样可以避免讨论斜率不存在的情形,使问题简单化.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共4分)1.(2018浙江镇海中学期中,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为原点,若M是抛物线上的动点,则|OM|MF|的最大值为() A.33B.63C.233D.263答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共16分)2.(2019届浙江温州九校联考,15)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则1|AF|+1|BF|=,16|AF|-|BF|2的最大值为.答案1;43.(2018浙江台州第一次调考(4月),12)抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为,若点P(3,m)在抛物线C上,则线段PF的长度为.答案(2,0);3+24.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)已知M(a,4)为抛物线y2=2px(p0)上的一点,F为抛物线的焦点,N为y轴上的动点,当sinMNF的值最大时,MNF的面积为5,则p的值为.答案2或8三、解答题(共60分)5.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M(-2,8),且|MF|=45.(1)求抛物线的方程;(2)设A,B是抛物线上的两点,当F为ABM的垂心时,求直线AB的方程.解析(1)由题意得|MF|=p2+22+64=45,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(5分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为F是ABM的垂心,所以MFAB,所以kMFkAB=-1,故kAB=,(7分)所以设直线AB的方程为x=2y+n,与y2=8x联立得y2-16y-8n=0.令0,有n-8.y1+y2=16,y1y2=-8n.(10分)因为F是ABM的垂心,所以MAFB.即x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0,同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0,+得2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13分)所以n2-8n-68=0,解得n=4221,又因为n-8,所以直线AB的方程为x-2y-4221=0.(15分)6.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),21)如图,点P(1,1)为抛物线y2=x上一定点,斜率为-的直线与抛物线交于A,B两点.(1)求弦AB的中点M的纵坐标;(2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点),过Q作PA的平行线交抛物线于E,F两点,求证:|QE|QF|-|QP|QB|为定值.解析(1)由yA2=xA,yB2=xB作差,可得(yA+yB)(yA-yB)=xA-xB,1yA+yB=yA-yBxA-xB=-,(*)所以yA+yB=-2,yM=yA+yB2=-1.(2)证明:设Q(x0,y0),直线EF:x-x0=t1(y-y0),联立方程组x-x0=t1(y-y0),y2=xy2-t1y+t1y0-x0=0,所以yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0,|QE|QF|=1+t12|yE-y0|1+t12|yF-y0|=(1+t12)|y02-x0|,同理,|QP|QB|=(1+t22)|y02-x0|.由(1)中(*)可知,t1=1kEF=1kPA=yA+yP,t2=1kPB=yB+yP,所以t1+t2=(yA+yB)+2yp=-2+2=0,即t1=-t2t12=t22,所以|QE|QF|=|QP|QB|,即|QE|QF|-|QP|QB|=0.7.(2018浙江名校协作体联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p0),且抛物线C在点P(1, f(1)处的切线斜率为.直线l与抛物线交于不同的两点A,B,且直线AP垂直于直线BP.(1)求证:直线l过定点,并求出定点坐标;(2)直线BP交y轴于点M,直线AP交x轴于点N,求|AP|BP|MP|NP|的最大值.解析(1)证明:y=x22p,y=x.当x=1时,得=,p=2.抛物线的方程为x2=4y.设A(2t1,t12),B(2t2,t22),APBP,P1,14,kAPkBP=t12-142t1-1t22-142t2-1=-1,t1t2+ (t1+t2)+174=0(*),又kAB=t12-t222t1-2t2=t1+t22,直线AB的方程为y-t12=t1+t22(x-2t1),即2y=(t1+t2)x-2t1t2,将(*)式代入直线AB的方程得(t1+t2)(x+1)+172-2y=0,令x+1=0,172-2y=0,解得直线AB过定点-1,174.(2)设直线BM的方程为y-=k(x-1),不妨设k0,联立y-14=k(x-1),x2=4y,得x2-4kx+4k-1=0,=16k2-16k+40,根据根与系数的关系得xB+xP=4k,xB=4k-1,由于APBP,同理可得xA=-1,又xN=+1,xM=0,|AP|BP|=1+1k2|xP-xA|k2+1|xB-xP|=1+k2k2+4k(4k-2)=4(1+k2)(2k-1)(k+2)k2,|MP|NP|=k2+1|xP-xM|1+1k2|xN-xP|=1+k24,|AP|BP|MP|NP|=4(1+k2)(2k-1)(k+2)k241+k2=16(2k-1)(k+2)k2=16-2k2+3k+2=-321k-342+5050,|AP|BP|MP|NP|的最大值为50.8.(2018浙江嵊州高三期末质检,21)如图,已知抛物线y2=x,点A(1,1),B(4,-2),抛物线上的点P(x,y)(y1),直线AP与x轴相交于点Q,记PAB,QAB的面积分别是S1,S2.(1)若APPB,求点P的纵坐标;(2)求S1-5S2的最小值.解析(1)因为kAP=y-1x-1=y-1y2-1=1y+1,kBP=y+2x-4=y+2y2-4=1y-2.由APBP,得kAPkBP=1y+11y-2=-1,即y2-y-1=0,得y=1+52.(2)解法一:设直线AP:y-1=k(x-1),则Q1-1k,0,由y1,知0k1),则kAP=1t+1,所以直线AQ:y-1=1t+1(x-1),则Q(-t,0).又直线AB:x+y-2=0,|AB|=32.则点P到直线AB的距离d1=|t2+t-2|2=t2+t-22,点Q到直线AB的距离d2=|-t-2|2=t+22,所以S1-5S2=|AB|(d1-5d2)=322t2+t-22-5t+102= (t-2)2-24.故当t=2时,S1-5S2有最小值-24.
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