高一数学 初高中衔接教材 圆中的有关定理课件.ppt

圆中的有关定理 垂径定理 提示 垂径定理是圆中一个重要的结论 三种语言要相互转化 形成整体 才能运用自如 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 如图 CD是直径 CD AB AM BM 垂径定理的逆定理 平分弦的直径垂直于这条弦 典型例题解析 例1 在直径为400mm的圆柱形油槽内 装入一部分油 油面宽320mm 求油的深度 解析 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题 没有给出图形 直径长是已知的 油面宽可理解为截面圆的弦长 也是已知的 但由于圆的对称性 弦的位置有两种不同的情况 如图 1 和 2 图 1 中OC 120 mm CD 80 mm 图 2 中OC 120 mm CD OC OD 320 mm 典型例题解析 典型例题解析 例2 2003年 广州市 如图 A是半径为5的 O内的一点 且OA 3 过点A且长小于8的弦有 A 0条B 1条C 2条D 4条 解析 这题是考察垂径定理的几何题 先求出垂直于OA的弦长BC 2 8即过A点最短的弦长为8 故没有弦长小于8的弦 选 A 例3 如图 某地有一圆弧形拱桥 桥下水面宽为7 2米 拱顶高出水面2 4米 现有一艘宽3米 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里 此货船能顺利通过这座拱桥吗 典型例题解析 相信自己能独立完成解答 解 如图 用表示桥拱 所在圆的圆心为O 半径为Rm 经过圆心O作弦AB的垂线OD D为垂足 与相交于点C 根据垂径定理 D是AB的中点 C是的中点 CD就是拱高 由题设得 在Rt OAD中 由勾股定理 得 解得R 3 9 m 在Rt ONH中 由勾股定理 得 此货船能顺利通过这座拱桥 相交弦定理和切割弦定理 相交弦定理及其推论 定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 PA PB PC PD 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 PC2 PD2 PA PB 2相交弦定理和切割弦定理 切割线定理 定理 从圆外一点引圆的两条割线 这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 PA PB PC PD 且都等于这点到圆所作切线长的平方 PT2 PA PB 例1已知如图 AB是 O的直径 弦CD AB 垂足为E P为BA延长线上的点 连结PC 交 O于F 如果PF 7 FC 13 且PA AE EB 2 4 1 求CD的长 解析 涉及圆中有关切割线 相交弦定理的应用问题时 要注意寻找应用定理的基本图形 如PFC与PAB是割线 得到PF PC PA PB CD与AB是 O中两条互相垂直的弦 得到CE2 AE BE由PA AE EB 2 4 1可设PA 2k AE 4k EB k 则PB 7k则7 7 13 2k 7kk 由CE2 AE BE CE2 4k k 4k2CE 2CD 2CE 4 典型例题解析 典型例题解析 典型例题解析 例2 如图 ABC是 O的内接三角形 PA是切线 PB交AC于E 交 O于D 且PE PA ABC 60 PD 1 BD 8 求CE的长 解 PA是 O切线 PA2 PD PB 1 1 8 9 PA 3 PAC ABC 60 PE PA PAE是等边三角形 AE EP 3 DE 2 BE 6 AE EC BE DE EC 4 典型例题解析 例3 如图 1 已知 O的弦AB CD交于圆内的一点E 过E作EF BC交DA的延长线于F FG切 O于G 1 求证 EF FG图 1 2 若AB与CD的交点在 O外 上述结论是否成立 请证明你的猜想 解析 1 要证两线段相等 方法很多但这题应该用等积式证EF FG 很明显FG2 FA FD 若再能得到EF2 FA FD即可 FAE FED 2 这是一道探索性问题 首先要根据题意画出图形 如图 2 利用已知条件来探求结论是否成立 此题很容易探求出FG EF证明同 1