2019版高考数学 2.9 函数模型及其应用课件.ppt

第九节函数模型及其应用 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 几种常见的函数模型 2 三种函数模型性质比较 增 增 增 快 慢 y x 3 解决实际应用问题的一般步骤 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 建模 将自然语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 求模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 2 必备结论教材提炼记一记 f x x a 0 型函数模型形如f x x a 0 的函数模型称为 对勾 函数模型 该函数在 和 上单调递增 在 0 和 0 上单调递减 当x 0时 x 时取最小值 当x 0时 x 时取最大值 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 图象法 导数法 配方法 待定系数法 2 数学思想 函数与方程 数形结合 分类讨论 转化与化归 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 函数y 2x的函数值在 0 上一定比y x2的函数值大 2 在 0 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度会超过并远远大于y xa a 0 的增长速度 3 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0 b 1 增长速度越来越快的形象比喻 4 指数函数模型 一般用于解决变化较快 短时间内变化量较大的实际问题中 解析 1 错误 当x 0 2 和 4 时 2x x2 当x 2 4 时 x2 2x 2 正确 由两者的图象易知 3 错误 增长越来越快的指数型函数是y a bx c a 0 b 1 4 正确 根据指数函数y ax a 1 函数值增长特点知 4 正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1P107A组T1改编 在某个物理实验中 测量得变量x和变量y的几组数据 如下表 则x y最适合的函数的是 A y 2xB y x2 1C y 2x 2D y log2x 解析 选D 根据x 0 50 y 0 99 代入计算 可以排除A 根据x 2 01 y 0 98 代入计算 可以排除B C 将各数据代入函数y log2x 可知满足题意 故选D 2 必修1P107A组T3改编 一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm 燃烧时剩下的高度h cm 与燃烧时间t h 的函数关系用图象表示为图中的 解析 选B 由题意知h 20 5t 0 t 4 故选B 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 泉州模拟 某产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 x N 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时 销售收入不小于总成本 的最低产量是 A 100台B 120台C 150台D 180台 解析 选C 设利润为f x 万元 则f x 25x 3000 20 x 0 1x2 0 1x2 5x 3000 0 所以x 150 2 2015 武汉模拟 里氏震级M的计算公式为 M lgA lgA0 其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 A0是相应的标准地震的振幅 假设在一次地震中 测震仪记录的最大振幅是1000 此时标准地震的振幅为0 001 则此次地震的震级为级 9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍 解析 由lg1000 lg0 001 6 得此次地震的震级为6级 因为标准地震的振幅为0 001 设9级地震最大振幅为A9 则lgA9 lg0 001 9解得A9 106 同理5级地震最大振幅A5 102 所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍 答案 610000 考点1一次函数 二次函数模型知 考情以一次函数 二次函数为模型的应用题常出现在高考试题中 尤其是二次函数 考查较多 既有选择题 填空题 也有解答题 难度适中 属中档题 明 角度命题角度1 单一考查一次函数或二次函数模型 典例1 1 2015 西安模拟 某电信公司推出两种手机收费方式 A种方式是月租20元 B种方式是月租0元 一个月的本地网内通话时间t 分钟 与电话费s 元 的函数关系如图所示 当通话150分钟时 这两种方式电话费相差 A 10元B 20元C 30元D 元 2 2015 昆明模拟 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为m 解题提示 1 根据对应点的坐标分别求出两条直线方程 2 根据相似三角形的性质 找出比例关系 列出以x为变量的二次函数式表示出阴影部分的面积 规范解答 1 选A 依题意可设sA t 20 kt sB t mt 又sA 100 sB 100 所以100k 20 100m 得k m 0 2 于是sA 150 sB 150 20 150k 150m 20 150 0 2 10 即两种方式电话费相差10元 2 由相似三角形性质可得 解得y 40 x 所以面积S x 40 x x2 40 x x 20 2 400 0 x 40 当x 20时 Smax 400 答案 20 互动探究 在本例 2 中 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园 则其边长x的取值范围又是多少呢 解析 则x 40 y y 40 x 由xy 300 即x 40 x 300 解得10 x 30 命题角度2 以分段函数的形式考查一次函数和二次函数模型 典例2 2015 厦门模拟 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度v 单位 千米 时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到200辆 千米时 造成堵塞 此时车流速度为0 当车流密度不超过20辆 千米时 车流速度为60千米 时 研究表明 当20 x 200时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当0 x 200时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到1辆 时 解题提示 1 根据已知条件 确定0 x 200时v x 的表达式 2 确定0 x 20及20 x 200时 v x 的分段函数 根据函数的性质确定f x x v x 的最大值 规范解答 1 由题意 当0 x 20时 v x 60 当20 x 200时 设v x ax b 再由已知得解得故函数v x 的表达式为v x 2 依题意并由 1 可得f x 当0 x 20时 f x 为增函数 故当x 20时 其最大值为60 20 1200 当20 x 200时 f x x 200 x 当且仅当x 200 x 即x 100时 等号成立 所以当x 100时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 3333 综上 当车流密度为100辆 千米时 车流量可以达到最大 最大值约为3333辆 时 悟 技法一次函数 二次函数模型问题的常见类型及解题策略 1 直接考查一次函数 二次函数模型 解决此类问题应注意三点 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极易出错 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用待定系数法 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 2 以分段函数的形式考查 解决此类问题应关注以下三点 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车票价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 分段函数的最值是各段的最大 或最小 者的最大者 最小者 提醒 1 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 2 对构建的较复杂的函数模型 要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解 通 一类1 2015 盐城模拟 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 如图 为降低消耗 开源节流 现要从这些边角料上截取矩形铁片 如图阴影部分 备用 则截取的矩形面积的最大值为 解析 依题意知 即x 24 y 所以阴影部分的面积S xy 24 y y y2 24y 所以当y 12时 S有最大值为180 答案 180 2 2015 福州模拟 为了在 十一 黄金周期间降价搞促销 某超市对顾客实行购物优惠活动 规定一次购物付款总额 如果不超过200元 则不予优惠 如果超过200元 但不超过500元 则按标价给予9折优惠 如果超过500元 其中500元按第 条给予优惠 超过500元的部分给予7折优惠 辛云和她母亲两次去购物 分别付款168元和423元 假设他们一次性购买上述同样的商品 则应付款额为 解析 依题意 价值为x元的商品和实际付款数f x 之间的函数关系式为当f x 168时 由168 0 9 187 200 故此时x 168 当f x 423时 由423 0 9 470 200 500 故此时x 470 所以两次共购得价值为470 168 638元的商品 又500 0 9 638 500 0 7 546 6元 即若一次性购买上述商品 应付款额为546 6元 答案 546 6元 3 2015 日照模拟 某家庭进行理财投资 根据长期收益率市场预测 投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比 已知投资1万元时两类产品的收益分别为0 125万元和0 5万元 1 分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系 2 该家庭有20万元资金 全部用于理财投资 问 怎么分配资金能使投资获得最大收益 其最大收益是多少万元 解析 1 设两类产品的收益与投资额的函数分别为f x k1x g x k2 由已知得f 1 k1 g 1 k2 所以f x x x 0 g x x 0 2 设投资债券类产品为x万元 则投资股票类产品为 20 x 万元 依题意得y f x g 20 x 0 x 20 令t 则y 所以当t 2 即x 16时 收益最大 ymax 3万元 投资债券类产品16万元 投资股票类产品4万元 可使投资获得最大收益 最大收益为3万元 加固训练 1 2014 武汉模拟 在经济学中 函数f x 的边际函数Mf x 定义为 Mf x f x 1 f x 某公司每月生产x台某种产品的收入为R x 元 成本为C x 元 且R x 3000 x 20 x2 C x 500 x 4000 x N 现已知该公司每月生产该产品不超过100台 1 求利润函数P x 以及它的边际利润函数MP x 2 求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差 解析 1 由题意 得x 1 100 且x N P x R x C x 3000 x 20 x2 500 x 4000 20 x2 2500 x 4000 MP x P x 1 P x 20 x 1 2 2500 x 1 4000 20 x2 2500 x 4000 2480 40 x 2 P x 74125 当x 62或x 63时 P x 取得最大值74120元 因为MP x 2480 40 x是减函数 所以当x 1时 MP x 取得最大值2440元 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71680元 2 据气象中心观察和预测 发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动 其移动速度v km h 与时间t h 的函数图象如图所示 过线段OC上一点T t 0 作横轴的垂线l 梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t h 内沙尘暴所经过的路程s km 1 当t 4时 求s的值 2 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来 3 若N城位于M地正南方向 且距M地650km 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城 如果会 在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城 如果不会 请说明理由 解析 1 由图象可知 当t 4时 v 3 4 12 km h 所以s 4 12 24 km 2 当0 t 10时 s t 3t t2 当10 t 20时 s 10 30 30 t 10 30t 150 当20 t 35时 s 10 30 10 30 t 20 30 t 20 2 t 20 t2 70t 550 综上 可知s 3 沙尘暴会侵袭到N城 因为t 0 10 时 smax 102 150 650 t 10 20 时 smax 30 20 150 450 650 所以当t 20 35 时 令 t2 70t 550 650 解得t1 30 t2 40 舍 所以沙尘暴发生后30h会侵袭到N城 考点2函数y x 模型的应用 典例3 2015 天津模拟 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室 在温室内 沿左 右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道 沿前侧内墙保留3m宽的空地 当矩形温室的边长各为多少时 蔬菜的种植面积最大 最大面积是多少 解题提示 根据条件设温室的左侧边长为xm 列出种植面积y x 4 2 然后化简 构建 对勾函数 求解 规范解答 设温室的左侧边长为xm 则右侧边长为m 所以蔬菜种植面积y x 4 2 808 2 x 4 x 400 因为x 2 80 所以y 808 2 80 648 当且仅当x 即x 40时取等号 此时 20 y最大值 648 m2 即当矩形温室的边长各为40m 20m时 蔬菜的种植面积最大 最大面积是648m2 规律方法 应用函数y x 模型的关键点 1 明确对勾函数是正比例函数f x ax与反比例函数f x 叠加而成的 2 解决实际问题时一般可以直接建立f x ax 的模型 有时可以将所列函数关系式转化为f x ax 的形式 3 利用模型f x ax 求解最值时 要注意自变量的取值范围 及取得最值时等号成立的条件 变式训练 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系C x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解析 1 由已知条件得C 0 8 则k 40 因此f x 6x 20C x 6x 0 x 10 2 f x 6x 10 10 2 10 70 万元 当且仅当6x 10 即x 5时等号成立 所以当隔热层厚度为5cm时 总费用f x 达到最小值 最小值为70万元 加固训练 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品 其生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x 8000 已知此生产线年产量最大为210吨 1 求年产量为多少吨时 生产每吨产品的平均成本最低 并求最低成本 2 若每吨产品平均出厂价为40万元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 解析 1 每吨平均成本为 万元 则当且仅当 即x 200时取等号 所以年产量为200吨时 每吨平均成本最低为32万元 2 设年获得总利润为R x 万元 则R x 40 x y 40 x 48x 8000 88x 8000 x 220 2 1680 0 x 210 因为R x 在 0 210 上是增函数 所以当x 210时 R x 有最大值为 210 220 2 1680 1660 所以年产量为210吨时 可获得最大利润1660万元 2 某旅游风景区为方便学生集体旅游 特制学生寒假旅游专用卡 每张卡60元 使用规定 不记名 每卡每次一人 每天只限一次 可连续使用一周 实验小学现有1500名学生 准备在寒假分若干批去此风景区旅游 来回只需一天 除需购买若干张旅游卡外 每次都乘坐5辆客车 每辆客车最大客容量为55人 每辆客车每天费用为500元 若使全体同学都到风景区旅游一次 按上述方案 每位同学最少要交多少钱 解析 设买x张旅游卡 总费用为y元 依题意 购买卡需60 x元 租车的次数为 则租车的费用为 500 5 元 所以y 60 x 500 5 00 所以y 30000 元 当且仅当60 x 500 5 即x 250时 y取得最小值为30000元 此时 每人所需交钱数为 20 元 旅游所需天数 6 7 每辆车所载人数为 50 55 符合要求 故每位同学至少要交20元 考点3指数函数与对数函数模型 典例4 2015 长春模拟 某医药研究所开发的一种新药 如果成年人按规定的剂量服用 据监测 服药后每毫升血液中的含药量y 微克 与时间t 小时 之间近似满足如图所示的曲线 1 写出第一次服药后 y与t之间的函数关系式y f t 2 据进一步测定 每毫升血液中含药量不少于0 25微克时 治疗有效 求服药一次后治疗有效的时间是多长 解题提示 1 依据图象写出y f t 2 令y 0 25解所得不等式即可 规范解答 1 由题意可设y 当t 1时 由y 4得 k 4 由 4得 a 3 因此 y 2 由y 0 25得 或解得 t 5 因此 服药一次后治疗有效的时间是小时 规律方法 应用指数函数模型应注意的问题 1 指数函数模型的应用类型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 2 应用指数函数模型时的关键 关键是对模型的判断 先设定模型 再将已知有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 变式训练 2015 商丘模拟 为了保证信息安全 传输必须使用加密方式 有一种方式其加密 解密原理如下 已知加密为y ax 2 x为明文 y为密文 如果明文 3 通过加密后得到密文为6 再发送 接收方通过解密得到明文 3 若接收方接到密文为 14 则原发的明文是 解析 依题意y ax 2中 当x 3时 y 6 故6 a3 2 解得a 2 所以加密为y 2x 2 因此 当y 14时 由14 2x 2 解得x 4 答案 4 加固训练 1 某位股民购进某支股票 在接下来的交易时间内 他的这支股票先经历了n次涨停 每次上涨10 又经历了n次跌停 每次下跌10 则该股民这支股票的盈亏情况 不考虑其他费用 为 A 略有盈利B 略有亏损C 没有盈利也没有亏损D 无法判断盈亏情况 解析 选B 设该股民购这支股票的价格为a 则经历n次涨停后的价格为a 1 10 n a 1 1n 经历n次跌停后的价格为a 1 1n 1 10 n a 1 1n 0 9n a 1 1 0 9 n 0 99n a a 故该股民这支股票略有亏损 2 一个人喝了少量酒后 血液中的酒精含量迅速上升到0 3mg mL 在停止喝酒后 血液中的酒精含量以每小时25 的速度减少 为了保障交通安全 某地根据 道路交通安全法 规定 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0 09mg mL 那么 此人至少经过小时后才能开车 精确到1小时 解析 设经过x小时才能开车 由题意得0 3 1 25 x 0 09 所以0 75x 0 3 x log0 750 3 4 19 所以此人至少经过5小时后才能开车 答案 5 3 一片森林原来面积为a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍伐到面积的一半时 所用时间是10年 为保护生态环境 森林面积至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余面积为原来的 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 解析 1 设每年降低的百分比为x 0 x 1 则a 1 x 10 a 即 1 x 10 解得x 1 2 设经过m年剩余面积为原来的 则a 1 x m 即解得m 5 故到今年为止 已砍伐了5年 3 设从今年开始 以后砍了n年 则n年后剩余面积为a 1 x n 令a 1 x n a 即 1 x n 解得n 15 故今后最多还能砍伐15年 4 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬 研究燕子的科学家发现 两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v 5log2 单位是m s 其中Q表示燕子的耗氧量 1 试计算 燕子静止时的耗氧量是多少个单位 2 当一只燕子的耗氧量是80个单位时 它的飞行速度是多少 解析 1 由题意知 当燕子静止时 它的速度为0 代入题目所给公式可得0 5log2 解得Q 10 即燕子静止时的耗氧量为10个单位 2 将耗氧量Q 80代入公式得v 5log2 5log28 15 m s 即当一只燕子耗氧量为80个单位时 它的飞行速度为15m s 规范解答1利用函数模型解决实际问题 典例 12分 2015 合肥模拟 已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元 每生产1万只还需另投入16万美元 设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完 每万只的销售收入为R x 万美元 且R x 1 写出年利润W 万美元 关于年产量x 万只 的函数解析式 2 当年产量为多少万只时 苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大 并求出最大利润 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 当040时 W xR x 16x 40 16x 7360 所以 4分 2 当040时 W 16x 7360 由于 16x 1600 10分当且仅当 16x 即x 50 40 时 取等号 所以W取最大值为5760 综合 知 当x 32时 W取最大值为6104万元 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分1 解答数学应用题的关键有两点一是认真审题 读懂题意 理解问题的实际背景 将实际问题转化为数学问题 二是灵活运用数学知识和方法解答问题 得到数学问题中的解 再把结论转译成实际问题的答案 2 解答数学应用题的失误与防范 1 函数模型应用不当 是常见的解题错误 所以 正确理解题意 选择适当的函数模型 2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 合理确定函数的定义域 3 注意问题反馈 在解决函数模型后 必须验证这个数学解答对实际问题的合理性