2019版高考数学 直线与圆的位置关系课件.ppt

第二节直线与圆的位置关系 知识梳理 1 圆周角 圆心角 弦切角定理 一半 弧的度数 相等 相等 圆周角 2 1 性质 定理1 圆的内接四边形的对角 定理2 圆内接四边形的外角等于它的 2 判定 定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 互补 内角的对角 共圆 3 圆的切线的性质与判定定理 1 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过 2 判定定理 经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线 半径 切点 圆心 垂直 4 与圆有关的比例线段 相等 相等 切线长 切线长 两条切线 小题快练 1 2014 天津高考 如图 ABC是圆的内接三角形 BAC的平分线交圆于点D 交BC于点E 过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F 在上述条件下 给出下列四个结论 BD平分 CBF FB2 FD FA AE CE BE DE AF BD AB BF 则所有正确结论的序号是 A B C D 解析 选D 由弦切角定理得 FBD EAC BAE 又 BFD AFB 所以 BFD AFB 所以即AF BD AB BF 排除A C 又 FBD EAC DBC 排除B 2 2014 湖北高考 如图 P为 O外一点 过P作 O的两条切线 切点分别为A B 过PA的中点Q作割线交 O于C D两点 若QC 1 CD 3 则PB 解析 由切割线定理得QA2 QC QD 1 1 3 4 所以QA 2 PB PA 4 答案 4 3 2014 湖南高考 如图 已知AB BC是 O的两条弦 AO BC AB BC 2 则 O的半径等于 解析 延长AO 作出直径AD 连接BD 则AB垂直于BD 设BC AD交于E 因为AO BC AB BC 2 所以AE 1 由射影定理得AB2 AE AD 3 2r r 答案 4 2014 陕西高考 如图 ABC中 BC 6 以BC为直径的半圆分别交AB AC于点E F 若AC 2AE 则EF 解析 由已知利用割线定理得 AE AB AF AC 又AC 2AE 得AB 2AF 所以且 A A得 AEF ACB且相似比为1 2 又BC 6 所以EF 3 答案 3 考点1圆周角定理及圆内接四边形 典例1 2015 南阳模拟 已知 直线AB过圆心O 交 O于A B 直线AF交 O于F 不与B重合 直线l与 O相切于C 交AB于E 且与AF垂直 垂足为G 连接AC 求证 1 BAC CAG 2 AC2 AE AF 解题提示 1 连接BC 根据AB为 O的直径得到 ECB与 ACG互余 根据弦切角得到 ECB BAC 得到 BAC与 ACG互余 再根据 CAG与 ACG互余 得到 BAC CAG 2 连接CF 利用弦切角结合 1 的结论 可得 GCF ECB 再用外角进行等量代换 得到 AFC ACE 结合 FAC CAE得到 FAC CAE 从而得到AC是AE AF的比例中项 从而得到AC2 AE AF 规范解答 1 连接BC 因为AB为 O的直径 所以 ACB 90 ECB ACG 90 因为GC与 O相切于C 所以 ECB BAC 所以 BAC ACG 90 又因为AG CG CAG ACG 90 所以 BAC CAG 2 连接CF 由 1 可知 EAC CAF 因为GE与 O相切于C 所以 GCF CAF BAC ECB 因为 AFC GCF 90 ACE ECB 90 所以 AFC ACE 因为 FAC CAE 所以 FAC CAE 所以所以AC2 AE AF 规律方法 圆周角定理常用的转化 1 圆周角与圆周角之间的转化 2 圆周角与圆心角之间的转化 3 弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 4 圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化 变式训练 2015 抚顺模拟 如图 PA PB是圆O的两条切线 A B是切点 C是劣弧AB 不包括端点 上一点 直线PC交圆O于另一点D Q在弦CD上 且 DAQ PBC 求证 1 2 ADQ DBQ 证明 1 因为 PBC PDB 所以同理又因为PA PB 所以即 2 连接AB 因为 BAC BDQ PBC DAQ ABC ADQ 所以 ABC ADQ 所以故又因为 DAQ PBC BDQ 所以 ADQ DBQ 加固训练 如图 圆O的两弦AB和CD交于点E EF CB EF交AD的延长线于点F 求证 DEF EAF 证明 因为EF CB 所以 BCD FED 又 BAD与 BCD是所对应的圆周角 所以 BAD BCD 所以 BAD FED 又 EFD EFD 所以 DEF EAF 考点2圆的切线性质与判定定理 弦切角定理 典例2 2014 辽宁高考 如图 EP交圆于E C两点 PD切圆于D G为CE上一点且PG PD 连接DG并延长交圆于点A 作弦AB垂直EP 垂足为F 1 求证 AB为圆的直径 2 若AC BD 求证 AB ED 解题提示 1 利用已知条件证明 ADB 90 从而证明AB为圆的直径 2 设法证明ED也是直径 即可证明AB ED 规范解答 1 因为PG PD 所以 PDG PGD 由于PD为切线 所以 PDA DBA 又由于 EGA PGD 所以 EGA DBA 所以 DBA BAD EGA BAD 从而 BDA PFA 由于AF EP 所以 PFA 90 所以 BDA 90 故AB为圆的直径 2 连接BC DC 由于AB为圆的直径 所以 BDA ACB 90 在Rt BDA Rt ACB中 AB BA BD AC 从而Rt BDA Rt ACB 所以 DAB CBA 又因为 DCB DAB 所以 DCB CBA 故DC AB 由于AB EP 所以DC EP 所以 DCE 90 所以ED为直径 所以AB ED 规律方法 与圆的切线有关的问题及处理方法 1 证明直线是圆的切线的常用方法 若已知直线与圆有公共点 则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可 若已知直线与圆没有明确的公共点 则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径 2 求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角 3 求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理 提醒 利用弦切角定理时 一定要注意是弦切角与同弧上的圆周角相等 变式训练 2015 张掖模拟 如图 C点在圆O直径BE的延长线上 CA切圆O于A点 ACB平分线CD交AE于点F 交AB于D点 1 求 ADF的度数 2 若AB AC 求AC BC 解析 1 因为AC为圆O的切线 所以 B EAC 又知CD是 ACB的平分线 所以 ACD DCB 所以 B DCB EAC ACD 即 ADF AFD 又因为BE为圆O的直径 所以 DAE 90 所以 ADF 180 DAE 45 2 因为 B EAC ACB ACB 所以 ACE BCA 所以又因为AB AC 所以 B ACB 30 所以在Rt ABE中 tan B tan30 考点3与圆有关的比例线段 典例3 2015 濮阳模拟 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P E为 O上一点 DE交AB于点F 1 证明 DF EF OF FP 2 当AB 2BP时 证明 OF BF 解题提示 1 证明 OFE DFP后利用对应边成比例求解 2 利用相交弦定理化简证明 规范解答 1 连接OE 因为所以 AOE CDE 所以 EOF PDF 又 EFO PFD 所以 OFE DFP 所以所以DF EF OF FP 2 设BP a 由AB 2BP 得AO BO BP a 由相交弦定理得 DF EF AF BF 所以AF BF OF FP 所以OF a BF a OF BF 所以OF BF 规律方法 与圆有关的比例线段解题思路 1 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 2 见到圆的两条割线就要想到割线定理 3 见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 变式训练 2014 新课标全国卷 如图 P是 O外一点 PA是切线 A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 证明 1 因为PC 2PA PD DC 所以PA PD PAD为等腰三角形 连接AB 则 PAB DEB BCE BAE 因为 PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE 所以 DBE 所以 DBE 即 BCE DBE 所以BE EC 2 因为AD DE BD DC PA2 PB PC PD DC PA 所以PA2 PB PC PB 2PA 即PA 2PB 所以BD DC PA PB PA PA2 PB PA PB PC PB PA PB PC PA PB PA PB 2PB 2PB2 即AD DE 2PB2 加固训练 如图 AB CD是圆的两条平行弦 BE AC BE交CD于E 交圆于F 过A点的切线交DC的延长线于P PC ED 1 PA 2 1 求AC的长 2 试比较BE与EF的长度关系 解析 1 连接BC 因为过A点的切线交DC的延长线于P 所以PA2 PC PD 因为PC 1 PA 2 所以PD 4 又PC ED 1 所以CE 2 因为 PAC CBA PCA CAB 所以 PAC CBA 所以所以AC2 PC AB 2 所以AC 2 BE AC 由相交弦定理可得CE ED BE EF 因为CE 2 ED 1 所以EF 所以EF BE