资源描述
二项式定理一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. (1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A. 15 B. 20 C. 30 D. 35（正确答案）C解：(1+1x2)(1+x)6展开式中：若(1+1x2)=(1+x-2)提供常数项1，则(1+x)6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若(1+1x2)提供x-2项，则(1+x)6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由(1+x)6通项公式可得C6rxr可知r=2时，可得展开式中x2的系数为C62=15可知r=4时，可得展开式中x2的系数为C64=15(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为：15+15=30故选C直接利用二项式定理的通项公式求解即可本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用.属于基础题2. (x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )A. -80 B. -40 C. 40 D. 80（正确答案）C【分析】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(2x-y)5的展开式的通项公式：Tr+1=5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r5rx5-ryr.令5-r=2，r=3，解得r=3.令5-r=3，r=2，解得r=2.即可得出【解答】解：(2x-y)5的展开式的通项公式：Tr+1=5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r5rx5-ryr令5-r=2，r=3，解得r=3令5-r=3，r=2，解得r=2(x+y)(2x-y)5的展开式中的x3y3系数=22(-1)3C53+23152=40故选C3. 在x2-13xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( )A. -7 B. 7 C. -28 D. 28（正确答案）B【分析】本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项【解答】解：依题意，n2+1=5，n=8二项式为x2-13x8，其展开式的通项Tk+1=(-1)k(12)8-kC8kx8-4k3令8-4k3=0解得k=6故常数项为C86(x2)2(-13x)6=7故选B4. (1-2x)(1-x)5的展开式中x的系数为( )A. 10 B. -10 C. -20 D. -30（正确答案）D解：(1-2x)(1-x)5=(1-2x)(1-5x+52x2-53x3+)，展开式中x3的系数为-53-252=-30故选：D由(1-2x)(1-x)5=(1-2x)(1-5x+52x2-53x3+)，即可得出本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5. 若的(x2+a)(x-1x)10展开式中x6的系数为-30，则常数a=( )A. -4 B. -3 C. 2 D. 3（正确答案）C解：(x-1x)10展开式的通项公式为：Tr+1=C10rx10-r(-1x)r=(-1)rC10rx10-2r；令10-2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为-C103=-120；令10-2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为C102=45；所以(x2+a)(x-1x)10的展开式中x6的系数为：-120+45a=-30，解得a=2故选：C根据题意求出(x-1x)10展开式中含x4项、x6项的系数，得出(x2+a)(x-1x)10的展开式中x6的系数，列出方程求出a的值本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，是基础题6. (2+x)(1-2x)5展开式中，x2项的系数为( )A. 30 B. 70 C. 90 D. -150（正确答案）B解：(1-2x)5展开式的通项公式为Tr+1=C5r(-2x)r，(2+x)(1-2x)5展开式中，x2项的系数为2C52(-2)2+C51(-2)=70，故选：B先求得(1-2x)5展开式的通项公式，可得(2+x)(1-2x)5展开式中x2项的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题7. 已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A. 212 B. 211 C. 210 D. 29（正确答案）D解：已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得Cn3=Cn7，可得n=3+7=10(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为：12210=29故选：D直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力8. 若(1+2x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8，则a0+a1+a2+a7的值为( )A. -2 B. -3 C. 253 D. 126（正确答案）C解：(1+2x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a8x8，a8=2C77(-2)7=-256令x=1得：(1+2)(1-2)7=a0+a1+a2+a7+a8=-3，a1+a2+a7=-3-a8=-3+256=253故选：C 利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值1即可求得a1+a2+a8的值本题考查二项式定理的应用，求得a8的值是关键，考查赋值法的应用，属于中档题9. (x2+1)(1x-2)5的展开式的常数项是( )A. 5 B. -10 C. -32 D. -42（正确答案）D解：由于(1x-2)5的通项为Tr+1=C5r(1x)5-r(-2)r=C5r(-2)rxr-52，故(x2+1)(1x-2)5的展开式的常数项是x2C51(-2)1x-2+1C55(-2)5x0=-42，故选：D由于(1x-2)5的通项为C5r(1x)5-r(-2)r，可得(x2+1)(1x-2)5的展开式的常数项本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题10. (x-2x)5的展开式中，含x3项的系数是( )A. -10 B. -5 C. 5 D. 10（正确答案）A解：(x-2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5rx5+r2(-2)r，令5+r2=3得r=1，故展开式中含x3项的系数是C51(-2)=-10，故选：A利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中含x3项的系数本题考查二项展开式的通项公式，它是解决二项展开式的特定项问题的工具11. 在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m,n)，则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A. 45 B. 60 C. 120 D. 210（正确答案）C解：(1+x)6(1+y)4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20.f(3,0)=20；含x2y1的系数是C62C41=60，f(2,1)=60；含x1y2的系数是C61C42=36，f(1,2)=36；含x0y3的系数是C60C43=4，f(0,3)=4；f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120故选：C由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力12. 若(x-3x)n的展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的系数为( )A. 15 B. 10 C. -15 D. -10（正确答案）C解：(x-3x)n的展开式中各项系数绝对值之和与(x+3x)n的展开式中各项系数之和相等对(x+3x)n，令x=1，则其展开式中各项系数之和=4n4n=1024，解得n=5(x-3x)5的通项公式Tr+1=5r(x)5-r(-3x)r=(-3)r5rx52-3r2，令52-3r2=1，解得r=1展开式中x的系数=-351=-15故选：C(x-3x)n的展开式中各项系数绝对值之和与(x+3x)n的展开式中各项系数之和相等.对(x+3x)n，令x=1，则其展开式中各项系数之和=4n.解得n，再利用通项公式即可得出本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. (2x+x)5的展开式中，x3的系数是_ .(用数字填写答案)（正确答案）10解：(2x+x)5的展开式中，通项公式为：Tr+1=5r(2x)5-r(x)r=25-rC5rx5-r2，令5-r2=3，解得r=4 x3的系数2C54=10故答案为：10利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4= _ （正确答案）121解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=35；再令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，a0+a2+a4=35-12=121，故答案为：121在所给的式子中，分别令x=1、x=-1，可得则a0+a2+a4的值本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题15. 若(x2-13x)a的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_（正确答案）7【分析】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别.根据题意，x2-13xa的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则a=8，可得x2-13x8的二项展开式，令24-4r3=0，解得r=6，将其代入二项展开式，可得答案【解答】解：根据题意，x2-13xa的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则a=8，则x2-13x8的二项展开式为：Tr+1=C8rx28-r-13xr=-1r128-rC88-rx24-4r3，令24-4r3=0，解得r=6则其常数项为7故答案为716. (2x2+x-1)5的展开式中，x3的系数为_ （正确答案）-30解：(2x2+x-1)5=(2x2+x)-15展开式的通项公式为Tr+1=C5r(2x2+x)5-r(-1)r，当r=0或1时，二项式(2x2+x)5-r展开式中无x3项；当r=2时，二项式(2x2+x)5-r展开式中x3的系数为1；当r=3时，二项式(2x2+x)5-r展开式中x3的系数为4；当r=4或5时，二项式(2x2+x)5-r，展开式中无x3项；所求展开式中x3项的系数为1C52+4(-C53)=-30故答案为：-30先求得二项式展开式的通项公式，再根据通项公式，讨论r的值，即可求得x3项的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题
展开阅读全文