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第1课时余弦函数的图象与性质课时过关能力提升1.函数y=-5cos(3x+1)的最小正周期为()A.3B.3C.23D.32答案:C2.函数f(x)=sinx+2cos(2x-)()A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:f(x)=sinx+2cos(2x-)=cos x(-cos 2x)=-cos xcos 2x,于是f(-x)=-cos(-x)cos(-2x)=-cos xcos 2x=f(x),故f(x)是偶函数.答案:B3.函数y=-cosx2-3的单调递增区间是()A.2k-43,2k+23(kZ)B.4k-43,4k+23(kZ)C.2k+23,2k+83(kZ)D.4k+23,4k+83(kZ)解析:令2kx2-32k+(kZ),解得4k+23x4k+83(kZ),所以所求函数的增区间为4k+23,4k+83(kZ).答案:D4.先把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:y=cos 2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得y1=cos x+1的图象,再向左平移1个单位长度,得y2=cos(x+1)+1的图象,再向下平移1个单位长度得y3=cos(x+1)的图象,故相应的图象为A.答案:A5.下列函数中,图象的一部分如图所示的是()A.y=sinx+6B.y=sin2x-6C.y=cos4x-3D.y=cos2x-6答案:D6.如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点43,0中心对称,那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2解析:由y=3cos(2x+)的图象关于点43,0中心对称知,f43=0,即3cos83+=0.83+=k+2(kZ).=k+2-83(kZ).|的最小值为2+2-83=6.答案:A7.函数y=4cos2x+4cos x-1的值域是.解析:y=4cos2x+4cos x-1=4cosx+122-2.由于-1cos x1,所以当cos x=-12时,ymin=-2;当cos x=1时,ymax=7,因此函数的值域是-2,7.答案:-2,78.已知f(n)=cosn4,nN+,则f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=.答案:-19.一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点离地面2 m(如图所示),则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)=2)的函数关系式为.解析:首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2,所以只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.在RtO1PQ中,cos =8-y(t)8,所以y(t)=-8cos +8.而212=t,所以=6t,所以y(t)=-8cos6t+8,所以h(t)=-8cos6t+10.故填h(t)=-8cos6t+10.答案:h(t)=-8cos6t+1010.已知函数f(x)=2cos x(0),且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求f8的值;(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移6个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.解:(1)由题意知f(x)的周期T=,故2=,=2.f(x)=2cos 2x.f8=2cos4=2.(2)将y=f(x)的图象向右平移6个单位长度后,得到y=fx-6的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到y=fx4-6的图象,所以g(x)=fx4-6=2cos2x4-6=2cosx2-3.当2kx2-32k+(kZ),即4k+23x4k+83(kZ)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为4k+23,4k+83(kZ).11.已知函数f(x)=-12-a4+acos x+sin2x0x2的最大值为2,求实数a的值.解:f(x)=-cosx-a22+a2-a+24,且0cos x1.当0a21,即0a2时,cos x=a2时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=a2-a+24.由a2-a+24=2,解得a=3或a=-2,均不合题意,舍去.当a20,即a1,即a2时,cos x=1时,函数f(x)可取得最大值,此时f(x)max=-1-a22+a2-a+24=3a-24.由3a-24=2,解得a=103.综上,a的值为-6或103.12.求函数y=sin3+4x+cos4x-6的周期、单调区间和最值.解:y=sin3+4x+cos4x-6=cos2-3+4x+cos4x-6=cos6-4x+cos4x-6=2cos4x-6,故周期T=2=24=2.令2k4x-62k+,kZ,解得24+k2x724+k2,kZ,因此,所求函数的单调递减区间为24+k2,724+k2(kZ).同理可求得单调递增区间为724+k2,24+(k+1)2(kZ).因为-1cos4x-61,所以-22cos4x-62.故所求函数的最大值为2,最小值为-2.
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