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4.5解直角三角形过关演练(30分钟70分)1.cos 60的值等于(D)A.3B.1C.22D.12【解析】根据特殊角的三角函数值,可得cos 60=12.2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin 的值是(C)A.35B.34C.45D.43【解析】作ABx轴于点B,由勾股定理得OA=5,在RtAOB中利用正弦的定义得出sin =ABOA=45.3.如图,已知AD是等腰ABC底边上的高,且sin B=45.点E在AC上,且AEEC=23,则tan ADE=(D)A.13B.23C.25D.12【解析】作EFCD交AD于点F,sin B=sin C=ADAC=45,设AD=4x,则AC=5x,CD=3x.AEEC=AFDF=AD-DFDF=23,DF=125x,AF=85x,AFAD=EFCD=25,EF=65x,tan ADE=EFDF=12.4.ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1),ADBC于点D,下列选项中,错误的是(C)A.sin =cos B.tan C=2C.sin =cos D.tan =1【解析】ADBC,AD=BD,=45,sin =cos ,tan =1.在RtACD中,CD=1,AD=2,AC=12+22=5,tan C=ADCD=2,sin =15=55,cos =25=255,sin cos .5.(xx浙江金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得ABC=,ADC=,则竹竿AB与AD的长度之比为(B)A.tantanB.sinsinC.sinsinD.coscos【解析】在RtABC中,AB=ACsin,在RtACD中,AD=ACsin,ABAD=ACsinACsin=sinsin.6.(xx江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tanAFE的值(A)A.等于37B.等于33C.等于34D.随点E位置的变化而变化【解析】EFAD,AFE=FAG,EHCD,AEHACD,EHAH=CDAD=34.设EH=3x,AH=4x,HG=GF=3x,tan AFE=tan FAG=GFAG=3x3x+4x=37.7.(xx重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=10.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 240.41,cos 240.91,tan 240.45)(A)A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米【解析】作BMED交ED的延长线于点M,作CNDM于点N.在RtCDN中,CNDN=10.75=43,设CN=4k,DN=3k,CD=10,(3k)2+(4k)2=100,k=2,CN=8,DN=6,四边形BMNC是矩形,BM=CN=8,MN=BC=20,EM=MN+DN+DE=66,在RtAEM中,tan 24=AMEM,0.45=8+AB66,AB=21.7(米).8.在ABC中,AB=122,AC=13,cos B=22,则BC的边长为(D)A.7B.8C.8或17D.7或17【解析】cos B=22,B=45,当ABC为钝角三角形时,如图1,AB=122,B=45,AD=BD=12,AC=13,由勾股定理得CD=5,BC=BD-CD=12-5=7;当ABC为锐角三角形时,如图2,BC=BD+CD=12+5=17.综上,BC的长为7或17.9.在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB的中线,CD=5,AC=6,则sin B的值是35.【解析】在RtABC中,CD是斜边AB的中线,CD=5,AB=2CD=10,sin B=ACAB=610=35.10.(xx北京)如图所示的网格是正方形网格,BACDAE.(填“”“=”或“0.6,正弦值随着角度的增大而增大,BACDAE.11.(xx浙江宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若EMD=90,则cos B的值为3-12.【解析】延长DM交CB的延长线于点H,连接ED.四边形ABCD是菱形,AD=BC=AB=2,ADCH,ADM=H,AM=BM,AMD=HMB,ADMBHM,HB=AD=2,HM=DM,EMDH,EH=ED,设BE=x,AEBC,AEAD,AEB=EAD=90,AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,22-x2=(2+x)2-22,解得x=3-1或-3-1(舍弃),cos ABE=BEAB=3-12.12.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了280米.(参考数据:sin 340.56,cos 340.83,tan 340.67)【解析】在RtABC中,sin B=ACAB,AC=ABsin 345000.56=280(米).13.(8分)某地铁站口的垂直截图如图所示,已知A=30,ABC=75,AB=BC=4米,求点C到地面AD的距离.(结果保留根号)解:过点B作BEAD于点E,作BFAD,过点C作CFBF于点F,在RtABE中,A=30,BE=12AB=2(米).BFAD,ABF=A=30,又ABC=75,CBF=45.在RtBCF中,CF=BCsin 45=422=22(米).点C到地面AD的距离为(22+2)米.14.(10分)(xx辽宁抚顺)如图,BC是路边坡角为30,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角DAN和DBN分别是37和60(图中的点A,B,C,D,M,N均在同一平面内,CMAN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:31.73,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75)解:(1)延长DC交AN于点H.DBH=60,DHB=90,BDH=30,CBH=30,CBD=BDC=30,CD=BC=10(米).答:灯杆CD的高度为10米.(2)在RtBCH中,CH=12BC=5,BH=538.65,DH=15,在RtADH中,AH=DHtan37150.75=20,AB=AH-BH=20-8.6511.4(米).答:AB的长度为11.4米.名师预测1.A,B都是锐角ABC的内角,cos A-32+sinB-322=0,则C的度数是(D)A.30B.45C.60D.90【解析】由题意得cos A-32=0,sin B-32=0,则cos A=32,sin B=32,故A=30,B=60,则C=180-30-60=90.2.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图所示,斜坡AB的坡比为(C)A.13B.31C.122D.221【解析】AB=3,BC=1,C=90,AC=32-12=22,斜坡AB的坡比为BCAC=122.3.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在A上,BD是A的一条弦,则sin OBD=(A)A.35B.34C.45D.12【解析】连接CD,D(0,3),C(4,0),OD=3,OC=4,COD=90,CD=32+42=5,OBD=OCD,sin OBD=sin OCD=ODCD=35.4.如图,在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45与60,CAD=60,在屋顶C处测得DCA=90.若房屋的高BC=6米,则树高DE的长度为(D)A.36米B.62米C.33米D.66米【解析】在RtABC中,ABC=90,CAB=45,BC=6米,AC=2BC=62米;在RtACD中,DCA=90,CAD=60,ADC=30,AD=2AC=122米;在RtDEA中,AED=90,EAD=60,DE=ADsin 60=66米.5.如图,在菱形ABCD中,DEAB,垂足是E,DE=6,sin A=35,则菱形ABCD的周长是40.【解析】由已知可得AED为直角三角形,则sin A=DEAD,即35=6AD,解得AD=10,故菱形ABCD的周长为104=40.6.如图,在等腰RtABC中,C=90,AC=6,D是AC上一点,若tan DBA=15,则AD的长为2.【解析】过点D作DEAB于点E,C=90,AC=BC=6,AB=2AC=62,A=45,在RtADE中,设AE=x,则DE=x,AD=2x,在RtBED中,tan DBE=DEBE=15,BE=5x,x+5x=62,解得x=2,AD=22=2.7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上,则C处与灯塔A的距离是25海里.【解析】根据题意,BCD=30,ACD=60,ACB=30+60=90,CBA=75-30=45,ABC为等腰直角三角形,BC=500.5=25,AC=BC=25(海里).8.计算:2cos 30-(xx+)0+|3tan 30-2|.解:原式=232-1+|3-2|=3-1+2-3=1.9.如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处竖立标杆CD,标杆的高是2 m,在DB上选取观测点E,F,从点E测得标杆和建筑物的顶部C,A的仰角分别为58,45.从点F测得C,A的仰角分别为22,70.求建筑物AB的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 220.40,tan 581.60,tan 702.75)解:在RtCED中,CED=58,DE=CDtan58=2tan58,在RtCFD中,CFD=22,DF=CDtan22=2tan22,EF=DF-DE=2tan22-2tan58,同理EF=BE-BF=ABtan45-ABtan70,ABtan45-ABtan70=2tan22-2tan58,解得AB5.9(米),答:建筑物AB的高度约为5.9米.10.如图,学校的实验楼对面是一栋教学楼,小敏在实验楼的窗户C处测得教学楼顶部D的仰角是18,教学楼底部B的俯角是20,量得实验楼与教学楼之间的距离是AB=30 m.(1)求BCD的度数;(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m,参考数据:tan 180.32,tan 200.36)解:(1)过点C作CEBD于点E,DCE=18,BCE=20,BCD=DCE+BCE=18+20=38.(2)由已知得CE=AB=30 m,在RtCBE中,BE=CEtan 20300.36=10.80 (m),在RtCDE中,DE=CEtan 18300.32=9.60 (m),教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4 (m).答:教学楼的高为20.4 m.
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