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课时规范练31数列求和基础巩固组1.数列1,3,5,7116,(2n-1)+12n,的前n项和Sn的值等于()A.n2+1-12nB.2n2-n+1-12nC.n2+1-12n-1D.n2-n+1-12n2.(2018河北衡水中学金卷十模,3)已知数列an是各项为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,则数列an的前n项和为()A.2n-2B.2n+1-2C.2n-1D.2n+1-13.(2018山东潍坊二模,4)设数列an的前n项和为Sn,若Sn=-n2-n,则数列2(n+1)an的前40项的和为()A.3940B.-3940C.4041D.-40414.已知函数f(x)=xa的图像过点(4,2),令an=1f(n+1)+f(n),nN+.记数列an的前n项和为Sn,则S2 018=.5.(2018浙江余姚中学4月模拟,17)已知等差数列an的前n项和为Sn,且S5=30,S10=110.(1)求Sn;(2)记Tn=1S1+1S2+1Sn,求Tn.6.(2018山西晋城月考)已知数列an满足a1=3,an+1=2an+(-1)n(3n+1).(1)求证:数列an+(-1)nn是等比数列;(2)求数列an的前10项和S10.7.(2018山东潍坊一模,17)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,已知S4=10,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求数列an3n的前n项和Tn.综合提升组8.(2018广东中山期末)等比数列an中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+an=2n-1,则a12+a22+a32+an2等于()A.2n-1B. (3n-1)C. (4n-1)D.以上都不对9.(2018湖北重点中学五模)设等差数列an的前n项和为Sn,a4=4,S5=15,若数列1anan+1的前m项和为1011,则m=()A.8B.9C.10D.1110.(2018山东潍坊三模,17)已知数列an的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=1+2nan,求数列bn的前n项和Tn.11.(2018江西上饶三模,17)已知等比数列an的前n项和为Sn,且6Sn=3n+1+a(nN+).(1)求a的值及数列an的通项公式;(2)若bn=(3n+1)an,求数列an的前n项和Tn.创新应用组12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.11013.(2018云南玉溪月考)数列an满足:a1=,a2=,且a1a2+a2a3+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立,则1a1+1a2+1a97的值为()A.5 032B.5 044C.5 048D.5 050参考答案课时规范练31数列求和1.A该数列的通项公式为an=(2n-1)+12n,则Sn=1+3+5+(2n-1)+12+122+12n=n2+1-12n.2.C由题意log2a2=2-1=1,可得a2=2,log2a5=5-1=4,可得a5=16,a5a2=q3=8q=2,a1=1Sn=1-2n1-2=2n-1,故选C.3.DSn=-n2-n,a1=S1=-2.当n2时,an=Sn-Sn-1=-n2-n+(n-1)2+(n-1)=-2n,则数列an的通项公式为an=-2n,2(n+1)an=2-2n(n+1)=-1n-1n+1,数列2(n+1)an的前40项的和为S40=-1-12+12-13+140-141=-4041.4.2 019-1由f(4)=2,可得4a=2,解得a=,则f(x)=x12.an=1f(n+1)+f(n)=1n+1+n=n+1-n,S2 018=a1+a2+a3+a2 018=(2-1)+(3-2)+(4-3)+(2 019-2 018)=2 019-1.5.解 (1)设an的首项为a1,公差为d,由题意得S5=5a1+10d=30,S10=10a1+45d=110,解得a1=2,d=2,所以Sn=n2+n.(2)1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1,所以Tn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.6.(1)证明 an+1=2an+(-1)n(3n+1),an+1+(-1)n+1(n+1)an+(-1)nn=2an+(-1)n(3n+1)-(-1)n(n+1)an+(-1)nn=2an+(-1)nnan+(-1)nn=2.又a1-1=3-1=2,数列an+(-1)nn是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)得an+(-1)nn=22n-1=2n,an=2n-(-1)nn,S10=(2+22+210)+(1-2)+(3-4)+(9-10)=2(1-210)1-2-5=211-7=2 041.7.解 (1)设an的公差为d,由题设可得,4a1+6d=10,a32=a1a9,4a1+6d=10,(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=1,d=1.an=n.(2)令cn=n3n,则Tn=c1+c2+cn=13+232+333+n-13n-1+n3n,13Tn=132+233+n-13n+n3n+1,-得:23Tn=13+132+13n-n3n+1=13(1-13n)1-13-n3n+1=12-123n-n3n+1,Tn=34-2n+343n.8.C当n=1时,a1=21-1=1,当n2时,a1+a2+a3+an=2n-1,a1+a2+a3+an-1=2n-1-1,两式做差可得an=2n-2n-1=2n-1,且n=1时,21-1=20=1=a1,an=2n-1,故an2=4n-1,a12+a22+a32+an2=1(1-4n)1-4=13(4n-1).9.CSn为等差数列an的前n项和,设公差为d,则a4=4,S5=15=5a3,解得d=1,则an=4+(n-4)1=n.由于1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1,则Sm=1-12+12-13+1m-1m+1=1-1m+1=1011,解得m=10.10.解 (1)由已知1,an,Sn成等差数列,得2an=1+Sn,当n=1时,2a1=1+S1=1+a1,a1=1.当n2时,2an-1=1+Sn-1,由-,得2an-2an-1=an,anan-1=2,数列an是以1为首项,2为公比的等比数列,an=a1qn-1=12n-1=2n-1.(2)由anbn=1+2nan得bn=1an+2n,Tn=b1+b2+bn=1a1+2+1a2+4+1an+2n=1a1+1a2+1an+(2+4+2n)=1-12n1-12+(2+2n)n2=n2+n+2-12n-1.11.解 (1)6Sn=3n+1+a(nN+),当n=1时,6S1=6a1=9+a;当n2时,6an=6(Sn-Sn-1)=23n,即an=3n-1,an为等比数列,a1=1,则9+a=6,a=-3,an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)得bn=(3n+1)3n-1,Tn=b1+b2+bn=430+731+(3n+1)3n-1,3Tn=431+732+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,-2Tn=4+32+33+3n-(3n+1)3n,Tn=(6n-1)3n+14.12.A设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为n(1+n)2.第n组的和为1-2n1-2=2n-1,前n组总共的和为2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N100,令n(1+n)2100,得n14且nN+,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-Sn(1+n)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN+,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29(1+29)2+5=440,故选A.13.Ba1a2+a2a3+anan+1=na1an+1,a1a2+a2a3+anan+1+an+1an+2=(n+1)a1an+2,-,得-an+1an+2=na1an+1-(n+1)a1an+2,n+1an+1-nan+2=4,同理得nan-n-1an+1=4,n+1an+1-nan+2=nan-n-1an+1,整理得2an+1=1an+1an+2,1an是等差数列.a1=14,a2=15,等差数列1an的首项为4,公差为1,1an=4+(n-1)1=n+3,1a1+1a2+1a97=97(4+100)2=5 044.
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