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09三视图、表面积与体积计算1.如图所示的几何体,其表面积为(5+5),下部分圆柱的底面直径与该圆柱的高相等,上部分圆锥的母线长为5,则该几何体的正(主)视图的面积为().A.4B.6C.8D.10解析设圆柱与圆锥底面半径都为a,则圆柱高为2a.因为圆锥的母线长为5,所以几何体的表面积为5a+a2+4a2=(5a+5a2)=(5+5),解得a=1,所以该几何体的正(主)视图的面积为三角形面积与正方形面积之和,为1225-1+22=6,故选B.答案B2.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积等于.解析由三视图还原可知,原图形是底面边长为2和3的矩形,一个侧面是正三角形且垂直于底面的四棱锥,高为3,所以该几何体的体积V=13233=2.答案23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().A.8+2B.16+4C.16+2D.8+4解析由三视图可知,该几何体由一个正方体截去两个半圆柱而形成,则该几何体的表面积为224-122+122=16+2,故选C.答案C4.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm,母线最长为80 cm,最短为50 cm,则斜截圆柱的侧面积S=cm2.解析如图,假设还有一个同样的斜截圆柱,拼在其上面,则构成一个圆柱,于是S=12S圆柱侧=1240(80+50)=2600 cm2.答案2600能力1能正确绘制几何体的三视图【例1】已知三棱柱HIG-EFD的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,将该三棱柱截去三个角(如图(1)所示,A,B,C分别是HIG三边的中点)后得到的几何体如图(2),则该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为().(1)(2)解析因为平面DEHG平面EFD,所以几何体的侧(左)视图为直角梯形,直角腰在侧(左)视图的左侧,故选A.答案A本题主要考查空间想象力和投影知识,借助直三棱柱,即可画出侧(左)视图.将长方体ABCD-A1B1C1D1截去一个直三棱柱,两个三棱锥(如图(1)所示)后得到的几何体如图(2),该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为().(1)(2)解析侧(左)视图轮廓为长方形,故选B.答案B能力2会通过三视图还原几何体【例2】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积V=().A.83B.103C.3D.203解析由三视图还原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角边为2的等腰直角三角形,高为2,三棱锥的底面与棱柱的底面相同,高为1,故该几何体的体积V=V柱-V锥=103,故选B.答案B本题主要考查空间想象能力和体积公式.先还原出空间几何体,再利用V=V柱-V锥求体积.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,实线画出的是某几何体的三视图,则围成该几何体的所有面中的最大面的面积为().A.272B.95C.9292D.25解析由三视图可知,该几何体为三棱锥,如图所示.由题意知,AB=6,BC=32,BD=CD=35,AD=9,AC=36.因为ABC和ABD为同高的直角三角形,且BCBD,所以SABCSABD=95,SBCD=66-36-3312=1312.因为cosADC=DC2+AD2-AC22DCAD=45+81-542359=435,所以sinADC=2935,所以SACD=129352935=9292,故选C.答案C能力3会计算几何体的表面积【例3】如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为().A.24B.36C.40D.400解析该几何体是底面为等腰三角形的直三棱柱,由图可知,底面是顶角为120的等腰ABC,侧棱AA1垂直底面,AC=23,AA1=26,AB=3sin60=2.设ABC外接圆的半径为r,则SABC=12AB2sin 120=AB2AC4r,得r=2.由直三棱柱的性质可知,球心到底面外接圆圆心的距离d=AA12=6.由球体的性质得R2=d2+r2=10,即外接球的表面积为40,故选C.答案C涉及球与棱柱、棱锥的切和接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().A.14+24B.12+32C.12+24D.14+32解析由三视图可知该空间几何体为12个圆柱和12个球和1个长方体的组合体,S表=12S球+12S圆柱侧面+12S圆柱底面+S长方体-S长方体的一个底面-12S圆柱底面=12422+12222+1222+42+2(22+24)-1222=12+32,故选B.答案B能力4会计算几何体的体积【例4】如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.23B.43C.233D.433解析由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示.其中底面为直角三角形,AD=2,AF=3,高AB=2.该几何体的体积V=12232=23,故选A.答案A先还原出几何体,并抓住几何体特征,再利用体积公式求解.已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为.解析该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD,其中PA底面ABCD,底面四边形由直角梯形ABED与直角DCE组成,ABDE,ABBC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.S底面ABCD=1+221+1221=52,V=13522=53.答案53一、选择题1.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.43B.2C.6D.83解析如图,该几何体还原后是一个底面为直角三角形的三棱锥S-ABD,VS-ABD=1222132=43,故选A.答案A2.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为().A.423B.4C.83D.163解析如图,该几何体还原后是一个底面为矩形的四棱锥A1-ABC1D1.连接A1D交AD1于点O,因为A1DAD1,A1DAB,所以A1D平面ABC1D1,所以四棱锥的高H为A1O,AB=2,BC1=22,A1O=2,所以VA1-ABC1D1=222132=83, 故选C.答案C3.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的最长棱长为().A.5B.3C.22D.23解析如图,该几何体还原后是一个底面为直角三角形的三棱锥C1-MNC.由图可知棱C1M最长,且C1M=MC2+CC12=MB2+BC2+CC12=3,故选B.答案B4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的外接球体积为().A.4B.43C.43D.83解析由题得几何体还原后为四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,且PA底面ABCD,PA=2.把几何体放在边长为2的正方体中,P,A,B,C,D恰好是正方体的五个顶点,所以这个正方体的外接球和四棱锥的外接球是同一个球,所以四棱锥的外接球半径为正方体的体对角线的一半,即3,所以几何体外接球的体积V=43(3)3=43,故答案为B.答案B5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积V=().A.83B.103C.3D.203解析如图,由三视图还原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去两个三棱锥后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角边为2的等腰直角三角形,高为2,三棱锥的底面与棱柱的底面相同,高为1,故该几何体的体积V=V柱-2V锥=83,故选A.答案A6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为().A.24+(5-2)B.24C.24+(22-2)D.16-2解析该几何体由一个正方体挖去两个相同的圆锥而形成,由三视图可知正方体的棱长为2,圆锥的底面圆的半径为1,母线为2,所以该几何体的表面积为正方体的表面积减去两个圆锥的底面的面积再加上两个圆锥的侧面积,因此S=226-2+122=24+(22-2),故选C.答案C7.将一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示,则该几何体的俯视图为().解析由正(主)视图可以看出去掉的小长方体在正视图的左上角,从侧(左)视图可以看出去掉的小长方体在侧(左)视图的右上角,故选C.答案C8.已知在四面体ABCD中,AB=CD=34,AC=BD=37,AD=BC=29,则四面体ABCD的外接球的表面积为().A.25B.50C.100D.200解析此四面体可看成一个长方体的一部分,长方体的长、宽、高分别为21、4、13,四面体ABCD如图所示,所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长,即2R=(21)2+(13)2+42=50,所以外接球的表面积为50,故选B.答案B二、填空题9.如图,一个正四棱台的上底面的边长为32,下底面的边长为52,高为8,则其外接球的表面积为.解析如图所示,作出正四棱台的最大轴截面,由正四棱台的特征知O1C为四棱台上底面的外接圆半径,O2B为四棱台下底面的外接圆半径,OC=OB=R,R为球的半径.因为上、下底面都为正方形,所以O1C=3,O2B=5,O1O2=h=8.又O1O2+O1C2=R2,O2O2+O2B2=R2,O1O+O2O=O1O2=8,联立三式解得O1O=5,O2O=3,R2=34,所以S球=434=136.答案13610.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.解析由三视图知几何体的左边是半圆锥,右边是四棱锥,如图所示.其中圆锥的底面半径为1,高为3,四棱锥的底面是边长为2的正方形,高为3.所以几何体的体积为1213123+13223=36+433.答案36+43311.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为.解析该几何体为一个半球和一个正四棱锥,球的半径为32,四棱锥的底面边长为6,高为4,四棱锥的侧面为等腰三角形,侧面的斜高为5,S表=S半球+S四棱锥侧面+S圆-S正=2(32)2+4652+(32)2-36=54+24.答案54+2412.如图,已知球O的面上四点A、B、C、D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=3,则球O的体积等于.解析由题意知,DAC,DBC都是直角三角形,且有公共的斜边,所以DC边的中点到点B和A的距离都等于DC的一半,所以DC边的中点是球心并且半径为线段DC长的一半.因为DC=DA2+AB2+BC2=3,所以球的体积V=43323=92.答案92三、解答题13.如图所示的是一个几何体的三视图.(1)求该几何体的表面积和体积.(2)求该几何体的外接球与内切球的半径之比.解析(1)如图所示,由三视图知该几何体为正四面体B1-ACD1,AD1=AC=CD1=B1A=B1C=B1D1=42,S表=4SACD1=434(42)2=323.设等边ACD1的中心为O,连接B1O,OC,由正四面体的特征知,B1O是正四面体的高,OC是等边三角形ACD1的外接圆的半径,所以B1OC为直角三角形,OC=463.因为OC2+B1O2=B1C2,所以B1O=833,VB1-ACD1=1383383=643.(2)正四面体的外接球即正方体的外接球,外接球的直径为正方体的体对角线,所以R1=23.设正四面体B1-ACD1的内切球的球心为O1,半径为R2,连接O1B1,O1A,O1C,O1D1,则VB1-ACD1=4VO1-ACD1=41383R2=643,解得R2=233,所以R1R2=3.
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