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榆林市20182019年度高三第二次模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算求解即可【详解】,故选：C.【点睛】本题考查复数的运算，熟记复数运算性质，熟练计算是关键，是基础题.2.已知集合，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由AB=3，得3B，代入集合B即可得b.【详解】AB=3，3B，93+b=0，即：b=6，故选：A【点睛】本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.3.已知向量a，b满足|a|=1，且a与b夹角为2，则a6ab=（ ）A. 6B. 6C. 7D. 7【答案】B【解析】【分析】由数量积计算即可.【详解】a-6a-b=-6a2=-6【点睛】本题考查数量积，熟记数量积的运算性质，熟练运算是关键，是基础题.4.函数f(x)=2x9x2ex+ex的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解即可【详解】f（x）=-2x1+x2e-x+ex=-f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x0时，f（x）0恒成立，排除A，D故选：C【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和函数值的对应性利用排除法是解决本题的关键5.九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在租的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）A. 73斤B. 72 斤C. 52斤D. 3斤【答案】B【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，a1=4则a5=2，由此利用等差数列性质求出结果【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为an，设首项a1=4，则a5=2，公差d=a5a151=2451=12，a2=a1+d=72.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.设x，y满足约束条件3x4y+100x+6y402x+y80，则z=x+2y的最大值是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线l0：x+2y=0在可行域内平移当过点A时，z=x+2y取得最大值.由3x4y+1002x+y80得：A2,4，zmax=10故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.7.已知抛物线y2=2pxp0上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=8x【答案】B【解析】【分析】由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程【详解】由抛物线y22px（p0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p2=12，p=1，所以抛物线的标准方程为：y22x故选：B【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题8.为计算S=122+322423+.+100(2)99， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A. i100C. i100D. i100【答案】A【解析】【分析】根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容【详解】由程序框图的运行，可得：S0，i0满足判断框内的条件，执行循环体，a1，S1，i1满足判断框内的条件，执行循环体，a2（2），S1+2（2），i2满足判断框内的条件，执行循环体，a3（2）2，S1+2（2）+3（2）2，i3观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a99（2）99，S1+2（2）+3（2）2+100（2）99，i100，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i100故选：A【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题9.已知正四面体ABCD中，M为AB的中点，则CM与AD所成角的余弦值为( )A. 12B. 23C. 36D. 23【答案】C【解析】【分析】设正四面体ABCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN则MNAD，CMN或其补角是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值【详解】如图，设正四面体ABCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN，M是AC的中点，MNAD，CMN或其补角是CM与AD所成的角，设MN的中点为E，则CEMN，在CME中，ME=12，CMCN=3，直线CM与AD所成角的余弦值为cosCME=MECM=123=36. 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题10.已知x0,，则fx=cos2x+2sinx的值城为( )A. -1,12B. 2,22C. 22,2D. 1,32【答案】D【解析】【分析】将f(x)化简为-2sinx-122+32，利用二次函数求解即可.【详解】fx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32,又sinx(0,1，fx1，32故选:D【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数性质，二次型函数求最值，熟记余弦二倍角公式，准确计算二次函数值域是关键，是中档题.11.在三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面ABC为正三角形，AA1平面ABC，AB=63，AA1=16，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）A. 400B. 300C. 200D. 100【答案】A【解析】【分析】利用两底面中心连线的中点为外接球球心，结合勾股定理不难求半径【详解】如图，O为底面中心，O为外接球球心，在正三角形ABC中求得OA6，又OO8，外接球半径OA10，S球4100400，故选：A【点睛】此题考查了正三棱柱外接球，熟记正棱柱的基本性质，熟练掌握正棱柱球心位置是解题关键，是基础题.12.已知函数fx+2是连续的偶函数，且x2时， fx是单调函数，则满足fx=f1-1x+4的所有x之积为（ ）A. 4B. -4C. -39D. 39【答案】D【解析】【分析】由yf（x+2）为偶函数分析可得f（x）关于直线x2对称，进而分析可得函数f（x）在（2，+）和（，2）上都是单调函数，据此可得若f（x）f（1-1x+4），则有x1-1x+4或4x1-1x+4，变形为二次方程，结合根与系数的关系分析可得满足f（x）f（1-1x+4）的所有x之积，即可得答案【详解】根据题意，函数yf（x+2）为偶函数，则函数f（x）关于直线x2对称，又由当x2时，函数yf（x）是单调函数，则其在（，2）上也是单调函数，若f（x）f（1-1x+4），则有x1-1x+4或4x1-1x+4，当x1-1x+4时，变形可得x2+3x30，有2个根，且两根之积为3，当4x1-1x+4时，变形可得x2+x130，有2个根，且两根之积为13，则满足f（x）f（1-1x+4）的所有x之积为（3）（13）39；故选：D【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的对称性与单调性的综合应用，属于综合题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数f(x)=aex+x28x的图象在(0,f(0)处的切线斜率为4，则a=_【答案】4【解析】【分析】先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，得f（0）4，由此可求a的值.【详解】由函数fx=aex+x28x得fx=aex+2x8，函数f（x）的图象在（0，f（0）处切线的斜率为4，f0=a8=4，a=4.故答案为：4【点睛】本题考查了利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题14.不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为_。【答案】25【解析】【分析】基本事件总数n=C52=10，摸到同色球包含的基本事件个数m=C32+C22=4，由此能求出摸到同色球的概率【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n=C52=10，摸到同色球包含的基本事件个数m=C32+C22=4，摸到同色球的概率p=mn=410=25故答案为：25【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.已知数列an满足a1=2，an+1n+1-ann=2，若bn=22an，则数列bn的前n项和Sn=_【答案】4n+143【解析】【分析】an+1n+1-ann=2,求得ann的通项，进而求得an=2n2,得bn通项公式，利用等比数列求和即可.【详解】由题ann为等差数列，ann=a11+n-12=2n,an=2n2,bn=22n,Sn=41-4n1-4=4n+1-43,故答案为4n+1-43【点睛】本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,bo，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限的交点为B， 且直线AB斜率为12，则C的离心率为_【答案】32【解析】【分析】求出B的坐标，利用直线的斜率，转化求解离心率即可【详解】把xc代入双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0）得y=b2a，所以B（c，b2a），又A（a，0），直线AB的斜率为12，可得b2aa+c=12，可得a2+ac2c22a2，e1，e=ca=32故答案为：32【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，准确计算B的坐标是关键，是基础题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，sinA+sinBab=csinCsinB， a=27， 且ABC的面积为63.(1)求A；(2)求ABC的周长 .【答案】（1）A=3；（2）10+27【解析】【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可【详解】（1）sinA+sinBab=csinCsinB，由正弦定理可得：a+bab=ccb，即：b2+c2a2=bc，由余弦定理得cosA=12,A0,A=3.（2）A=3，所以sABC=12bcsin3=63，bc=24，又b2+c2a2=bc，且a=27 b+c2=3bc+a2=100，b+c=10，ABC的周长为10+27【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.18.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得出了如下数据：间隔时间（x分钟）101112131415等待人数（y人）232526292831调查小组先从这六组数据中选取四组数据作线性回归分析，然后用剩下的两组数据进行检验(1)求从这六组数据中选取四组数据后，剩下的的两组数据不相邻的概率：(2)若先取的是后面四组数据，求y关干x的线性回归方程y=bx+a；(3)规定根据(2)中线性回归方程预利的数据与用剩下的两组实际数据相差不超过1人，则所求出的线性回归方程是“最佳回归方程”，请判断(2)中所求的是 “最佳回归方程”吗？为了使等候的乘客不超过35人，则间隔时间设置为18分钟合适吗?附：对于一组组数据x1,y1,x2,y2.,xn,yn， 其回归直线y=bx+a +的斜率和截距的最小二乘估计分别为： b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，a=y-bx【答案】（1）23；（2）见解析;（3）合适【解析】【分析】（1）由列举法剩下的两组有以下15种可能，相邻的有5种，间接法即可求；（2）由后四组数据求得b及a的值，可得线性回归方程，分别取x10，11求得y值，与原表格中对应的y值作差判断；（3）直接由1.4x+9.635，求得x值得答案【详解】（1）记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6,剩下的两组有以下15种可能： 1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6；其中剩下的的两组数据相邻的有1,2,2,3,3,4,4,5,5,6这5种，故P (两组数据不相邻) =1-515=23.（2）x=13.5，y=28.5，b=-1.5-2.5+-0.50.5+0.5-0.5+-1.5-2.5-1.52+-0.52+0.52+1.52=1.4a=y-bx=28.5-1.413.5=9.6，y关干x的线性回归方程为y=1.4x+9.6当x=10时，y=23.6，23.6-23=0.61，当x=11时，y=25,25-25=01，故所求出的线性回归方程是“最佳回归方程”；（3）由题1.4x+9.635，解x18.14,故间隔时间设置为18分钟合适.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，准确计算b是关键，考查计算能力，是中档题19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD 平面PAD，ADBC，AB=BC=AP=12AD，ADP=30 BAD=90.(1)证明PDPB (2)设点M在线段PC上，且PM=13PC，若MBC的面积为273，求四棱锥P-ABCD的体积【答案】（1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）推导出BAAD，BAPD，APPD，从而PD平面PAB，由此能证明PDPB（2）设AD2a，则ABBCAPa，PD=3a，PB=PC=2a，得PBC为等腰三角形，利用PM=13PC推得PBC面积，进而求出a2，由此能求出四棱锥PABCD的体积【详解】(1) 平面ABCD平面PAD BAD=90，AB平面PAD，ABPD， 在PAD中，AP=12AD，ADP=30，由正弦定理可得： sinADP=12APD，APD=90，PDPA,又PAAB=A, PD平面PAD，PDPB.(2)取AD的中点F，连结CF，PF ，设AD2a，则ABBCAPa，PD=3a,则PB=PC=2a，PBC为等腰三角形，且底边BC上的高为72aPM=13PC，MBC的面积为273. PBC的面积为7，12a72a=7解得：a=2，四梭锥P-ABCD的体积为13122+423=23 .【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x2a2+y2=1(1a5)上，该椭圆的左顶点A到直线x-y+5=0的距离为322(1)求椭圆C的标准方程；(2)若线段MN平行于y轴，满足(ON-2OM)MN=0，动点P在直线x=23上，满足ONNP=2.证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F【答案】（1）x24+y2=1；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出a的值，可得椭圆方程，（2）由题意M（m，n），N（m，y1），P（23，t），根据（ON-2OM）MN=0，可得y12n，由ONNP=2，可得23m+2nt6，再根据向量的运算可得NFOP=0，即可证明【详解】(1)由题意： A-a,0 5-a2=322， 1a5 a=2 椭圆C的标准方程为： x24+y2=1(2)设Mm,n， P23,t，则m2+4n2=4， (ON-2OM)MN=0，即0，y1-2n0,y1-n=0,解y1=2n N(m,2n)， ONNP=2，ON(OP-ON)=2，即：m,2n23-m,t-2n，得23m+2nt-(m2+4n2)=2即3m+nt-3=0直线OP的方程为： tx-23y=0， 设过点N且垂直于OP直线为， 直线的方程：23x+ty-23m+2tn=0 ，即23x+ty-6=0直线过定点3,0，即直线恒过椭圆的右焦点F【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题21.已知函数f(x)=1+1nxax2.(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)0两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式xf(x)0，构造函数x=2e2exx-1nx，证明xmin0即可；法二：将不等式xf(x)1nxx，分别设x=2e2exx2，rx=1nxx，求导证明xminrxmax即可.【详解】(1) fx=1+1nx-ax2x0，fx=1-2ax2x当a0时，fx0，函数fx的单调增区间为0,+，无减区间；当a0时，x0,12a,fx0，当x12a,，fx0，fx单增区间为0,12a上增，单调减区间为12a,+上递减。(2)解法1： xfx0，令x=2e2exx-1nx，x0，x=2x-1ex-e2xe2x2，令rx=2x-1ex-e2x，rx=2xex-e2，rx在0,+，上单调递增，r10，故存在唯一的x01,2使得rx=0，rx)在0,x0上单调递减，在x0,+上单调递增，r00； 所以x在0,2上单调递减，在2,+上单调递增，x2=1-1n20，得证.解法2：要证： xfx2e2ex+ax3，即证： 2e2exx21nxx，令x=2e2exx2x0，x=2xx-2exe2x3，当x0,2时，x0；所以x在0,2上单调递减，在2,+上单调递增， x2=12； 令rx=1nxx，rx=1-1nxx2，当x0,e 时，rx，xe,+时，rx1erx，2e2exx2lnxx，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题.22.在直角坐标系xQy中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosy=4+2sin（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程：(2)求与交点的极坐标.【答案】（1）（2）与交点的极坐标为，和【解析】【分析】（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即 . 的参数方程化为极坐标方程为；(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.
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