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第2课时点到直线的距离、两条平行线间的距离核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P106P109，回答下列问题：(1)如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离？提示：由P0Ql，以及直线l的斜率为，可得l的垂线P0Q的斜率为，因此，垂线P0Q的方程可求出解垂线P0Q与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可2归纳总结，核心必记(1)点到直线的距离概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l: AxByC0的距离，d.(2)两平行直线间的距离概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d.问题思考1在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式2在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)点到直线的距离公式是什么？应注意什么？；(2)两平行直线间的距离公式是什么？应注意什么？.在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.思考1若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？名师指津：过点P作直线ll，垂足为Q，|PQ|即为所求的距离直线l的斜率为k，则l的斜率为，l的方程为yy0(xx0)，联立l，l的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.思考2在直角坐标系中，若P(x0，y0)，则P到直线l: AxByC0的距离是不是过点P到直线l的垂线段的长度？提示：是思考3应用点到直线的距离公式应注意什么问题？名师指津：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式例如求P(x0，y0)到直线ykxb的距离，应先把直线方程化为kxyb0，得d.(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系(3)直线方程AxByC0中A0或B0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离P(x0，y0)到xa的距离d|ax0|；P(x0，y0)到yb的距离d|by0|.讲一讲1(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2,2)到直线4x3y50的距离为_(链接教材P107例5)(2)求垂直于直线x3y50且与点P(1,0)的距离是的直线l的方程尝试解答(1)由点到直线的距离公式可得d.(2)设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知：d.所以|m3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.答案(1)点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可练一练1已知点A(a,2)(a0)到直线l: xy30的距离为1，则a()A. B2 C.1 D.1解析：选C由点到直线的距离公式知，d1，得a1.又a0，a1.2点P(2,4)到直线l：3x4y70的距离是_解析：点P到直线l的距离d3.答案：3观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：思考1若过P(x0，y0)的直线l与l: AxByC0平行，那么点P到l的距离与l与l的距离相等吗？提示：相等思考2怎样理解两平行直线间的距离公式？名师指津：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决两直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；两直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|.讲一讲2已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程尝试解答由直线l1，l2的方程知l1l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d10或d20，不符合题意)设直线l：3x2ym0(m1且m13)，由两平行线间的距离公式，得d1，d2，又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直线l的方程为3x2y250或3x2y90.求两平行直线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等练一练3两直线3x4y20与6x8y50的距离等于()A3 B7 C. D.解析：选C在3x4y20上取一点，其到6x8y50的距离即为两平行线间的距离，d.讲一讲3两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(3，1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；(2)当d取最大值时两条直线的方程思路点拨(1)由两平行线间的距离公式写出d与斜率之间的函数关系式，不难求出d的范围或利用数形结合求d的范围(2)求出d取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程尝试解答(1)法一：当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x6和x3，则它们之间的距离为9.当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y2k(x6)，l2：y1k(x3)，即l1：kxy6k20，l2：kxy3k10，d，即(81d2)k254k9d20.kR，且d9，d0，(54)24(81d2)(9d2)0，即0d3且d9.综合可知，所求d的变化范围为(0,3法二：如图所示，显然有0d|AB|.而|AB|3.故所求的d的变化范围为(0,3(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.而kAB，所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)，y13(x3)，即3xy200和3xy100.解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程练一练4已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解：(1)法一：联立交点P(2,1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，即kxy12k0，3，解得k，l的方程为y1(x2)，即4x3y50.而直线斜率不存在时直线x2也符合题意，故所求l的方程为4x3y50或x2.法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，即22520，解得2或，l的方程为4x3y50或x2.(2)由解得交点P(2,1)，过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)，dmax|PA|.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是掌握点到直线的距离公式，能用公式求点到直线的距离，会求两条平行直线间的距离难点是能用公式求点到直线的距离2本节课要重点掌握的规律方法(1)点到直线的距离的求解方法，见讲1.(2)求两平行直线间的距离有两种思路，见讲2.(3)待定系数法求解有关距离问题的方法，见讲33本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式，如讲2.课下能力提升(二十一)学业水平达标练题组1点到直线的距离1点(1，1)到直线xy10的距离是()A3 B. C3 D.解析：选D点(1，1)到直线xy10的距离d.2点(5，3)到直线x20的距离等于()A7 B5 C3 D2解析：选A直线x20，即x2为平行于y轴的直线，所以点(5，3)到x2的距离d|5(2)|7.3倾斜角为60，并且与原点的距离是5的直线方程为_解析：因为直线斜率为tan 60，可设直线方程为yxb，化为一般式得xyb0.由直线与原点距离为5，得5|b|10.所以b10，所以所求直线方程为xy100或xy100.答案：xy100或xy1004若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_解析：4，|1612k|52，k3，或k.答案：3或题组2两条平行线间的距离5已知直线l1：xy10，l2：xy10，则l1，l2之间的距离为()A1 B. C. D2解析：选B在l1上取一点(1，2)，则点到直线l2的距离为.6两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是()A0d5 B0d13C0d12 D5d12解析：选B当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，|AB|13，所以0d13.7已知直线l经过点P(2,5)，且斜率为.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程解：(1)由直线方程的点斜式，得y5(x2)，整理得所求直线方程为3x4y140.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x4yC0，由点到直线的距离公式得3，即3，解得C1或C29，故所求直线方程为3x4y10或3x4y290.题组3距离的综合应用8直线l过点A(3,4)且与点B(3,2)的距离最远，那么l的方程为()A3xy130 B3xy130C3xy130 D3xy130解析：选C由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，kAB，kl3，由点斜式得，y43(x3)，即3xy130.9已知ABC三个顶点坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC的面积S.解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y30.由两点间距离公式得|BC|2.设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d，所以S|BC|d24，即ABC的面积为4.能力提升综合练1(2016济宁高一检测)两条平行线l1：3x4y20，l2：9x12y100间的距离等于()A. B. C. D.解析：选Cl1的方程可化为9x12y60，由平行线间的距离公式得d.2到直线3x4y110的距离为2的直线方程为()A3x4y10B3x4y10或3x4y210C3x4y10D3x4y210解析：选B设所求的直线方程为3x4yc0.由题意2，解得c1或c21.故选B.3直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是()A3x2y60 B2x3y70C3x2y120 D2x3y80解析：选D法一：设所求直线的方程为2x3yC0，由题意可知.C6(舍)或C8.故所求直线的方程为2x3y80.法二：令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，1)的对称点为(2x0，2y0)，此点在直线2x3y60上，代入可得所求直线方程为2x3y80.4直线l到直线x2y40的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是_解析：由题意设所求l的方程为x2yC0，则，解得C2，故直线l的方程为x2y20.答案：x2y205已知直线l与直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程是_解析：法一：由题意可设l的方程为2xyc0，于是有，即|c3|c1|，解得c1，则直线l的方程为2xy10.法二：由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2xyc0，则c1.则直线l的方程为2xy10.答案：2xy106已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x3y130，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d.lABlCD，可设lAB：x3ym0.点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则 .又m13，m19，即lAB：x3y190.lADlCD，可设lAD：3xyn0，则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，且都等于d，n5，或n1，则lAD：3xy50，lBC：3xy10.所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x3y190,3xy50,3xy10.7已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由解：(1)当直线的斜率不存在时，方程x2符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y1k(x2)，即kxy2k10.根据题意，得2，解得k.则直线方程为3x4y100.故符合题意的直线方程为x20或3x4y100.(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线则其斜率k2，所以其方程为y12(x2)，即2xy50.最大距离为，(3)不存在理由：由于原点到过点(2，1)的直线的最大距离为，而6，故不存在这样的直线.
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