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2019届陕西省彬州市上学期高三第一次教学质量监测数学（文）科试题一、单选题1.如果集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，根集合的交集的运算，可得，故选B。【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念和准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.设，则的虚部是（ ）A. -1B. C. D. -2【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z，结合虚部的定义即可得出【详解】z=i3-1+2i2-i=-i-1+2i2+i2-i2+i=-i-5i5=-2i，的虚部是-2故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题3.已知sin20，则（ ）A. tan0B. sin0C. cos0D. cos20【答案】A【解析】【分析】利用二倍角正弦公式可知sin与cos同号，又tan=sincos，从而得到结果.【详解】由sin20可得2sincos0，即sin与cos同号，又tan=sincos，tan0故选：A【点睛】本题考查二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于基础题.4.在数列an中，满足a1=2，an2=an1an+1(n2,nN*)，Sn为an的前n项和，若a6=64，则S7的值为（ ）A. 126B. 256C. 255D. 254【答案】D【解析】【分析】由题意，数列an满足an+1an=anan1(n2,nN*)，得到数列an为等比数列，由求得数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式，即可求解。【详解】由题意，数列an满足an2=an1an+1(n2,nN*)，即an+1an=anan1(n2,nN*)，所以数列an为等比数列，又由a1=2，a6=64，即q5=a6a1=642=32，解得q=2，所以S7=a1(1q7)1q=2(127)12=254，故选D。【点睛】本题主要考查了等比数列的中项公式以及等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中根据题意，得出数列an表示首项a1=2和公比q=2的等比数列，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。5.已知函数f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，命题p：总存在c(a,b)，有f(c)=0；命题q：若函数f(x)在区间(a,b)上有f(a)f(b)0时，求得Fx0，可排除D，即可得到答案。【详解】由题意，函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，则函数Fx=f(x)g(x)，可得Fx=f(x)g(x)=f(x)gx=Fx，所以函数Fx=f(x)g(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A、B；又由函数fx,gx的图象可知，当x0时，fx0,gx0，所以Fx0，可排除D，故选C。【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别，以及函数的奇偶性的应用问题，其中解答中根据题意函数fx,gx的奇偶性，得到Fx的奇偶性，再根据函数的取值进行排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。7.已知双曲线x2a2y2b2=1(ba0)的中心为O，其右顶点、右焦点分别是A,F，若|OF|3|OA|，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. 3,+)B. (1,3)C. (2,3D. (1,3【答案】C【解析】【分析】由题意，双曲线x2a2y2b2=1满足|OF|3|OA|，求得e=ca3，又由ba0，则e=ca2，即可求得双曲线的离心率的取值范围，得到答案。【详解】由题意，双曲线x2a2y2b2=1的中心为O，其右顶点、右焦点分别是A,F，若|OF|3|OA|，即c3ae=ca3，又由ba0，则e=ca=a2+b2a2=1+b2a22，所以双曲线的离心率的取值范围是(2,3，故选C。【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理计算是解答的关键，同时注意ba0对双曲线的离心率的影响是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。8.某几何体截去两部分后的三视图如图所示，则被截后的几何体的体积为（ ）A. 203B. 193C. 3D. 233【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图，可知棱长为2的正方体的体积为V，以及三棱锥AA1B1D1和三棱锥C1CEF的体积为V1,V2，即可求解该几何体的体积。【详解】由题意，根据给定的三视图，可知棱长为2的正方体的体积为V=222=8，又由三棱锥AA1B1D1的体积为V1=1312222=43，三棱锥C1CEF的体积为V2=1312112=13，所以该几何体的体积为V3=VV1V2=84313=193，故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。9.已知函数f(x)=sinxx，在点(,0)处的切线为L，则切线L的方程为（ ）A. x+y=0B. x+y=0C. xy=0D. xy2=0【答案】B【解析】【分析】由题意，求得f(x)=xcosxsinxx2，得到f()=1，得出切线为L的斜率为k=1 ，利用直线的点斜式方程，即可求解。【详解】由题意，函数f(x)=sinxx，则f(x)=xcosxsinxx2，所以f()=cossin2=1，即在点(,0)处的切线为L的斜率为k=1 ，所以切线L的方程为y0=1(x)，即x+y=0，故选B。【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中正确求解函数的导数，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再利用直线的点斜式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。10.如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为300，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A. 134B. 67C. 200D. 250【答案】B【解析】【分析】设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为3x-x，由此利用几何概型概率计算公式能求出向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计），落在小正方形（阴影）内的米粒数个数【详解】设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为3x-x，向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计），设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，则a500=(3x-x)2(2x)2，解得a500（4-234）67故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题11.已知函数y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=log2(x1)，则f(x1)0和x0时，f(x)0的解集，由此可求解不等式f(x-1)0时，令f(x)0，即log2(x-1)0，解得1x2，又由函数y=f(x)是奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，则当x0，可得x-2，又由不等式f(x-1)0，则满足1x-12或x-1-2，解得2x3或x-1，即不等式f(x-1)0的解集为(-,-1)(2,3)，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及数列应用函数的奇偶性的转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。12.在ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b2+c23bc=a2，bc=3a2，则角C的大小是（ ）A. 6或23B. 3C. 23D. 6【答案】A【解析】【分析】由b2+c2-3bc=a2可得cosA=32，进而利用bc=3a2可得sinBsinC=3sin2A=34结合内角和定理可得C值.【详解】b2+c2-3bc=a2，cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，由0A，可得A=6，bc=3a2，sinBsinC=3sin2A=34sin56-CsinC=34，即12sinCcosC+341-cos2C=34解得tan2C=3，又0C0)交于不同的两点A,B，若|AB|23，则a的取值范围是_【答案】1,102)【解析】【分析】由题意，根据直线y=x+a与交于不同的两点A,B，且|AB|23，求得2d5，再由圆心C(a,0)到直线y=x+a的距离，得到不等式22a12+(-1)20)，可得圆心坐标为C(a,0)，半径为r=5，根据圆的弦长公式，得l=2r2-d2=25-d2，因为直线y=x+a与交于不同的两点A,B，且|AB|23，则25-d223，且d5，即2d5又由点到直线的距离公式可得圆心C(a,0)到直线y=x+a的距离为：d=2a12+(-1)2，则22a12+(-1)25，解得1a102，即实数a的取值范围是1,102)。【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，得出相应的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。三、解答题17.已知等差数列an中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+1a3，a2+3a4，数列bn满足bn=1an+1an，其前n项和为Sn.（1）求数列an的通项公式；（2）若S1,S2,Sm(mN*)成等比数列，求m的值.【答案】（1）an=n (nN*)（2）8【解析】【分析】（1）由题意，在等差数列an中，由a1+1a3，a2+3a4，求得12d32，得到d=1，即可利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，得到答案。（2）由（1）中，可得bn=1an+1an=1n1n+1，利用裂项相消法，求得Sn=nn+1，再利用等比中项公式，即可求解。【详解】（1）在等差数列an中，a1=1由a1+1a3，a2+3a4，得12d32公差d为整数，d=1an=1+(n-1)1=n (nN*)（2）bn=1an+1an=1n(n+1)=1n-1n+1Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=nn+1又S1,S2,Sm (nN*)成等比数列，(23)2=12mm+1，m=8.【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.18.如图，在三棱锥PABC中，底面是边长为4的正三角形，PA底面ABC，点E,F,G分别为AC,PC,PB的中点，且异面直线AG和PC所成的角的大小为3.（1）求证：平面BEF平面PAC；（2）求三棱锥CABF的体积.【答案】（1）证明过程详见解析（2）863【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得BEAC，由线面垂直性质定理得PABE，在根据线面垂直判定定理得BE平面PAC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）取BC的中点H，根据平行得AGH为异面直线AG和PC所成的角，根据计算可得PA，根据平行可得EF底面ABC,最后根据三棱锥体积公式得结果.【详解】（1）证明：AB=BC，E为AC的中点，BEAC，又PA平面ABC，BE平面ABC，PABE，PAAC=A，BE平面PAC.因为BE平面BEF，所以平面BEF平面PAC；（2）取BC的中点H，连结GH，AH，三角形ABC为正三角形，PA底面ABC，PB=PC，又H，G分别为BC，PB的中点，GH/PC,AG=12PB，GH=12PC，GA=GH，又异面直线AG和PC所成的角的大小为3，AGH=3，三角形AGH为正三角形，AG=GH=AH=3，PC=23，又AC=2，PA=22，又EF=12PA=2，EF/PAEF底面ABC,因此三棱锥C-ABF的体积等于三棱锥F-ABC的体积为1323422=63.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表分数区间频数40,50)350,60)360,70)1570,80)1980,90)3590,10025（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；（2）从对乙教师的评分在40,60)范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在50,60)范围内的概率；（3）如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）【答案】（1）32（2）15（3）乙【解析】【分析】（1）由甲教师分数的频率分布直方图，求得a的值，进而可求得甲教师的评分低于70分的概率，得到甲教师的评分低于70分的人数；（2）由题意，对乙教师的评分在40,50)范围内的有3人，设为M1,M2,M3，对乙教师的评分在50,60)范围内的有3人，设为N1,N2,N3，利用列举法得到基本事件的总数，和恰有2人评分在50,60)范围内所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.（3）由甲教师分数的频率分布直方图和由乙教师的频率分布表，分别求得甲教师和乙教师的中位数，比较即可得到结论.【详解】解：（1）由甲教师分数的频率分布直方图，得a=0.006对甲教师的评分低于70分的概率为(0.004+0.006+0.022)10=0.32所以，对甲教师的评分低于70分的人数为1000.32=32；（2）对乙教师的评分在40,50)范围内的有3人，设为M1,M2,M3对乙教师的评分在50,60)范围内的有3人，设为N1,N2,N3从这6人中随机选出2人的选法为：M1,M2，M1,M3，M2,M3，M1,N1，M1,N2，M1,N3，M2,N1，M2,N2，M2,N3，M3,N1，M3,N2，M3,N3，N1,N2，N1,N3，N2,N3，共15种其中，恰有2人评分在50,60)范围内的选法为：N1,N2，N1,N3，N2,N3共3种故2人评分均在50,60)范围内的概率为P=315=15。（3）由甲教师分数的频率分布直方图，因为(0.004+0.006+0.022)10=0.320.5设甲教师评分的中位数为x，则0.32+(x-70)0.028=0.5，解得：x=76.4由乙教师的频率分布表，因为0.03+0.03+0.15+0.19=0.4b0)经过点(2,62)，离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的右焦点为F，右顶点为A，经过点F的动直线与椭圆C交于B,D两点，记AOB和AOD的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值.【答案】（1）x24+y23=1（2）32【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求的a2=4，b2=3，即可得到椭圆的标准方程；（2）由（1），设直线的方程为x=my+1，联立方程组，利用根和系数的关系，得到|S1S2|=6|m|3m2+4，利用基本不等式，即可求解。【详解】解：（1）由题意得：(2)2a2+(62)2b2=1ca=12，解得：a2=4，b2=3所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1（2）由（1）得F(1,0)，可设直线的方程为x=my+1联立C得x=my+1x24+y23=1 ，得(3m2+4)y2+6my-9=0，设B(x1,y1),D(x2,y2) (y10,y20时，f(x)在(0,1a)单调递减；在(1a,+)单调递增. （2）1,+)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数f(x)=(2x+1)(ax1)x，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知，当a0时，得到f(x)0不恒成立，a0时，只需f(1a)0，令g(x)=lnx1x+1，利用导数求得函数gx的单调性与最值，即可求解。【详解】解：（1）f(x)的定义域为(0,+)f(x)=2ax-1x+(a-2)=2ax2+(a-2)x-1x=(2x+1)(ax-1)x当a0时，f(x)0时，f(x)=0，得x=1a，当x(0,1a)时，f(x)0所以当a0时，f(x)在(0,1a)单调递减；在(1a,+)单调递增.综上，当a0时，f(x)在(0,+)单调递减；当a0时，f(x)在(0,1a)单调递减；在(1a,+)单调递增（2）由（1）知，当a0时，f(x)在(0,+)单调递减，而f(1)=a-ln1+(a-2)=2a-20时，f(x)在(0,1a)单调递减；在(1a,+)单调递增，所以f(x)min=f(1a)=lna-1a+1，依题，只需f(1a)0令g(x)=lnx-1x+1，则g(x)=1x+1x20，所以g(x)在(0,+)单调递增而g(1)=ln1-1+1=0，所以当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0所以当a1时，f(x)min=f(1a)0所以若f(x)0，则a的取值范围是1,+).【点睛】本题主要考查导数在函数中综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。22.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=1+ty=2t（为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2的极坐标方程为=23cos+4sin，两直线l1和l2相交于点P.（1）求点P的直角坐标；（2）若Q为圆C:x=2cosy=2+2sin（为参数）上任意一点，试求PQ的范围.【答案】（1）(2,2)（2）|PQ|252,25+2【解析】【分析】(1)把直线l1的参数方程与直线l2的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解得点P的直角坐标；(2) 依题意知，圆C的普通方程为x2+(y+2)2=4，|PQ|max=|PC|+r，|PQ|min=|PC|-r.【详解】解：（1）依题意知，直线l1的直角坐标方程为2x+y+2=0直线l2的直角坐标方程为3x+4y-2=0联立方程组3x+4y-2=02x+y+2=0 x=-2y=2，所以点P的坐标为(-2,2)（2）依题意知，圆C的普通方程为x2+(y+2)2=4所以圆心为C(0,-2)，其半径r=2|PQ|max=|PC|+r=25+2|PQ|min=|PC|-r=25-2故|PQ|25-2,25+2.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题23.已知函数fx=x3x+2（1）求函数fx的值域；（2）若x2,1，使fxx2+a成立，求a的取值范围.【答案】（1）5,5（2）a(,2【解析】【分析】(1)利用零点分段法可得f(x)=-5,x3-2x+1,-2x35,x-2 进而可得函数f(x)的值域；(2)x-2,1，使f(x)x2+a成立即x-2,1使得a-x2-2x+1成立，转求二次函数的最大值即可.【详解】解：（1）依题意可得：f(x)=-5,x3-2x+1,-2x35,x-2当-2x3时，-5-2x+15所以f(x)的值域为-5,5（2）因为-2x1，所以f(x)x2+a，化为-2x+1x2+a得x-2,1使得a-x2-2x+1成立令g(x)=-x2-2x+1，x-2,1，得g(x)=-(x+1)2+2所以，当x=-1时，g(x)max=2，所以a(-,2.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用
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