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小题标准练(十二)(40分钟80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.著名数学家欧拉发现了复数的三角形式: eix=cos x+isin x(其中i为虚数单位,i2=-1),根据这个公式可知,e2 0194i表示的复数在复平面中所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为e2 0194i=cos2 0194+isin2 0194=cos34+isin34=-22+22i,所以对应的点为-22,22在第二象限.2.已知命题p:xR,x2+x-60D.xR,x2+x-6s乙2,由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲的方差小,故乙比甲更优秀.4.执行如图所示的程序框图,若输出的b的值为4,则图中判断框内处应填()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.当a=1时,b=1不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;当a=2时,b=2不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4满足输出条件,故应退出循环,故判断框内处应填a2.5.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若cos A+sin A-2cosB+sinB=0,则a+bc的值是()A.1B.2C.3D.2【解析】选B.由cos A+sin A-2cosB+sinB=0,得2sinA+42sinB+4=2,即sinA+4sinB+4=1,又sinA+41,sinB+41,所以sinA+4=sinB+4=1,A=B=4,C=2,所以a=b=22c,a+bc=2.6.等差数列an中,a3=5,a4+a8=22,则1anan+1的前20项和为()A.4041B.2041C.4243D.2143【解析】选B.因为a4+a8=22,a3=5,所以a1+2d=5,2a1+10d=22,解得a1=1,d=2, an=2n-1,又因为1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,所以其前20项和Sn=121-13+13-15+139-141=2041.7.已知tan(+)=25,tan-4=14,那么tan+4等于()A.1318B.1322C.322D.16【解析】选C.因为+4+-4=+,所以+4=(+)-4,所以tan+4=tan(+)-4=tan(+)-tan-41+tan(+)tan-4=322.8.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4,记函数f(x)满足条件f(2)12,f(-2)4为事件A,则事件A发生的概率为()A.14B.58C.12D.38【解析】选C.由题意知,事件A所对应的线性约束条件为0b4,0c4,4+2b+c12,4-2b+c4,其对应的可行域如图中阴影部分所示,所以事件A的概率P(A)=SOADS正方形OABC=12.9.已知x,y均为正实数,且1x+2+1y+2=16,则x+y的最小值为()A.24B.32C.20D.28【解析】选C.方法一:因为1x+2+1y+2=16且x0,y0,所以x+y=6(x+2)+(y+2)1x+2+1y+2-4=62+y+2x+2+x+2y+2-462+2y+2x+2x+2y+2-4=20(当且仅当x=y=10时取等号).方法二:因为1x+2+1y+2=16,且x0,y0,由于(x+2)+(y+2)1x+2+1y+2(1+1)2=4.所以x+y+424,x+y20,即x+y最小值为20(当且仅当x=y=10时取等号).10.定义函数y=f(x),xD,若存在常数C,对任意的x1D,存在唯一的x2D,使得f(x1)+f(x2)2=C,则称函数f(x)在D上的均值为C.已知f(x)=lg x,x10,100,则函数f(x)=lg x在x10,100上的均值为()A.32B.34C.710D.10【解析】选A.f(x1)+f(x2)2=lg(x1x2)2=C,从而对任意的x110,100,存在唯一的x210,100,使得x1x2为常数.充分利用题中给出的常数10,100.令x1x2=10100=1000,当x110,100时,x2=1000x110,100,由此得C=lg(x1x2)2=32.11.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l.若l与椭圆x2+y24=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使PAB的面积为12的点P的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由已知求得l:2x+y-2=0与椭圆两交点分别为长、短轴端点,其中A(0,2),B(1,0),所以|AB|=5.所以顶点P到底边AB的距离h=SABP12|AB|=55.设与直线l平行且距离为55的直线l:2x+y+c=0(c-2).由两平行直线间距离公式,得d=55=|c-(-2)|22+12=|c+2|5.所以c=-1或c=-3.两平行线为2x+y-1=0,2x+y-3=0.联立2x+y-1=0,x2+y24=1,2x+y-3=0,x2+y24=1.对于方程组,10,直线与椭圆有两个交点.对于方程组,20,直线与椭圆无交点.综上可知,满足题意的点P有2个,如图所示.12.已知函数f(x)=(x2-3)ex,设关于x的方程f2(x)-mf(x)-12e2=0(mR)有n个不同的实数解,则n的所有可能的值为()A. 3B. 1或3C. 4或6D.3或4或6【解析】选A.f(x)=(x-1)(x+3)ex,所以f(x)在(-,-3)和(1,+)上单调递增,(-3,1)上单调递减,又当x-时f(x)0,x+时f(x)+,故f(x)的图象如图所示:令f(x)=t,则方程t2-mt-12e2=0必有两根t1,t2(t1t2)且t1t2=-12e2,当t1=-2e时恰有t2=6e-3,此时f(x)=t1有1个根,f(x)=t2有2个根;当t1-2e时必有0t26e-3,此时f(x)=t1无根,f(x)=t2有3个根;当-2et16e-3,此时f(x)=t1有2个根,f(x)=t2有1个根;综上,对任意mR,方程均有3个根.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知集合M=a|a=(1,2)+(3,4),R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R,则MN=_.【解析】M=a|a=(1,2)+(3,4),R=a|a=(1+3,2+4),R, N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R=a|a=(-2+4,-2+5),R.令(1+31,2+41)=(-2+42,-2+52),则1+31=-2+42,2+41=-2+52,解得1=-1,2=0,所以MN=(-2,-2).答案:(-2,-2)14.直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,M是A1C1的中点,N是BB1的中点,则AM与NC1所成角的余弦值为_.【解析】设直三棱柱的棱长为2a,AC的中点为D,连接C1D,DN,则易得C1DAM,则DC1N就是AM与NC1的夹角,又因为C1D=CC12+CD2=5a,DN=AB2-AD2+BN2=2a,C1N=C1B12+B1N2=5a,所以AM与NC1的夹角的余弦值等于cosDC1N=C1D2+C1N2-DN22C1DC1N=35.答案:3515.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如下的22列联表:喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050则在犯错误的概率不超过_的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示).P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(2015-510)2252530208.3337.879.答案:0.5%16.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为_.【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y),易得圆的半径r=25,即圆C的方程是(x-2)2+y2=45,AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0),若满足AP=AB+AD,则x=2y-1=-,所得=x2,=1-y,所以+=x2-y+1,设z=x2-y+1,即x2-y+1-z=0,因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心(2,0)到直线x2-y+1-z=0的距离dr,即|2-z|14+125,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3.答案:3
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