2019-2020年高中数学 第二章 数列学案 新人教A版必修5.doc

2019-2020年高中数学 第二章 数列学案 新人教A版必修5第一课时数列的概念与通项公式数列的概念提出问题观察下列示例，回答后面问题(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，.(2)2的1次幂，2次幂，3次幂、4次幂依次是2,4，8,16.(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，.(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次分为：，.问题：观察上面4个例子，它们都涉及到了一些数，这些数的呈现有什么特点？提示：按照一定的顺序排列导入新知数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an简记为an化解疑难1数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置2项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次3an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an表示数列an中的第n项.数列的分类提出问题问题：观察上面4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？提示：数列1中有6项，数列2中有4项，数列3、4有无穷多项；数列1中每一项都小于它的前一项，数列2中的项大小不确定，数列3中每一项都大于它的前一项，数列4中每一项都小于它的前一项导入新知分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列化解疑难在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出例如，数列1,2,3,4，100.表示有穷数列但是如果把数列写成1,2,3,4，100，就表示无穷数列.数列的通项公式提出问题问题：仍然观察上面4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示导入新知数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式化解疑难1数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数解析式2同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式数列的概念及分类例1已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2，3,4，5，；(3)0，；(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0，cos，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)解析(1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列(因为1)；(4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)类题通法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列活学活用1给出下列数列：(1)xxxx年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个构成数列，.(3)2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2,4，8,16，32，.(4)精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？解：有穷数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；无穷数列有：，；2,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.递增数列有：82,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.递减数列有：2,1.5,1.42,1.415，.常数列有：，.摆动数列有：2,4，8,16，32，.由数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)，；(4)，；解(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an(nN*)(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1.(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an(nN*)(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n.类题通法此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体方法为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系活学活用2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341，891,15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann.(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).通项公式的简单应用例3已知数列an的通项公式是an.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由解(1)由通项公式an可得a4，a7.(2)令，得n29，所以n3(n3舍去)，故是该数列中的项，并且是第3项；令，得n2，所以n，由于都不是正整数，因此不是数列中的项类题通法1数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项2判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项活学活用3已知数列an的通项公式为anqn，且a4a272.(1)求实数q的值；(2)判断81是否为此数列中的项解：(1)由题意知q4q272q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3时，an3n，显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n，令(3)n8134，也无解81不是此数列中的项典例已知数列an的通项公式为ann25n4.求n为何值时，an有最小值？并求出最小值解ann25n42，可知对称轴方程为n2.5.又nN*，故n2或3时，an有最小值，其最小值为a2a3225242.易错防范1忽视了借助二次函数求最值，而认为当n1时取得最小值2由an2知n取最小值，忽视nN*.3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集1,2,3，n)这一约束条件成功破障求数列2n29n3中的最大项解：已知2n29n322，由于n为正整数，故当n2时，取得最大值为13，所以数列2n29n3中的最大项为第二项，为13.随堂即时演练1将正整数的前5个数排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有()ABC D解析：选D数列是按“一定顺序”排列着的一列数因此选D.注意此题易错选B.2在数列1,0，中，0.08是它的()A第100项 B.第12项C第10项 D第8项解析：选Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3若数列an的通项公式是an32n，则a2n_，_.解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项an32n，a2n322n34n，.答案：34n4若数列an的通项满足n2，那么15是这个数列的第_项解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5.答案：55已知：an，(1)求a3；(2)若an，求n.解：(1)将n3代入an，得a3.(2)将an代入an，得，解得n8.课时达标检测一、选择题1下面有四个结论，其中叙述正确的有数列的通项公式是唯一的；数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；数列若用图象表示，它是一群孤立的点；每个数列都有通项公式()ABC D解析：选B数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以不正确2数列的通项公式为an则a2a3等于()A70 B.28C20 D8解析：选C由an得a22，a310，所以a2a320.3数列1,3，7,15，的一个通项公式可以是()Aan(1)n(2n1)Ban(1)n(2n1)Can(1)n1(2n1)Dan(1)n1(2n1)解析：选A数列各项正、负交替，故可用(1)n来调节，又1211,3221,7231,15241，所以通项公式为an(1)n(2n1)4(xx宿州高二检测)已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是()A递增数列B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选Aan1，当n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列5下列命题：已知数列an，an(nN*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项数列，2，的一个通项公式是an.已知数列an，ankn5，且a811，则a1729.已知an1an3，则数列an是递增数列其中正确命题的个数为()A4个 B.3个C2个 D1个解析：选A对于，令ann10，易知最大项为第一项正确对于，数列，2，变为，an，正确；对于，ankn5，且a811k2an2n5a1729.正确；对于，由an1an30，易知正确二、填空题6已知数列an的通项公式为an，那么是它的第_项解析：令，解得n4(n5舍去)，所以是第4项答案：47已知数列an的前4项为11,102,1 003,10 004，则它的一个通项公式为_解析：由于11101,1021022,1 0031033，10 0041044，所以该数列的一个通项公式是an10nn.答案：an10nn.8(xx福州高二检测)已知数列an的通项公式是ann28n12，那么该数列中为负数的项一共有_项解析：令ann28n120，解得2n6，又因为nN*，所以n3,4,5，一共有3项答案：3三、解答题9求下列数列的一个可能的通项公式：(1)1，1,1，1，；(2)1,10,2,11,3,12，；(3)1，1，1，1，.解：(1)an(1)n1或an(2)an或an.(3)an1(1)n1.10在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 013；(3)2 014是否为数列an中的项？解：(1)设anknb(k0)，则有解得k4，b2.an4n2.(2)a2 01342 01328 050.(3)令2 0144n2，解得n504N*，2 014是数列an的第504项第二课时数列的通项公式与递推公式数列的递推关系提出问题某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)问题1：写出前五排座位数提示：20,22,24,26,28.问题2：第n排与第n1排座位数有何关系？提示：第n1排比第n排多2个座位问题3：第n排座位数an与第n1排座位数an1能用等式表示吗？提示：能an1an2.导入新知如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式化解疑难1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项2有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，2n1，的一个通项公式为an2n1(nN*)用递推公式表示为a11，anan12(n2，nN*)数列的表示方法例1根据数列an的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n5，且nN*)(1)an(1)n2；(2)an.解(1)数列an的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图所示(2)数列an的前5项依次是2，图象如下图所示类题通法通项公式法、列表法与图象法表示数列优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算公式法是常用的数学方法(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势活学活用1一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号(n)12345678剩余邮件数(an)7121516151270由递推公式求数列中的项例2已知数列an的第一项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.类题通法根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式活学活用2已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项解：(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故b1，b2，b3，b4.由递推公式归纳数列的通项公式例3已知数列an的第1项是2，以后的各项由公式an(n2,3,4，)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列an的通项公式解可依次代入项数进行求值a12，a22，a3，a4，a5.即数列an的前5项为2，2，.也可写为，.即分子都是2，分母依次加2，且都是奇数，所以an(nN*)类题通法根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式活学活用3已知数列an满足a11，anan1(n2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式解：a11，a2a11，a3a2，a4a3，a5a4.故数列的前5项分别为1，.由于1，故数列an的一个通项公式为an2.递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法【角度一】累加法对于数列an若满足an1anf(n)时，需用累加法，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1来求an.例1已知a11，an1an2，求数列an的一个通项公式解a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)，将这些式子的两边分别相加，(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即ana12(n1)，又a11，an2n1(n2)，当n1时，a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an2n1.【角度二】累乘法对于数列an若满足f(n)时，需用累乘法，即ana1来求an.例2已知数列an中，a12，an13an(nN*)，求数列an的通项公式解由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.随堂即时演练1符合递推关系式anan1的数列是()A1,2,3,4，B1，2,2，C.，2，2， D0，2,2，解析：选BB中从第二项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式anan1.2数列，的递推公式可以是()Aan(nN*) B.an(nN*)Can1an(nN*) Dan12an(nN*)解析：选C数列从第二项起，后一项是前一项的，故递推公式为an1an(nN*)3已知a11，an1(n2)，则a5_.解析：由a11，an1得a22，a3，a4，a5.答案：4已知数列an满足a10，(nN*)，则数列an是_数列(填“递增”或“递减”)解析：由已知a10，an1an(nN*)，得an0(nN*)又an1anananan0，所以an是递减数列答案：递减5已知数列an的通项公式为an，写出它的前5项，并判断该数列的单调性解：对于公式an，依次取n1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1，a2，a3，a4，a5.而an1an.因为nN*，所以1n2n0，所以an1an0，即an1an.故该数列为递减数列课时达标检测一、选择题1已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B.递减数列C常数列 D不能确定解析：选Aan1an30，故数列an为递增数列2数列an中an1an2an，a12，a25，则a5 ()A3 B.11C5 D19解析：选D由an1an2an得an2anan1，由于a3a1a27，a4a2a312，a5a3a419.3在数列an中，a1，an(1)n2an1(n2)，则a5等于()AB.CD.解析：选Ba1，an(1)n2an1，a2(1)22，a3(1)32，a4(1)42，a5(1)52.4已知数列an对任意的p，qN*满足apqapaq，且a26，那么a10等于()A165 B.33C30 D21解析：选C由已知得a2a1a12a16，a13.a102a52(a2a3)2a22(a1a2)4a22a14(6)2(3)30.5已知在数列an中，a13，a26，且an2an1an，则a2 012()A3 B.3C6 D6解析：选C由题意知：a3a2a13，a4a3a23，a5a4a36，a6a5a43，a7a6a53，a8a7a66，a9a8a73，a10a9a83故知an是周期为6的数列，a2 012a26.二、填空题6数列an中，an1ann0，则a2 012a2 011_.解析：an1ann0，a2 012a2 0112 0110，a2 012a2 0112 011.答案：2 0117已知数列an，ananm(a0，nN*)，满足a12，a24，则a3_.解析：an(1)n3，a3(1)332.答案：28已知对于任意的正整数n，ann2n.若数列an是递增数列，则实数的取值范围是_解析：an是递增数列，an1an(n1)2(n1)n2n2n10对于任意的正整数n恒成立，即 2n1对于任意的正整数n恒成立，3.答案：3三、解答题9已知数列an中，a11，an1an.(1)写出数列an的前5项；(2)猜想数列an的通项公式；(3)画出数列an的图象解：(1)a11，a21，a3，a4，a5.(2)猜想：an.(3)图象如图所示：10设f(x)log2 xlogx4(0x1)，又知数列an的通项an满足f(2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)试判断数列an的增减性解：(1)f(x)log2xlogx4(0x1)，f(2an)2n，log22anlog2an42n，由换底公式，得log22an2n，即an2n，a2nan20，ann.由0x1，有02an1，an0.由得ann，此即为数列an的通项公式(2)1an0，an1an，数列an是单调递增数列_2.2等差数列第一课时等差数列等差数列的定义提出问题1有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为：16,32,48,64,80,96,112,128，320.2xx年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重(单位：kg)分别为：48,53,58,63.3鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，问题1：上面三组数构成数列吗？提示：构成问题2：若上面三组数构成数列，试观察它们从2项起，每一项与前一项的差有什么特点？提示：等于同一常数导入新知等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示化解疑难1“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合2“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： 作差的顺序；这两项必须相邻3定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.等差中项提出问题问题：观察上面三个数列，每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系？提示：前一项与后一项的和是中间项的2倍导入新知等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A.化解疑难1A是a与b的等差中项，则A或2Aab，即两个数的等差中项有且只有一个2当2Aab时，A是a与b的等差中项.等差数列的通项公式提出问题若一等差数列an的首项为a1，公差是d.问题1：试用a1、d表示a2、a3、a4.提示：a2a1d，a3a12d，a4a13d.问题2：由此猜想等差数列的通项公式an.提示：ana1(n1)d.导入新知等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)化解疑难由等差数列的通项公式ana1(n1)d可得andn(a1d)，如果设pd，qa1d，那么anpnq，其中p，q是常数当p0时，an是关于n的一次函数；当p0时，anq，等差数列为常数列等差数列的判定与证明例1判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列类题通法定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列活学活用1已知等差数列an的首项为a1，公差为d，数列bn中，bn3an4，问：数列bn是否为等差数列？并说明理由解：数列bn是等差数列理由：数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根据等差数列的定义，数列bn是等差数列.等差数列的通项公式例2(1)在等差数列an中，已知a510，a1231，求通项公式an.(2)已知数列an为等差数列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，则an2(n1)33n5通项公式an3n5.(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().类题通法1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用aman(mn)d则较为简捷活学活用2(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)401是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1，由题意知，4014n1.得n100，即401是这个数列的第100项等差中项例3已知等差数列an，满足a2a3a418，a2a3a466.求数列an的通项公式解在等差数列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或当时，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.当时，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.类题通法三数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN*)活学活用3(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为_，_，_.(2)已知数列an满足an1an12an(n2)，且a25，a513，则a8_. 解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，数列an是等差数列，a2，a5，a8成等差数列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21典例已知等差数列an的首项为a1，公差为d，且a1126，a5154，求a14的值你能判断该数列从第几项开始为正数吗？解由等差数列ana1(n1)d列方程组：解得a144613220an46(n1)22n48令an0，即2n480n24.从第25项开始，各项为正数易错防范1忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n24也满足条件2由通项公式计算时，易把公式写成ana1nd，导致结果错误成功破障一个等差数列的首项为，公差d0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围解：设等差数列为an，由d0，知a1a2a9a10a11，依题意，有即解得d，即公差d的取值范围是.随堂即时演练1已知等差数列an的首项a12，公差d3，则数列an的通项公式为()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：选Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差数列的前3项依次是x1，x1,2x3，则其通项公式为()Aan2n5 B.an2n3Can2n1 Dan2n1解析：选Bx1，x1,2x3是等差数列的前3项，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差数列的第3项是7，第11项是1，则它的第7项是_解析：设首项为a1，公差为d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，则a73.答案：34已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为_解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x1y，y是x和10的等差中项，即2yx10 ，由，可解得x4，y7.答案：4,75在等差数列an中，(1)已知a51，a82，求a1与d；(2)已知a1a612，a47，求a9.解：(1)由题意，知解得(2)由题意，知解得an12(n1)2n1.a929117.课时达标检测一、选择题1在等差数列an中，a30，a72a41，则公差d等于()A2BC. D2解析：选B由题意，得解得 2设x是a与b的等差中项，x2是a2与b2的等差中项，则a，b的关系是()Aab B.a3bCab或a3b Dab0解析：选C由等差中项的定义知：x，x2，2，即a22ab3b20.故ab或a3b.3若等差数列an中，已知a1，a2a54，an35，则n()A50 B.51C52 D53解析：选D依题意，a2a5a1da14d4，代入a1，得d.所以ana1(n1)d(n1)n，令an35，解得n53.4在数列an中，a11，an1an1，则a2 012等于()A2 009 B.2 010C2 011 D2 012解析：选D由于an1an1，则数列an是等差数列，且公差d1，则ana1(n1)dn，故a2 0122 012.5下列命题中正确的个数是()(1)若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列；(2)若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列；(3)若a，b，c成等差数列，则ka2，kb2，kc2一定成等差数列；(4)若a，b，c成等差数列，则，可能成等差数列A4个 B.3个C2个 D1个解析：选B对于(1)取a1，b2，c3a21，b24，c29，(1)错对于(2)abc2a2b2c，(2)正确；对于(3)a，b，c成等差数列，ac2b.(ka2)(kc2)k(ac)42(kb2)，(3)正确；对于(4)，abc0，(4)正确综上可知选B.二、填空题6已知数列an是各项均为正数的等差数列，a1和a3是方程x28x70的两根，则它的通项公式是_解析：解方程x28x70得x11，x27.数列an的各项均为正数，a11，a37.公差d3.ana1(n1)d3n2.答案：an3n27等差数列1，3，7，的通项公式为_，a20_.解析：d314，a11，an14(n1)4n5.a2080575.答案：an4n5758数列an是等差数列，且anan2n，则实数a_.解析：an是等差数列，an1an常数a(n1)2(n1)(an2n)2ana1常数2a0，a0.答案：0三、解答题9在等差数列an中，已知a1112，a2116，这个数列在450到600之间共有多少项？解：由题意，得da2a11161124，所以ana1(n1)d1124(n1)4n108.令450an600，解得85.5n123，又因为n为正整数，故有38项10数列an满足a11，1(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：由1，可得2，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知1(n1)22n1，an.第二课时等差数列的性质等差数列性质的应用例1(1)已知an为等差数列，a3a4a5a6a7450.求a2a8的值(2)(xx江西高考)设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_.(1)解a3a4a5a6a7450，由等差数列的性质知：a3a7a4a62a5.5a5450.a590.a2a82a5180.(2)解析法一：设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5a5b535.答案35类题通法1利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示2本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：若mnpq，则amanapaq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.活学活用1(1)已知an为等差数列，a158，a6020，则a75_.(2)如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7()A14B21C28 D35解析：法一：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60a153d，得d4.所以a75a60da7524.法二：因为a15a114d，a60a159d，所以解得故a75a174d7424.(2)a3a4a512，3a412，则a44，又a1a7a2a6a3a52a4，故a1a2a77a428.故选C.答案：(1)24(2)C灵活设元求解等差数列例2(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解(1)设这三个数依次为ad，a，ad，则解得这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，把a1d代入a(a3d)8，得(1d)(1d)8，即1d28，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四个数为2,0,2,4.类题通法常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：ad，ad，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：ad，a，ad，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.活学活用2已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列解：设这四个数依次为a3d，ad，ad，a3d.由题设知解得或这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用例3某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120，(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20，所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损类题通法1在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量活学活用3九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A1升B.升C.升D.升解析：选B设所构成的等差数列an的首项为a1，公差为d，则有即解得则a5a14d，故第5节的容积为升随堂即时演练1已知等差数列an，则使数列bn一定为等差数列的是()AbnanBbnaCbn Dbn解析：选A数列an是等差数列，an1and(常数)对于A：bn1bnanan1d，正确；对于B不一定正确，如数列ann，则bnan2，显然不是等差数列；对于C、D：及不一定有意义，故选A.2(xx辽宁高考)在等差数列an中，已知a4a816，则a2a10()A12 B.16C20 D24解析：选B因为数列an是等差数列，所以a2a10a4a816.3已知数列an中，a510，a1231，则其公差d_.解析：d3.答案：34在等差数列