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山东日照市2019届高三上学期期中考试试题（数学理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算出集合、，然后计算出【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算，属于基础题。2.命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. pq B. pq C. (p)q D. (p)(q)【答案】B【解析】试题分析：x2+ax+a2=(x+a2)2+34a20，所以命题p为真命题；因为(sinx+cosx)max=2，所以命题q是假命题。所以pq是真命题.考点：命题与简易逻辑3.已知向量a,b满足a=1,b=2,a-b=3,2，则2a-b=A. 15 B. 17 C. 22 D. 25【答案】C【解析】【分析】由条件易知ab=0，对目标平方可得结果.【详解】由已知得(ab)2=5，ab=0，又(2ab)2=4a2+b2=82a-b=22故选：C.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.4.函数fx=12x1的定义域为A. 0,+ B. 0,+ C. 1,+ D. 1,+【答案】A【解析】【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【详解】要使fx=12x-1有意义，需满足：2x-10解得：x0函数fx=12x-1的定义域为0,+故选：A【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件5.将函数fx=sin2x+3的图象向左平移6个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）A. y=sin2x B. y=cos2x C. y=sin2x+23 D. y=sin2x6【答案】C【解析】将函数y=sin2x+6的图象向左平移6个单位，得到函数y=sin2x+6+6=sin2x+2=cos2x的图象,所求函数的解析式为y=cos2x，故选B.6.已知sin2=13 ，则 cos2(-4)A. 13 B. 16 C. 23 D. 89【答案】C【解析】【分析】由sin2=13利用三角函数的诱导公式可得cos22=13,然后根据二倍角余弦公式求解即可.【详解】sin2=13,cos22=13，cos2(4)=13，2cos241=13，cos2(4)=23，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角7.已知a0且a1，则ab1是a1b0的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合指数的运算性质，可知ab1与a-1b0是等价的.【详解】由ab1a1b0或0a1b0a10b0或 a10b1是(a1)b0的充要条件.故选：C【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系8.若a=(67)14，b=(76)15，c=log278，定义在R上的奇函数fx满足:对任意的x1,x20,+)且x1x2都有f(x1)f(x2)x1x20，则fa,fb,fc的大小顺序为（ ）A. fbfafbfaC. fcfafb D. fbfcfa【答案】B【解析】由题意，fx在R上单调递减，又a=6714=76147615=b1,c=log278bc，所以fcfbfa，故选B。9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列共有（ ）A. 98项 B. 97项 C. 96项 D. 95项【答案】B【解析】能被3除余1且被7除余1的数就只能被21除余1的数，故an=21n20，由1an2018得1n97，故此数列的项数为97.故选B.10.函数fxlnxsinxx+sinx的图象大致是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为f(x)=ln(x+sinxxsinx)=ln(xsinxx+sinx)=f(x) ，所以舍去B,D;当x(0,2)时，0xsinxx+sinx0xsinxx+sinx1,ln(xsinxx+sinx)0 所以舍C，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题11.己知函数fx=x26x+1,x0,12x+1,x0,gx=fxa，若函数gx恰有4个零点，则实数a的取值范围为A. 12,1 B. 0,121,8 C. 12,1 D. 0,121,8【答案】D【解析】【分析】作出y=|f（x）|的函数图象，根据|f（x）|=a有4个零点得出a的范围【详解】g(x)=f(x)a恰有4个零点，y=f(x)与y=a有4个交点，作出y=f(x)与y=a的函数图象如图所示：0a12或1a8故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fafb0,0,f3=0，对xR恒有fxf3，且在区间15,5上有且只有一个x1使fx1=3，则的最大值为A. 574 B. 1054 C. 1114 D. 1174【答案】B【解析】【分析】利用fx=3sinx+的对称性与最值得到=32k+14=k2+4，然后逐一检验是否适合题意即可.【详解】由题意知-3+=k13+=k2+2，k1,k2Z,则=32k+14=k2+4，k,kZ ，其中k =k1-k2，k=k1+k2=k+2k1，故k与k同为奇数或同为偶数.fx在15,5上有且只有一个最大，且要求最大，则区间15,5包含的周期应该最多，所以5-15=2152T，得030，即32k+1430，所以k19.5.当k=19时，=1174，k为奇数，=34，此时1174x+342.7,6.6，当1174x1+34=4.5或6.5时，fx1=3都成立，舍去；当k=18时，=1114，k为偶数，=4，此时1114x+42.1,5.8，当1114x1+4=2.5或4.5时，fx1=3都成立，舍去；当k=17时，=1054，k为奇数，=34，此时1054x+342.5,6，当且仅当1054x1+34=4.5时，fx1=3成立.综上所述，最大值为1054.故选：B【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质，涉及到对称性、最值、周期、零点等问题，综合型较强，考查学生的逻辑思维能力与计算能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.己知点A1，0，B2,1，向量a=,2,若a/AB，则实数的值为_【答案】2【解析】【分析】利用向量平行的坐标形式得到结果.【详解】AB=1,1,a/AB，2=0,=2故答案为：2【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若a0且a/b，则存在实数，使b=a成立；（2）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a/b，则x1y2-x2y1=0.14.已知实数x,y满足约束条件x+y5,3x2y0,x2y+10,则z=3x+y的最小值为_【答案】94【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由实数x,y满足约束条件x+y53x2y0x2y+10作出可行域如图，联立3x2y=0x2y+1=0，解得A12,34，化目标函数z=3x+y为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过A12,34时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为312+34=94故答案为：94【点睛】解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_【答案】B.【解析】分析: 根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断详解: 根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故答案为：B点睛: (1)本题主要考查推理证明,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设验证法.16.定义在R上的奇函数f(x)在区间(,0)上单调递减，且f(1)=0，则不等式(x1)f(x1)0，在1,0上，fx0，在1,+上，fx0，又由x1fx10x10或x10fx10，在1,0上，fx0，在1,+上，fx0，x1fx10x10=f1或x10fx10=f1，即x1x11x11，解可得x2，即x的取值范围为,02,+,故答案为,02,+.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3a=2csinA(1)求角C；(2)若a=5,c=7 ，求 ABC的面积【答案】（1）3（2）103【解析】【分析】(1)由3sinA=2sinCsinA,利用正弦定理，结合sinA0可得sinC=32,结合ABC是锐角三角形可得结果；(2)由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC代入a=5,c=7,化简求出b=8，再根据三角形的面积公式计箅即可得出结果.【详解】（1）由正弦定理得：3sinA=2sinCsinA，因为sinA0，所以sinC=32， 又因为C(0,2)，故C=3. （2）由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC，因为a=5,c=7，所以有49=25+b2-5b，解得b=8，或b=-3（舍去）. 所以SABC=12absinC=103.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.己知函数fx=kxkx2lnx(1)若函数fx的图象在点1,f1处的切线方程为2x+5y2=0，求fx的单调区间；(2)若函数fx在0,+为增函数，求实数k的取值范围【答案】（1）见解析；（2）1,+【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义确定k的取值，即可求f（x）的单调区间；（2）根据函数单调性和导数之间的关系，转化为导数恒成立问题，即可求实数k的取值范围【详解】（1） f(x)=k+kx2-2x=kx2-2x+kx2，可知f(1)=2k-2=-25，得k=45， 所以f(x)=4x2-10x+45x2=2(2x-1)(x-2)5x2,f(x)的定义域是(0,+)，故由f(x)0得0x2，由f(x)0得12x0且a1，flogax=aa21x1x(1)判断函数y=fx的单调性，并证明；(2)若函数y=fx4恰好在,2上取负值，求a的值【答案】（1）见解析；（2）23【解析】【分析】（1）令logax=t，得x=at，代入即可得到f（t）的解析式，即为f（x）的解析式，再由导数的符号和分类讨论，即可得到f（x）的单调性；（2）由题意结合f（x）的单调性，可得f（2）4=0，解方程即可得到所求值【详解】（1）证明：令logax=t，得x=at，所以f(t)=aa2-1(at-a-t)，即f(x)=aa2-1(ax-a-x)，求导得f(x)=aa2-1(axlna+a-xlna) =alnaa2-1(ax+a-x)， 若0a1，则alna0,a2-10，又ax+a-x始终大于0，f(x)0，f(x)单调递增；若a1，则alna0,a2-10，所以alnaa2-10，f(x)0，f(x)单调递增综上，f(x)在R上单调递增 （2）因为f(x)是R上的增函数，函数f(x)-4恰好在(-,2)上取负值，由x2，得f(x)-4f(2)-4，要使f(x)-4的值恰为负数，则f(2)-4=0， 即f(2)=aa2-1(a2-a-2)=4，变形得1a-a-1(a2-a-2)=4，即为a2-4a+1=0，解得a=23【点睛】求函数的单调区间时，常常通过求导，转化为解方程或不等式，解题时常用到分类讨论思想，分类时要根据参数的特点选择合适的标准进行分类。求函数的极值时要根据函数的单调性去解，注意导函数的零点与函数极值点之间的关系，不要将导函数的零点与极值点混为一谈。利用单调性证明不等式或比较大小时，常用构造函数的方法进行求解。构造时要根据所证不等式的特点并选择适当的变量构造出函数，再根据函数的单调性证明。21.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)=5(x2+2),0x2,50x1+x,2x5,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为f(x) (单位：元)(1)求f(x)的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）y=75x230x+150,0x2,750x1+x30x,2x5.（2）当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元【解析】【分析】(1)根据题意可得f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x，分两种情况讨论0x2,0x2,化为分段函数即可；(2)根据分段函数的解析式，分别利用二次函数的性质以及基本不等式求出两段函数的最值，从而可求出最大利润.【详解】（1）由已知f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x =155(x2+2)-30x,0x2,1550x1+x-30x,2x5 =75x2-30x+150,0x2,750x1+x-30x,2x5. （2）由（1）f(x) =75x2-30x+150,0x2,750x1+x-30x,2x5=75x2-30x+150,0x2780-30251+x+(1+x),2x5,当0x2时，f(x)max=f(2)=390； 当2x5时，f(x)=780-30251+x+(1+x) 780-302251+x(1+x)=480，当且仅当251+x=1+x时，即x=4时等号成立 因为3901时，rxgx对x1,+恒成立；(2)若函数fx=arxx+x2+a2恰有一个零点，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）a=2e或a0【解析】【分析】（1）令h(x)=r(x)-g(x)，要证r(x)g(x)在1,+)上恒成立，只需证h(x)min0，x1,+)；（2）函数f(x)=alnx+x2，定义域为(0,+)，fx=ax+2x=2x2+ax对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确定图象与x轴的交点情况.【详解】（1）证明：令h(x)=r(x)-g(x)，要证r(x)g(x)在1,+)上恒成立，只需证h(x)min0，x1,+)，因为h(x)=xlnx+ax2-ax-2x+2，所以h(x)=lnx+1+2ax-a-2=lnx+2ax-a-1.令m(x)=lnx+2ax-a-1,x1,+)，则m(x)=1x+2a，因为x1,a1，所以m(x)0，所以m(x)在1,+)上单调递增， 所以m(x)m(1)=a-1，即h(x)a-1，因为a1，所以a-10，所以h(x)0，所以h(x)=xlnx+ax2-ax-2x+2在1,+)上单调递增，所以h(x)h(1)=0，r(x)-g(x)0，故r(x)g(x)在1,+)上恒成立. （2）函数f(x)=alnx+x2，定义域为(0,+)，fx=ax+2x=2x2+ax当a=0时，f(x)=x2,x(0,+)无零点.当a0时，fx0，所以fx在0,+上单调递增，取x0=e-1a，则fe-1a=-1+e-1a20，（或：因为0x0a且x01e时，所以fx0=alnx0+x02alnx0+aaln1e+a=0）因为f1=1，所以fx0f10，此时函数fx有一个零点 当a0时，令fx=0，解得x=-a2当0x-a2时，fx-a2时，fx0，所以fx在-a2,+上单调递增所以f(x)min=f(-a2) =aln-a2-a2.若，即时，取，即函数在区间上存在一个零点；当时，因为，所以，则有，必然存在 ，使得，即函数在区间存在一个零点；故当时，函数在上有两个零点，不符合题意.11分所以当时，要使函数有一个零点，必有，即综上所述，若函数恰有一个零点，则或.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
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