高一实验班空间角及其求法.ppt

空间角及其求法 专题讲座空间角及其求法一 地位分析 1 教材地位分析立体几何板块主要有两大类型 1 判断 推理型 2 有关的几何量的计算 其中包括空间角 空间距离 体积的计算 空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分 是立体几何板块的一个重点 也是难点 2 高考地位分析在历届高考中 空间角及其求法是每年必考的内容 分值约4 15分 属于中等难度 备注 高考中 立体几何板块往往有4个题目 2个选择题 一个填空题和1个大题 在大题中 一般是论证题和空间角 距离 计算组成 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法 附 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面上分别引垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二面角的平面角必须满足 1 角的顶点在棱上 2 角的两边分别在两个面内 3 角的边都要垂直于二面角的棱 四 用定义求空间角的步骤1 作出所求的空间角2 证明所作的角符合定义3 构造三角形并求出所要求角简言之 空间角的求解步骤为 一作 二证 三算 五 典例分析例1已知正方体ABCD A1B1C1D1 M N分别是棱A1B1和BB1的中点 求直线AM和CN所成角 途径一过D1作D1E AM 作D1F CN 连接EF 显然为异面直线AM与CN所成角 通过解 D1EF即可 途径二过D作D1E AM 再过N作NG D1E 显然为异面直线AM与CN所成角 通过解 即可 方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点 作平线 常选中点或线端点 利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线 例2 如图棱长是1的正方体 P Q分别是棱AB CC1上的内分点 满足 1 求证 A1P 平面AQD 2 求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值 解析 过Q作QR平行AD 交BB1与R 连接AR 易知面ADQR即为面AQD由 1 知A1P 面AQD 设A1P交AR与S 连接SQ即可 由以上的作法可知即为所求角 只需解三角形SPQ即可 方法提炼2 求直线和平面所成角要领 找射影 二足相连 由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条 所以关键在于寻该斜线在面上的射影 例3 在四棱锥P ABCD中 已知ABCD为矩形 PA 平面ABCD 设PA AB a BC 2a 求二面角B PC D的大小 解析1 定义法过D作DE PC于E 过E作EF PC于F 连接FD 由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B PC D的平面角 求解二面角B PC D的大小只需解 DEF即可 解析2 垂面法易证面PAB 面PBC 过A作AM BP于M 显然AM 面PBC 从而有AM PC 同法可得AN PC 再由AM与AN相交与A得PC 面AMN 设面AMN交PC于Q 则为二面角B PC D的平面角 再利用三面角公式可解 解析3 利用三垂线求解把四棱锥P ABCD补成如图的直三棱柱PAB EDC 显然二面角E PC D与二面角D PC B互补 转化为求二面角E PC D 易证面PEDA PDC 过E作EF PD于F 显然PF 面PDC 在面PCE内 过E作EG PC于G 连接GF 由三垂线得GF PC即为二面角E PC D的平面角 只需解 EFG即可 解析4 射影面积法由解析3的分析过程知 PFC为 PEC在面PDC上的射影 由射影面积公式得 余下的问题比较容易解决 解析5 在面PDC内 分别过D B作DE PC于E BF PC于F 连接EF即可 利用平面知识求BF EF DE的长度 再利用空间余弦定理求出q即可 方法提炼3 求二面角的方法比较多 常见的有 1 定义法在棱上的点分别作棱的垂线 如解析 2 三垂线求解在棱上的点分别作棱的垂线 如解析 3 垂面法在棱上的点分别作棱的垂线 如解析 图示 A 定义法 点在棱上 B 三垂线定理 点在面内 C 垂面法 点在空间内 4 射影面积法利用射影面积与斜面的关系求解如图所示 射影DDBC 斜面 ABC与两面所成的二面角q之间有 5 空间余弦定理运用公式 求解 如例3解析5 六 针对训练针对训练1 已知正方体中 E F分别是棱 的中点 求EF与AD所成角的大小为 与平面所成角为 针对训练2 已知二面角a l b A为面a内一点 A到b的距离为2 到l的距离为4 求二面角a l b的大小 针对训练3 如图 三棱锥P ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt ABC斜边AC的中点O 若PB AB 1 BC 求二面角P AB C的正切值 针对训练4 如图P为二面角 内一点 PA PB 且PA 5 PB 8 AB 7 求这二面角的度数 针对训练五 在直角坐标系xOy中 设A 2 3 B 3 2 沿x轴把直角坐标平面折成大小为 的二面角后 这时 则 的度数 七 专题总结本专题主要复习空间角 包括异面直线所成角 直线与平面所成角 二面角 的定义 求法 可总结为 线线角 用平移 妙选顶点 线面角 作射影 二足相连 二面角 求法多 空间余弦 用定义 三垂线 射影垂面 熟化归 解三角 算准结果 作证求 三环节 环环相扣 求解的基本思路为 八 课外作业1 如图 正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角 且 BCD 90 CBD 30 2003年南京市高三第三次质量检测卷数学 18 求证 AB CD 求二面角D AB C的大小 求异面直线AC和BD所成的角 2 如图 平面ABCD 平面ABEF ABCD是正方形 ABEF是矩形 且G是EF的中点 求证平面AGC 平面BGC 求GB与平面AGC所成角的正弦值 求二面角B AC G的大小3如图 四棱锥P ABCD中 侧面PDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直 且ABCD为菱形 1 求证 PA CD 2 求异面直线PB和AD所成角的余弦值 3 求二面角P AD C的正切值 1 相信自己2 确立目标3 制定计划4 采取行动5 坚持到底 相信自己是最优秀的 相信自己是最努力的 坚信自己是成功的人 已经成功了一半 相信自己 大厦巍然屹立 是因为有坚强的支柱 航船破浪前行 是因为有指示方向的罗盘 目标就是人生航船的罗盘 确立目标 我有一个梦想 有人说 这个故事其实就是反映了我们的人生 20岁之前 我们活在家人 老师的期望之下 背负着很多的压力 包袱 自己也不够成熟 能力不足 因此步履难免不稳 20岁之后 离开了众人的压力 卸下了包袱 开始全力以赴地追求自己的梦想 就这样愉快地过了20年 可是到了40岁 发现青春已逝 不免产生许多的遗憾和追悔 于是开始遗憾这个 惋惜那个 抱怨这个 嫉恨那个 就这样在抱怨中度过了20年 到了60岁 发现人生已所剩不多 于是告诉自己不要在抱怨了 就珍惜剩下的日子吧 于是默默地走完了自己的余年 到了生命的尽头 才想起自己好象有什么事情没有完成 原来 我们所有的梦想都留在了20岁的青春岁月 还没有来得及完成 每个人都希望梦想成真 成功却似乎远在天边遥不可及 倦怠和不自信让我们怀疑自己的能力 放弃努力 其实 我们不必想以后的事 一年 甚至一月之后的事 只要想着今天我要做些什么 明天我该做些什么 然后努力去完成 就象钟摆一样 每秒 滴答 摆一下成功的喜悦就会慢慢浸润我们的生命 执着 成功永远属于有准备的人 没有详细的计划 就不会取得成功 制定计划 积极的人 像太阳 照到哪里哪里亮 消极的人 像月亮 初一十五不一样 想法决定我们的生活和学习 有什么样的想法 就有什么样的未来 信心 雨后 一只蜘蛛艰难地向墙上已经支离破碎的网爬去 由于墙壁潮湿 它爬到一定的高度 就会掉下来 它一次次地向上爬 一次次地又掉下来 第一个人看到了 他叹了一口气 自言自语 我的一生不正如这只蜘蛛吗 忙忙碌碌而无所得 于是 他日渐消沉 第二个人看到了 他说 这只蜘蛛真愚蠢 为什么不从旁边干燥的地方绕一下爬上去 我以后可不能像它那样愚蠢 于是 他变得聪明起来 第三个人看到了 他立刻被蜘蛛屡败屡战的精神感动了 于是 他变得坚强起来 态度 因为我奋斗 所以我快乐 奋斗改变命运 梦想让我们与众不同 采取行动 其实很多人都是这样 只知道有问题 却不能抓住问题的核心和根基 学习虽然讲时间 但更重要的是效率 你以前优秀 说明你本来就是优秀的 成功者永不放弃 放弃者决不会成功 坚持到底 决不放弃 成功的秘诀 坚持到底 要月考考试 同学们 加油吧 月考冲刺