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2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高二期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列选项叙述错误的是A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B. 若为真命题，则p，q均为真命题C. 若命题p：，则：，D. “”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于，命题“若， 的逆否命题是“若，则”，故正确；对于，若 为真命题，则 ， 至少有一个为真命题，故错误；对于，若命题 ：，则 ：，故正确；对于，或可推出，反之，推不出，故正确，故选B.2.设a，且，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用排除法，可取a=-1，b=-2，排除选项A,B,C，从而可得结果【详解】因为ab，所以可取a=-1，b=-2，此时，ba1b ，a2b2均不成立，所以可排除选项A,B,C，故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.3.以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x20相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是()A. (0,2) B. (2,0) C. (4,0) D. (0,4)【答案】B【解析】x20为抛物线的准线根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)4.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里A. 156里 B. 84里 C. 66里 D. 42里【答案】D【解析】【分析】此人每天所走的路程，组成等比数列an，其中q=12，S6=378.利用等比数列的通项公式与求和公式即可得结果【详解】此人每天所走的路程组成等比数列an，其中q=12，S6=378则a11-(12)61-12=378，解得a1=192后3天一共走了a4+a5+a6=a1q3+q4+q5=192(12)31+12+(12)2=42（里）故选D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式基本量运算，属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1,q,n,an,Sn,，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5.设ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，若A=3，且不等式x2-(3+3)x+330的解集为x|bxa，则B=(A. 6 B. 56 C. 6或56 D. 23【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法先解出不等式，得出和b的值，再利用正弦定理得出sinB的值，结合大边对大角定理，可求出B的值【详解】不等式x2-(3+3)x+330即(x-3)(x-3)0，解此不等式可得3x3，所以，a=3，b=3，由正弦定理可得bsinB=asinA，所以，sinB=bsinAa=3sin33=12，ba，所以B4-k，c=5+k，e=5+k3=45，解得k=1925；当椭圆的焦点在y轴上时，a2=4-k，b2=9，4-k9，c=-k-5，e=-k-54-k=45，解得k=-21k=-21或1925，故选D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及离心率公式的应用，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题7.长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为A. 1010 B. 3010 C. 21510 D. 31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，BC1(1,0,2)，AE(1，2,1)cosBC1，AE3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.8.设不等式组x-30x+y3y2表示的可行域与区域关于原点对称，若点P(x,y)，则3x-y的最大值为()A. -5 B. -1 C. 1 D. 9【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用对称性求出区域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】根据条件作出不等式组对应的平面区域如图：则三角形ABC是对应区域，设z=3x-y则y=3x-z，平移直线y=3x-z,由图象知当直线y=3x-z经过点C(-1,-2)时，直线y=3x-z的截距最小，此时最大，最大值为z=-3-(-2)=-1，故选B【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若sinB-sinAsinC=2a+ca+b，则角B的大小为A. 4 B. 34 C. 3 D. 23【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化sinB-sinAsinC=2a+ca+b为三边关系，再由余弦定理求出cosB的值，从而求出角B的大小【详解】ABC中，sinB-sinAsinC=2a+ca+b，由正弦定理得，b-ac=2a+ca+b；b2-a2=2ac+c2，即c2+a2-b2=-2ac；由余弦定理得，cosB=c2+a2-b22ac=-2ac2ac=-22；又B(0,)，角B的大小为34故选B【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，属于中档题解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到10.正项等比数列an中，a2018=a2017+2a2016，若aman=16a12，则4m+1n的最小值等于A. 32 B. 1 C. 53 D. 136【答案】A【解析】【分析】设正项等比数列an的公比为q0，由a2018=a2017+2a2016，解得q；由aman=16a12，利用等比数列的通项公式可得m+n=6.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得结果【详解】设正项等比数列an的公比为q0，a2018=a2017+2a2016，q2=q+2，解得q=2aman=16a12，a12qm+n-2=16a12，m+n-2=4，即m+n=6则4m+1n=16(m+n)(4m+1n)=16(5+4nm+mn)16(5+24nmmn)=32，当m=2n时，等号成立，所以4m+1n的最小值等于32，故选A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的求最值，属于综合题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则AECF=(A. 0 B. -2 C. 2 D. -3【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用AB、AC与CA、CD表示出向量AE与CF，利用数量积的运算法则求解即可求【详解】如图所示，棱长为2的正四面体ABCD中，因为E,F分别是BC,AD的中点，所以AECF=12(AB+AC)12(CA+CD)=14(ABCA+ABCD+ACCA+ACCD)=14(22cos120+22cos90+22cos180+22cos120)=-2，故选B【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式ab=abcos；二是向量的平方等于向量模的平方a2=a2.12.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0)，圆F：(x-c)2+y2=c2，直线l与双曲线C的一条渐近线垂直且在x轴上的截距为23a.若圆F被直线l所截得的弦长为423c，则双曲线的离心率为A. 43 B. 53 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】设直线方程为y=-ab(x-23a)，利用圆F被直线所截得的弦长为423c，可得圆心到直线的距离d=|acb-2a23b|a2b2+1=c2-(223c)2，结合c2=a2+b2性质，即可求出双曲线的离心率【详解】双曲线C：x2a2-y2b2=1的一条渐近线y=bax,设与该渐近线垂直且在x轴上的截距为23a的直线方程为y=-ab(x-23a)，即abx+y-2a23b=0，圆F被直线所截得的弦长为423c，圆心到直线的距离d=|acb-2a23b|a2b2+1=c2-(223c)2，e2-3e+2=0，e1，e=2，故选C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c，从而求出;构造a,c的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题p：若x0，则2x1，那么命题p的否命题为_【答案】若x0，则2x1【解析】【分析】直接利用否命题的定义，对原命题的条件与结论都否定即可得结果【详解】因为命题p：若x0，则2x1，所以否定条件与结论后，可得命题p的否命题为若x0，则2x1，故答案为若x0，则2x1，【点睛】本题主要考查命题的否命题，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题14.已知数列an中，an=2n，Sn表示数列an的前n项和，若1S1+1S2+1Snm恒成立，则m的取值范围是_【答案】1,+)【解析】【分析】由an=2n，利用等差数列的求和公式可得Sn=n(n+1)，再利用裂项相消求和方法，结合不等式恒成立即可得结果【详解】因为an=2n，所以Sn=n(2+2n)2=n(n+1)，Sn=1n(n+1)=1n-1n+11S1+1S2+1Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+111S1+1S2+1Sn|BF|)，点A，B在准线上的投影分别为A，B且AFA=60，则AFA的面积与BFB的面积比值为_【答案】9【解析】【分析】画出图形，利用已知条件，根据抛物线的定义可判断BFB是底角为30的等腰三角形，腰长为2p3，AFA为边长为2p的正三角形，求解AFA的面积与BFB的面积，从而可得结果【详解】由抛物线定义可得BF=BB，所以BFB=BBF，又因为BFO=BBF,所以 BFB=BFO，同理可得AFA=AFO,由正三角形的性质可得AFA=AFO=60，所以BBF=BFO=BFB=1260=30，则FB=FOcos30=pcos30=23p3，所以BF=2p3，BFB的面积：122p323p3sin30=3p29AF=AF=2FO=2p，AFA的面积：34(2p)2=3p2，则AFA的面积与BFB的面积比值为9，故答案为9【点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意应用：抛物线上任一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知an是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列bn满足b1=4，b4=20，且bnan是等比数列.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和.【答案】（1）an=3n(n=1,2,)，bn=3n+2n1(n=1,2,)；（2）32n(n+1)+2n1【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列bn前n项和。试题解析：（）设等差数列an的公差为d，由题意得d= 3an=a1+（n1）d=3n设等比数列bnan的公比为q，则q3=8，q=2，bnan=（b1a1）qn1=2n1， bn=3n+2n1（）由（）知bn=3n+2n1， 数列3n的前n项和为n（n+1），数列2n1的前n项和为1= 2n1，数列bn的前n项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和。【此处有视频，请去附件查看】18.已知条件p：实数x满足(x-a)(x-3a)0；条件q：实数x满足x2-5x+60(1)若a=1且“pq”为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分条件，求实数a的取值范围【答案】(1) 实数x的取值范围是2x3；(2) 实数a的取值范围是1a2.【解析】【分析】(1)若a=1，根据一元二次不等式的解法求出命题p，q的等价条件，再求交集，即可求实数x的取值范围；(2) 根据一元二次不等式的解法求出命题p，q的等价条件，利用q是p的充分条件，由包含关系列不等式组，即可求实数的取值范围【详解】(1)若a=1，不等式为(x-a)(x-3a)0为：(x-1)(x-3)0，解得1x3，即p：1x3；由x2-5x+60得(x-3)(x-2)0，则2x3，即q：2x3，若pq为真，则p，q同时为真，即2x31x3，解得2x3，实数x的取值范围是2x3；(2)由x2-4ax+3a20，得(x-a)(x-3a)0，则不等式的解为ax3a，q：2x0，且3a3a2，即1a2，实数a的取值范围是1a2【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及一元二次不等式的解法，是中档题若x1x2，则xx1xx20的解集是,x1x2,+.19.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=233asinB，A为锐角(1)若a=3，b=6，求角B；(2)若SABC=32，b+c=3，bc，求b，c【答案】(1)B=4;(2)b=2，c=1.【解析】【分析】(1)将a=3，b=6，代入b=233asinB，计算得出sinB=22，根据ab可知B为锐角，从而得出B的值；(2)由b=233asinB利用正弦定理将边化角，得出sinA，利用面积公式得出bc，结合b+c=3，解方程组得出b、c的值【详解】(1)b=233asinB，6=2333sinB，sinB=22，A是锐角，ab，BAc，b=2，c=1【点睛】本题考查了正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点(1)求证：PB/平面AEC；(2)求二面角E-AC-B的大小【答案】（1）见解析（2）135【解析】试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角试题解析：PA平面ABCD，AB，AC平面ABCD，PAAC，PAAB，且ACAB，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系（1）D(1,-2,0)，P(0,0,2)，E(12,-1,1)，AE=(12,-1,1)，AC=(1,0,0)，设平面AEC的法向量为n1=(x,y,z)，则12x-y+z=0x=0，取y=1，得n1=(0,1,1)又B(0,2,0)，所以PB=(0,2,-2)，PBn1=2-2=0，PBn，又PB平面AEC，因此，PB平面AEC（2）平面BAC的一个法向量为AP=(0,0,2)，由（1）知，平面AEC的法向量为n1=(0,1,1)，设二面角E-AC-B的平面角为（为钝角），则cos=-|cos|=-|n1n2|n1|n2|=-12=-22，得：=135所以二面角E-AC-B的大小为13521.一个生产公司投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元，该公司通过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的利润提高了0.5x%；若将少用的x万元全部投入B生产线，每万元创造的利润为1.5(a-131000x)万元，其中a0(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；(2)若生产线B的利润始终不高于技术改进后生产线A的利润，求a的最大值【答案】（1）0x300 （2）5.5【解析】【分析】（1）分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可.（2）中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离求最值从而得参数范围.【详解】（1）由题意得：1.5500-x1+0.5x%1.5500,整理得：x2-300x0故00，ax125+500x-32又x125+500x4，当且仅当x=250时等号成立，0b0)的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为22，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，ABF2的周长为42(1)求椭圆C的方程；(2)当ABF2的面积最大时，求l的方程【答案】(1)x22+y2=1；(2)x=1.【解析】试题分析：1根据椭圆定义及ABF2的周长为42得出a=2，利用e=ca知c=ea=1，求出b2=1，进而得到椭圆C的方程；2将三角形分割，以F1F2为底，A、B两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果解析：（1）由椭圆的定义知4a=42，a=2由e=ca知c=ea=1b2=a2-c2=1所以椭圆的方程为（2）由（1）知，设，联立与得到，当时，最大为，点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程
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