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专题21 抛物线 一、基础过关题1.（2018全国卷III）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【答案】【解析】依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，联立消去得，设，则，.又，.2(2017昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果12，那么抛物线C的方程为( )Ax28y Bx24yCy28x Dy24x【答案】 C 3已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1 Cx2 Dx2【答案】 B【解析】 y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.4已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )A4 B4 Cp2 Dp2【答案】 A 5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为( ) Ay29xBy26xCy23xDy2x【答案】 C【解析】 如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1， 6抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】 B【解析】 抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过P作PN垂直直线x1于N，由抛物线的定义可知|PF|PN|，连接PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA，故选B. 7设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|_.【答案】 12 8已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p_.【答案】 2【解析】 如图， 由AB的斜率为，知60，又，M为AB的中点过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30，|BP|AB|BM|.M为焦点，即1，p2.9已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.【答案】 6【解析】 抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.设椭圆方程为1(ab0)，由题意，c2，可得a4，b216412.故椭圆方程为1.把x2代入椭圆方程，解得y3.从而|AB|6. 10(2016沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x【答案】 C 2.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_【答案】 (2,4)【解析】 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条 3设P，Q是抛物线y22px(p0)上相异两点，P，Q到y轴的距离的积为4，且0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值【答案】(1)该抛物线的方程为y22x；(2) |PR|最小值为4.【解析】(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，0，则x1x2y1y20.又点P，Q在抛物线上，y2px1，y2px2，代入得12y1y20，y1y24p2，|x1x2|4p2.又|x1x2|4，4p24，p1，抛物线的标准方程为y22x.(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为xmya，联立方程组消去x得y22my2a0，设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR的方程为xnyb，并设R(x3，y3)，同理可知，由可得.由题意得，Q为线段RT的中点，y32y2，b2a.又由(1)知，y1y24，代入，可得2a4，a2，b4，y1y38，|PR|y1y3|24.当n0，即直线PR垂直于x轴时，|PR|取最小值4.4.如图，由部分抛物线：y2mx1(m0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点(3,2)和(，) (1)求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1)和Q(0，1)，过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于A，P，B三点，问是否存在这样的直线l，使得QP平分AQB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【答案】(1) 黄金抛物线C的方程为y2x1(x0)和x2y21(x0)；(2) 存在直线l：y(1)x1，使得QP平分AQB. (2)假设存在这样的直线l，使得QP平分AQB，显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：ykx1，联立消去y，得k2x2(2k1)x0，xB，yB，即B(，)，kBQ，联立消去y，得(k21)x22kx0，xA，yA，即A(，)，kAQ，QP平分AQB，kAQkBQ0，0，解得k1，由图形可得k1应舍去，k1，存在直线l：y(1)x1，使得QP平分AQB.5. （2018高考北京卷19）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（）求直线l的斜率的取值范围；（）设O为原点，求证：为定值 （）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（I）知，直线PA的方程为y2=令x=0，得点M的纵坐标为同理得点N的纵坐标为由，得，所以所以为定值 6（2018高考浙江卷21）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上 （）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（）若P是半椭圆x2+=1(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围 （）由（）可知所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是点评本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。
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