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提分专练(六)特殊四边形相关的计算与证明(18年 21题,17年 20题)|类型1|平行四边形的判定+线段长度1.xx通州一模 如图T6-1,四边形ABCD的对角线ACBD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且FCA=90,CBF=DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分DBF,F=45,BD=2,求AC的长.2.xx石景山二模 如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若BEC=90,ABE=30,AB=3,求ED的长.3.xx西城一模 如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且ADE=BAD,AEAC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.4.xx房山一模 如图T6-4,在ABC中,ACB=90,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若B=30,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2|菱形的判定+线段长度5.xx顺义一模 如图T6-5,在四边形ABCD中,ADBC,A=90,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.xx平谷一模 如图T6-6,在ABCD中,BF平分ABC交AD于点F,AEBF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若ABC=60,AB=4,AF=2DF,求CF的长.7.xx门头沟一模 如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.8.xx西城一模 如图T6-8,在ABD中,ABD=ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cosABD=35,求BD的长.|类型3|菱形的判定+图形面积9.xx延庆一模 如图T6-9,RtABC中,ABC=90,点D,F分别是AC,AB的中点,CEDB,BEDC.图T6-9(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.10.xx大兴一模 如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.图T6-10(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若BAC=30,AC=4,求菱形OCED的面积.11.xx怀柔一模 直角三角形ABC中,BAC=90,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CEAD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.图T6-11(1)求证:ACB=DCE;(2)若BAD=45,AF=2+2,过点B作BGFC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.12.xx海淀一模 如图T6-12,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AEBD,BEAC,OE=CD.图T6-12(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是时,四边形AOBE的面积最大,最大值是.|类型4|矩形的判定+线段计算13.xx石景山一模 如图T6-13,在四边形ABCD中,A=BCD=90,BC=CD=210,CEAD于点E.图T6-13(1)求证:AE=CE;(2)若tanD=3,求AB的长.14.xx丰台一模 已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形AEFC为矩形;(2)连接DE交AB于点G,如果DEAB,AB=4,求DE的长.图T6-1415.xx通州一模 如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DBAB,点E是BC边的中点,过点E作EFCD,垂足为F,交AB的延长线于点G.图T6-15(1)求证:四边形BDFG是矩形;(2)若AE平分BAD,求tanBAE的值.16.xx朝阳一模 如图T6-16,在ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.图T6-16(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=52,求cosAED的值.参考答案1.解:(1)证明:ACBD,FCA=90,BDCF.CBF=DCB,DCBF.四边形DBFC是平行四边形.(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,CF=BD=2.过点C作CHBF于点H,F=45,CH=2.BC平分DBF,CH=CE=2,AB=BC,BDAC,AC=2CE=22.2.解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,A=CDF=90,AB=DC,AD=BC.在RtBAE和RtCDF中,AB=DC,BE=CF,RtBAERtCDF.1=F.BECF.又BE=CF,四边形EBCF是平行四边形.(2)在RtBAE中,2=30,AB=3,AE=ABtan2=1,BE=ABcos2=2,3=60.在RtBEC中,BC=BEcos3=2cos60=4.AD=BC=4.ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)证明:ADE=BAD,ABED.BD垂直平分AC,垂足为F,BDAC,AF=FC.又AEAC,EAC=DFC=90,AEBD,四边形ABDE是平行四边形.(2)如图,连接BE交AD于点O.DA平分BDE,ADE=1.又ADE=BAD,1=BAD,AB=BD,ABDE是菱形.ADBE.AB=5,AD=6,BD=AB=5,OA=12AD=3.在RtOAB中,OB=AB2-OA2=4.SABD=12ADOB=12BDAF,64=5AF,解得AF=4.8.BD垂直平分AC,AC=2AF=9.6.4.解:(1)证明:D,E分别是BC,AB的中点,DE为ABC的中位线,DEAC,AC=2DE.又EF=2DE,EF=AC,四边形ACEF为平行四边形,AF=CE.(2)ACB=90,ABC=30,AC=2,BC=23,DE=1,EDB=90.D为BC中点,BD=3.又EF=2DE,EF=2.DF=3.在RtBDF中,由勾股定理得BF=BD2+DF2=23.5.解:(1)证明:BD=BC,E是CD的中点,1=2.ADBC,2=3,1=3,BD=DF.BD=BC,DF=BC.又DFBC,四边形BCFD是平行四边形.又BD=BC,BCFD是菱形.(2)A=90,AD=1,BD=BC=2,AB=BD2-AD2=3.四边形BCFD是菱形,DF=BC=2,AF=AD+DF=3,BF=AB2+AF2=3+9=23.6.解:(1)证明:BF平分ABC,ABF=CBF.ABCD,ADBC.AFB=CBF.ABF=AFB.AB=AF.AEBF,ABF+BAO=CBF+BEO=90.BAO=BEO.AB=BE.AF=BE.四边形ABEF是平行四边形.ABEF是菱形.(2)AD=BC,AF=BE,DF=CE.BE=2CE.AB=4,BE=4.CE=2.过点A作AGBC于点G.ABC=60,AB=BE,ABE是等边三角形.BG=GE=2.AF=CG=4.四边形AGCF是平行四边形.AGCF是矩形.AG=CF.在RtABG中,ABC=60,AB=4,AG=23.CF=23.7.解:(1)证明:EF是AC的垂直平分线,AO=OC,AOE=COF=90,四边形ABCD是矩形,ADBC,EAO=FCO.在AEO和CFO中,EAO=FCO,AO=CO,AOE=COF,AEOCFO(ASA),OE=OF.又OA=OC,四边形AECF是平行四边形,又EFAC,平行四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,EF是AC的垂直平分线,AF=CF=x,BF=8-x,在RtABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,AF=5,菱形AECF的周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.AOB=90.理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.在ABD中,ABD=ADB,AB=AD,BC=DC=AD=AB,四边形ABCD为菱形,ACBD,AOB=90.(2)四边形ABCD为菱形,OB=OD.在RtABO中,AOB=90,AB=5,cosABD=35,OB=ABcosABD=3,BD=2OB=6.9.解:(1)证明:CEDB,BEDC,四边形DBEC是平行四边形.在RtABC中,D是AC的中点,ABC=90,BD=DC,四边形DBEC是菱形.(2)F是AB的中点,D是AC的中点,BC=2DF=2,AFD=ABC=90,在RtAFD中,AF=AD2-DF2=32-1=22.SDBC=12BCBF=12222=22,S菱形DBEC=2SDBC=42.10.解:(1)证明:DE=OC,CE=OD,四边形OCED是平行四边形.四边形ABCD是矩形,AC=BD,OC=12AC,OD=12BD.OC=OD.平行四边形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,ABC=90,BAC=30,AC=4,BC=2.AB=DC=23.如图,连接OE,交CD于点F.四边形OCED为菱形,F为CD中点.O为BD中点,OF=12BC=1.OE=2OF=2.S菱形OCED=12OECD=12223=23.11.解:(1)证明:AB=AD,ABD=ADB.ADB=CDE,ABD=CDE.BAC=90,ABD+ACB=90.CEAE,DCE+CDE=90.ACB=DCE.(2)补全图形,如图所示:BAD=45,BAC=90,BAE=CAE=45,F=ACF=45.AECF,BGCF,ADBG.BGCF,BAC=90且ACB=DCE,AB=BG.AB=AD,BG=AD,四边形ABGD是平行四边形.AB=AD,平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,BF=2BG=2x.AB+BF=x+2x=2+2,x=2.过点B作BHAD于H,BH=22AB=1.S四边形ABGD=ADBH=2.12.解:(1)证明:AEBD,BEAC,四边形AEBO是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形,DC=AB.OE=CD,OE=AB.平行四边形AEBO是矩形.BOA=90,ACBD,平行四边形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)证明: (法一)过点B作BHCE于H,如图.CEAD,BHC=CED=90,1+D=90.BCD=90,1+2=90,2=D.又BC=CD,BHCCED.BH=CE.BHCE,CEAD,A=90,四边形ABHE是矩形,AE=BH.AE=CE.(法二)过点C作CHAB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)四边形ABHE是矩形,AB=HE.在RtCED中,tanD=CEDE=3,设DE=x,CE=3x,CD=10x=210.x=2.DE=2,CE=6.CH=DE=2.AB=HE=6-2=4.14.解:(1)证明:BF=BA,BE=BC,四边形AEFC为平行四边形.四边形ABCD为菱形,BA=BC,BF=BE.BA+BF=BC+BE,即AF=EC.四边形AEFC为矩形.(2)连接DB.由(1)知,ADEB,且AD=EB,四边形AEBD为平行四边形.DEAB,四边形AEBD为菱形.AE=EB,AB=2AG,ED=2EG.矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,AG=2,AE=4.RtAEG中,EG=23.ED=43.15.解:(1)证明:BDAB,EFCD,ABD=90,EFD=90.在ABCD中,ABCD,BDC=ABD=90,BDGF.四边形BDFG为平行四边形.又BDC=90,四边形BDFG为矩形.(2)AE平分BAD,BAE=DAE.ADBC,BEA=DAE,BAE=BEA,BA=BE.在 RtBDC中,点E为BC边的中点,BE=ED=EC.又在ABCD中,AB=CD,ECD为等边三角形,C=60,BAE=12BAD=30,tanBAE=33.16.解:(1)证明:AEBC,BEAD,四边形ADBE是平行四边形.AB=AC,AD是BC边的中线,ADBC.即ADB=90.四边形ADBE为矩形.(2)在矩形ADBE中,AO=52,AB=DE=5.D是BC的中点,BC=8,DB=4,AE=4.在RtAED中,cosAED=AEDE=45.
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