2019-2020年高考数学模拟试卷分项第02期专题08立体几何.doc

2019-2020年高考数学模拟试卷分项第02期专题08立体几何一、选择题1【xx四川德阳三校联考】已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】A2【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为，故选A。3【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知， ， 是三条直线， 是一个平面，下列命题中正确命题的个数是（ ）若，则与相交；若，则内有无数条直线与平行；若， ， ， ，则；若， ， 则.A. B. C. D. 【答案】C【解析】正确；正确；若，则存在不垂直于，错误；正确，所以正确的有3个，故选C。4【xx福建四校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解5【xx河南中原名校联考】一个几何体的三视图如图所示：其中，正（主）视图中的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 4【答案】B6【xx广西贺州桂梧高中联考】有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为60，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的（ ）A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍【答案】C【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为，则.圆锥的母线与底面所成角为60，圆锥的高为，母线长，圆锥的侧面积为.， .选C。【点睛】熟练掌握圆锥的侧面积公式（其中是母线长，r是底面半径）和圆柱的表面积公式（其中是母线长，r是底面半径）是解本题的键。7【xx广西贺州桂梧高中联考】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. 8 C. D. 12【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，故其体积为 .选C.8【xx河南漯河高中三模】已知长方体的全面积为，十二条棱长度之和为，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C9【xx江西宜春六校联考】已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A计算可得： ,则为外接球的球心，半径为，该四棱锥的外接球的表面积为.本题选择A选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10【xx东北名校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.11【xx东北名校联考】已知正四棱锥中， 分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】12【xx云南昆明一中摸底】一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、左视图和俯视图均为边长等于的正方形，这个几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为的正方形的内部挖去一个底面为边长为的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为， ，故选D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.13【xx河南名校联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A14【xx河南名校联考】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则 （ ）A. 若，则B. 若，则C. “直线与平面内的无数条直线垂直”上“直线与平面垂直”的充分不必要条件D. 若，则【答案】D15【xx辽宁凌源二中联考】已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】结合三视图可知，该几何体是一个半圆柱与一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成的组合体，其体积为：.本题选择D选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解16【xx广东德清中学一模】设，是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：若l，则l； 若l，则l；若l，则l ； 若l，则l.其中说法正确的个数为()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C17【xx福建高三基地总复习试卷】已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且， ，则球面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图,设球的半径为r,O是ABC的外心，外接圆半径为R，则OO面ABC.在RtACD中, 则.在ABC中,由正弦定理得，即OC=.再中， ，得.故选C.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.二、填空题18【xx河南中原名校联考】如图，长方体的三个面的对角线， ， 的长分别是3，2，3，则该长方体的外接球的表面积为_【答案】19【xx河北衡水武邑中学三调】在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_【答案】【解析】由题意，MC为球O的直径，MC=2，球O的半径为，球O的表面积为43=12，内切球的半径设为， 得到 内切球的体积为 ，故结果为.点睛：这个题目考查了四面体的外接球和内切球的体积问题，外接球是放到长方体中计算，用的是补体法；内切球用的是体积分割，将四面体分割成了4个小的棱锥，高都是内切球的半径，从而计算出内切球的半径。20【xx广西南宁摸底联考】如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是_（将符合题意的选项序号填到横线上）.所在平面；所在平面；所在平面；所在平面.【答案】21【xx广西柳州摸底联考】如图所示，在四面体中，若截面是正方形，则下列命题中正确的是_(将所有正确答案序号填写到横线上)；截面；异面直线与所成的角为【答案】二、解答题22【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图1，矩形中， ，将沿折起，得到如图所示的四棱锥，其中.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）在图2中取的中点，连接， .由条件可知图1中四边形为正方形，则有，且可求得.在中， ， ， ，由余弦定理得.在中， ，所以，即.由于， 平面， 且， ，所以平面.又平面，故平面平面.由（1）得平面，可求得点坐标为，所以， ，设平面的法向量为，由及得令，由此可得.由于， ，设平面的法向量为，由及得令，由此可得所以则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.23【xx福建四校联考】如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD=2，AB=4，ADF=90（）求证：ACFB（）求二面角EFBC的大小【答案】（）见解析；（） .试题解析：（）证明：由题意得，ADDC，ADDF，且DCDF=D，AD平面CDEF，ADFC，四边形CDEF为正方形DCFC由DCAD=D FC平面ABCD，FCAC又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD=2，AB=4， ，则有AC2+BC2=AB2ACBC由BCFC=C，AC平面FCB，ACFB（）解：由（I）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（）知平面FCB的法向量为， 设平面EFB的法向量为则有即令则设二面角EFBC的大小为，有图易知为锐角所以二面角EFBC的大小为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角24【xx广西贺州桂梧高中联考】如图，在四棱锥中， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，且.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2) 试题解析：（1）证明： 是以为斜边的等腰直角三角形，.又， ，平面，则，又， ，平面，又平面，平面平面.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，则， ，设是平面的法向量，则，即，令得.由（1）知，平面的一个法向量为，.由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时cos ；由图形知二面角是钝角时，cos .当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)25【xx黑龙江齐齐哈尔一模】如图所示，正三棱柱的底面边长为2， 是侧棱的中点.（1）证明:平面平面；（2）若平面与平面所成锐角的大小为，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）试题解析：解：（1）如图，取的中点， 的中点，连接，易知又，四边形为平行四边形，.又三棱柱是正三棱柱，为正三角形，.又平面，,而，平面.又，平面.又平面，所以平面平面（2）（方法一）建立如图所示的空间直角坐标系，显然平面的一个法向量为， 所以，即.所以.（方法二）如图，延长与交于点,连接., 为的中点，也是的中点, 又是的中点,.平面,平面.为平面与平面所成二面角的平面角.所以,. 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.26【xx河南漯河中学三模】如图，四边形和四边形均是直角梯形， 二面角是直二面角， .（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）试题解析：（1）证明：由已知得平面平面，所以平面，同理可得平面，又,所以平面平面,设平面平面，则过点，因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，即在平面上一定存在过点的直线，使得.如图，由已知得,所以,设平面的法向量为，则，不妨设，则，不妨取平面的一个法向量为，所以，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.【点睛】熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、以及利用空间向量可求二面角是解题的关键27【xx北京大兴联考】如图，在三棱柱中，平面平面，四边形为菱形，点是棱上不同于， 的点，平面与棱交于点， ， ， （）求证： 平面；（）求证： 平面；（）若二面角为，求的长【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .试题解析：（）因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以 . 又因为平面， 平面，所以平面. （）因为，所以， 又因为平面平面，所以平面. 所以 . 因为四边形为菱形，所以 . 所以平面. 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则 所以， ， ， . 设，（ ） ， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， .所以. 由（）知， 是平面的一个法向量.则因为二面角为，. 解得，或（舍）. 所以，即的长为. 【点睛】在处理空间角（异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角），往往利用空间向量进行处理，即先合理建立空间直角坐标系，求出相应直线的方向向量和有关平面的法向量，再利用有关公式进行求解.28【xx东北名校联考】如图，三棱柱中， 平面，且.（1）求证： ；（2）若为的中点，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）试题解析：（1）平面，所以,(2)过点作，因为平面，所以平面，平面的法向量，平面 的法向量，所以，设二面角 的平面角为，由图知锐角，所以点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键29【xx河北衡水武邑中学三调】在五面体中， , , ，平面平面.(1)证明:直线平面；(2)已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.【答案】（1）证明见解析；（2）点在靠近点的的三等分点处.试题解析：（1）四边形为菱形， ， 平面平面，平面平面平面，又直线平面.是平面的法向量， ，设，则，设平面的法向量为， ，令，则， ， 二面角为， ，解得， 在靠近点的三等分处.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.30【xx山西两校联考】如图所示，在中，斜边，将沿直线旋转得到，设二面角的大小为.（1）取的中点，过点的平面与分别交于点，当平面平面时，求的长（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）因为平面平面,平面平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以为的中点.同理可证： 为的中点.所以.在中，斜边,可知： ,即,所以.在中， ，所以.所以.所以.设平面的一个法向量为，则可得令可得.易知： 平面.所以.所以二面角的余弦值为.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.31【xx广西南宁摸底联考】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，.（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2).试题解析：（1）在上取一点，使，连接，.，.为平行四边形.即.又平面，直线平面.（2）取中点，底面是菱形，.，即.又平面，.又，直线平面.故相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.32【xx云南昆明一中一模】如图，在直三棱柱中， ， ，点分别为的中点.（1）证明： 平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接， ，点， 分别为， 的中点，可得为 的一条中位线， ，由线面平行的判定定理可得结论；（2）先利用勾股定理证明，由题意以点 为坐标原点， 为轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果； 所以平面. （2）设，则， ，由，得，解得，由题意以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.可得，故， ， ，设为平面的一个法向量，则，得，同理可得平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，所以，二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.33【xx广西柳州摸底联考】如图 ，在四棱锥中， , ， 为棱的中点， .（1）证明： 平面；（2）若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）试题解析：（1）证明：由已知， ，又，即，且 ，平面 .（2）平面 ，为二面角的平面角，从而.如图所示，在平面内，作， 以为原点，分别以所在直线为轴， 轴建立空间直角坐标系，34【xx河南名校联考】如图，在三棱柱中， 平面，点是与的交点，点在线段上， 平面.（1）求证： ；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；(2) .试题解析：1）如图，连接，因为平面平面，所以.因为为的中点，所以为的中点.因为，由平面平面，得，又是平面所以内的两条相交直线，得平面，因为平面，所以.(2)令，则，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，得，设是平面的一个法向量，则，令，得，又,设直线与平面所成的角为，则.35【xx江西南昌摸底】如图，在四棱锥中， ， ， 平面， .设分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）证明：、分别为， 的中点， 则又平面， 平面，平面在中， ， ，又，平面， 平面，平面，又，平面平面 （2）平面，平面平面，又，平面平面，平面，36【xx贵州黔东南州联考】如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形， 为正三角形，且分别为的中点， 平面， 平面（1）求证： 平面；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）证明：因为平面， 平面，所以，又平面平面，所以平面，由四边形菱形，得，所以平面（2）解：以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，则，则点，设平面的法向量为，则由，解得，不妨令，得；又，所以与平面所成角的正弦值为37【xx河南洛阳联考】如图，在直角梯形中， 点是边的中点，将沿折起，使平面平面,连接得到如图所示的几何体.（1）求证; 平面；（2）若二面角的平面角的正切值为求二面角的余弦值.【答案】（I）详见解析；（II）.1.建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，求得平面的法向量和平面的法向量，则问题可求：2.利用相关的立体几何知识，证明二面角的平面角为，然后利用面几何知识求得二面角的余弦值为. 试题解析：() 因为平面平面，平面平面， 又，所以平面. 因为平面，所以. 又因为折叠前后均有， , 所以平面. 解得，故. 法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则, , ， ， 所以， .由（）知平面的法向量. 设平面的法向量由得令，得,所以. 所以. 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 由平面几何知识求得， ， 所以. 所以cos=. 所以二面角的余弦值为.