北师大数学北师大版九上期中卷（3）教案

北师九年级（上）期中数学试卷关注“初中教师园地”公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1下列说法正确的有（）个菱形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；有两个角是直角的四边形是矩形；正方形既是菱形又是矩形；矩形的对角线相等且互相垂直平分A1B2C3D42关于方程x22=0的理解错误的是（）A这个方程是一元二次方程B方程的解是C这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D这个方程可以用公式法求解3一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（）A15B10C4D34关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A不存在B4C0D0或45如图在ABC中，DEFGBC，AD：AF：AB=1：3：6，则SADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=（）A1：8：27B1：4：9C1：8：36D1：9：366如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为（）A8BCD7如图，ABCD是正方形，E是边CD上（除端点外）任意一点，AMBE于点M，CNBE于点N，下列结论一定成立的有（）个ABMBCN；BCNCEN；AMCN=MN；M有可能是线段BE的中点A1B2C3D48在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将邻边边长为5和8的矩形按图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似乙：将边长5、12、13的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对B两人都不对C甲对、乙不对D甲不对，乙对二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9若=，（a+c+e0），则=10已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是11袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3，绿色卡片两张，标号分别为1，2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的标号之和小于4的概率为12方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是13如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，），则点E的坐标是14如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为三、作图题（本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分）15（10分）已知ABC，作DEF，使之与ABC相似，且=4要求：（1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法（2）简要叙述作图依据四、解答题（本题共5小题，满分68分）16（16分）计算（1）用两种不同方法解方程：x232x=0（2）解方程：x2=2x；（3）解方程：3+2x2x=017（12分）某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表（单位：人）：参加美术社团未参加美术社团参加音乐社团65未参加音乐社团420（1）从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学A1、A2、A3、A4，两名女同学B1、B2，现从这4名男同学和两名女同学中个随机选取1人，求A1未被选中但B1被选中的概率18（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、BN的中点（1）求证：DM=BN；（2）四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；（3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由19（12分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元20（16分）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0t3），解答下列问题：（1）如图，连接PC，当t为何值时APCACB，并说明理由；（2）如图，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1下列说法正确的有（）个菱形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；有两个角是直角的四边形是矩形；正方形既是菱形又是矩形；矩形的对角线相等且互相垂直平分A1B2C3D4【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答【解答】解：菱形的对角线不一定相等，故错误；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；正方形既是菱形又是矩形，故正确；矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；故选：A【点评】本题考查了菱形和矩形的判定与性质注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊的菱形2关于方程x22=0的理解错误的是（）A这个方程是一元二次方程B方程的解是C这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D这个方程可以用公式法求解【考点】解一元二次方程-公式法；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可【解答】解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B【点评】本题主要考查一元二次方程的定义和解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键3一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（）A15B10C4D3【考点】利用频率估计概率【分析】因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可【解答】解：根据题意得：220%=10（个），答：可以估算a的值是10；故选B【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题4关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）A不存在B4C0D0或4【考点】根的判别式【分析】根据方程有两个相等的实数根即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值【解答】解：方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，=m24m=0，解得：m=0或m=4故选D【点评】本题考查了根的判别式，由方程有两个相等的实数根找出关于m的一元二次方程是解题的关键5如图在ABC中，DEFGBC，AD：AF：AB=1：3：6，则SADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB=（）A1：8：27B1：4：9C1：8：36D1：9：36【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由DEFGBC，可得ADEAFGABC，又由AD：AF：AB=1：3：6，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得SADE：SAFG：SABC=1：9：36，然后设ADE的面积是a，则AFG和ABC的面积分别是9a，36a，即可求两个梯形的面积，继而求得答案【解答】解：DEFGBC，ADEAFGABC，AD：AF：AB=1：3：6，SADE：SAFG：SABC=1：9：36，设ADE的面积是a，则AFG和ABC的面积分别是9a，36a，则S四边形DFGE=SAFGSADE=8a，S四边形FBCG=SABCSAFG=27a，SADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG=1：8：27故选A【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方6如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为（）A8BCD【考点】菱形的性质【分析】连接对角线BD，根据勾股定理求对角线BD=24，由菱形的面积列式得：S菱形ABCD=BCAE=ACBD，代入计算可求AE的长【解答】解：连接BD交AC于O，四边形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC=10=5，AB=13=BC，由勾股定瑆得：OB=12，BD=2OB=24，AEBC，S菱形ABCD=BCAE=ACBD，13AE=1024，AE=，故选C【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形以下的性质是关键：菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四边相等，菱形的面积=两条对角线积的一半=底边高；根据面积法可以求菱形的边或高7如图，ABCD是正方形，E是边CD上（除端点外）任意一点，AMBE于点M，CNBE于点N，下列结论一定成立的有（）个ABMBCN；BCNCEN；AMCN=MN；M有可能是线段BE的中点A1B2C3D4【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】根据AAS可以证明ABMBCN，利用了同角的余角相等；根据两角对应相等，可以证明BCNCEN，因为斜边CE和BE不相等，所以一定不全等；根据中听全等可以得结论；根据正方形的对角线垂直平分可知：当M是线段BE的中点时，E在点D处，而已知中E是边CD上（除端点外）任意一点，所以得出：M不可能是线段BE的中点【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=90，ABM+NBC=90，AMBE于点M，CNBE于点N，AMB=BNC=90，ABM+BAM=90，NBC=BAM，ABMBCN；故正确；BCE=CNE=90，CEN=CEB，CEBE，BCNCEN，故不正确；ABMBCN，AM=BN，BM=CN，MN=BNBM=AMCN，故正确；当M是线段BE的中点时，E在点D处，而已知中E是边CD上（除端点外）任意一点，所以M不可能是线段BE的中点故不正确；所以正确的有：2个，故选B【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定，正方形的性质较多，要熟练掌握：正方形的四边相等，正方形的四个角都是直角，正方形的对角线垂直平分且平分一组对角等；在正方形判定两三角形全等时，经常运用同角的余角相等证明角相等，从而证明两三角形全等8在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将邻边边长为5和8的矩形按图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似乙：将边长5、12、13的三角形按图的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似对于两人的观点，下列说法正确的是（）A两人都对B两人都不对C甲对、乙不对D甲不对，乙对【考点】相似图形【分析】利用位似图形的性质以及相似多边形的判定方法得出即可【解答】解：由题意可得新矩形边长为：7和10，故两矩形不相似，当新三角形的对应边间距离均为1时，则两三角形的对应边平行，且对应点连线相交于一点，故两三角形位似，即相似，故选：D【点评】此题主要考查了相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9若=，（a+c+e0），则=2【考点】比例的性质【分析】根据等比性质，反比性质，可得答案【解答】解：由=，得=，由反比性质，得=2，故答案为：2【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质，反比性质是解题关键10已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是5【考点】一元二次方程的应用；勾股定理【分析】首先设中间的数为x，表示出其余2个数，利用勾股定理求解即可【解答】解：设较小的边长为x则最小的边长为（x1），斜边长为（x+1），（x1）2+x2=（x+1）2，解得x1=0，（不合题意，舍去）x2=4，故斜边长为x+1=5故答案为：5【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程的应用，利用勾股定理得到三边的关系是解决本题的关键11袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3，绿色卡片两张，标号分别为1，2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的标号之和小于4的概率为【考点】列表法与树状图法【分析】从五张卡片中任取两张的所有可能情况，用列举法求得有10种情况，其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，从而求得所求事件的概率【解答】解：从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1绿1，红1绿2，红2红3，红2绿1，红2绿2，红3绿1，红3绿2，绿1绿2其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，红1绿1，红1绿2，红2绿1，故所求的概率为P=；故答案为：【点评】本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题12方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是a且a0【考点】根的判别式【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，解得：a且a0【点评】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键13如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，），则点E的坐标是（3，3）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（0，），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标【解答】解：正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，OA：OD=1：，点A的坐标为（0，），即OA=，OD=3，四边形ODEF是正方形，DE=OD=3E点的坐标为：（3，3）故答案为：（3，3）【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键14如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质【分析】由线段垂直平分线的性质求出AM=CM，在RtDMC中，由勾股定理得出DM2+DC2=CM2，得出方程（6CM）2+32=CM2，求出CM即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，D=B=90，AD=BC=6，AB=DC=3，MN是AC的垂直平分线，AM=CM，DM=ADAM=ADCM=4CM，在RtDMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，（6CM）2+32=CM2，CE=，故答案为：【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于CM的方程三、作图题（本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分）15（10分）已知ABC，作DEF，使之与ABC相似，且=4要求：（1）尺规作图，保留作图痕迹，不写作法（2）简要叙述作图依据【考点】作图相似变换【分析】（1）利用相似三角形的性质得出：DEF的边长与ABC边长的关系进而得出答案；（2）利用相似三角形的性质结合作三角形的方法得出答案【解答】解：（1）如图所示：DEF即为所求；（2）DEFABC，且=4，=，作AB，AC的垂直平分线，进而得出AB，AC的中点，即可得出ED，EF，DF的长【点评】此题主要考查了相似变换以及三角形的做法，正确得出DEF边长变化规律是解题关键四、解答题（本题共5小题，满分68分）16（16分）计算（1）用两种不同方法解方程：x232x=0（2）解方程：x2=2x；（3）解方程：3+2x2x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法【分析】（1）因式分解法和配方法求解可得；（2）因式分解法求解可得；（3）由根的判别式小于0可得答案【解答】解：（1）因式分解法：（x+1）（x3）=0，x+1=0或x3=0，解得：x=1或x=3；配方法：x22x=3，x22x+1=3+1，即（x1）2=4，x1=2，解得：x=1或x=3；（2）x22x=0，x（x2）=0，x=0或x=2；（3）a=2，b=，c=3，=4230，原方程无实数根【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键17（12分）某中学调查了某班全部35名同学参加音乐社团和美术社团的情况，数据如表（单位：人）：参加美术社团未参加美术社团参加音乐社团65未参加音乐社团420（1）从该班任选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加音乐社团，又参加美术社团的6名同学中，有4名男同学A1、A2、A3、A4，两名女同学B1、B2，现从这4名男同学和两名女同学中个随机选取1人，求A1未被选中但B1被选中的概率【考点】列表法与树状图法【分析】（1）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（2）先求基本事件总数，即从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1不被选中，而B1被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可【解答】解：（1）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为6+4+5=15；这是一个古典概型，P（A）=；（2）从4名男同学中任选一个有4种选法，从2名女同学中任选一名有2种选法；从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人的选法有42=8，即基本事件总数为8；设“A1未被选中，而B1被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为3；这是一个古典概型，则P（B）=【点评】主要考查了事件的分类和概率的求法用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比18（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，P、Q分别是DM、BN的中点（1）求证：DM=BN；（2）四边形MPNQ是怎样的特殊四边形，请说明理由；（3）矩形ABCD的边长AB与AD满足什么长度关系时四边形MPNQ为正方形，请说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定MBANDC；（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明MQDNPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形；（3）利用对角线相等的菱形是正方形即可【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，AM=AD，CN=BC，AM=CN，在MAB和NDC中，MBANDC（SAS）；（2）四边形MPNQ是菱形理由如下：连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，易证：ABNBAM，AN=BM，MABNDC，BM=DN，P、Q分别是BM、DN的中点，PM=NQ，在MQD和NPB中，MQDNPB（SAS）四边形MPNQ是平行四边形，M是AD中点，Q是DN中点，MQ=AN，MQ=BM，MP=BM，MP=MQ，平行四边形MQNP是菱形；（3）当AD=2AB时，四边形MQNP是正方形；如图1，连接PQ，PQMNADMN，PQAD，点P是BM的中点，AD=2PQ，AD=2AB，PQ=AB，MN=AB，MN=PQ，由（2）知，四边形MQNP是菱形；菱形MQNP是正方形【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，判断出四边形MQNP是菱形是解本题的关键，属于基础题目19（12分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用【分析】（1）设函数解析式为y=kx+b，将（90，100），（100，80）代入y=kx+b即可；（2）每千克利润乘以销售量即为总利润；根据某月获得的利润等于1350元，求出x的值即可【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（90，100），（100，80）代入y=kx+b得，解得，y与销售单价x之间的函数关系式为y=2x+280（2）根据题意得：w=（x80）（2x+280）=2x2+440x22400=1350；解得（x110）2=225，解得x1=95，x2=125答：销售单价为95元或125元【点评】本题一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数和方程模型，难度不大20（16分）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t（s）（0t3），解答下列问题：（1）如图，连接PC，当t为何值时APCACB，并说明理由；（2）如图，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；（3）如图，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由【考点】相似形综合题【分析】（1）先根据勾股定理求出AB，再用APCACB，得出，即：，求出时间；（2）先用垂直平分线的性质得出QM=CM=CQ=（3t），然后用平行线分线段成比例建立方程求出结论；（3）先由平行四边形的性质建立方程求出时间t，即求出PQ，PB，即可得到PQPB判断出四边形PQGB不可能是菱形【解答】解：（1）在RtACB中，C=90，AC=3cm，BC=3cm，AB=6，由运动知，BP=2t，AQ=t，AP=62t，APCACB，t=；（2）存在，理由：如图，由运动知，BP=2t，AQ=t，AP=62t，CQ=3t，点P是CQ的垂直平分线上，QM=CM=CQ=（3t），AM=AQ+QM=t（3t）=（t1）过点P作PMAC，ACB=90，PMBC，t=或t=（舍），t=（3）不存在，理由：由运动知，BP=2t，AQ=t，AP=62t，假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，PQBG，PQ=BG，APQABC，t=，PQ=，BP=2t=3，PQBP，平行四边形PQGB不可能是菱形即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解本题的关键是用方程的思想解决问题