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一元二次方程的几何应用一、选择题1. （xx贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 -7x+10 = 0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12B. 9C. 13D. 12或9【答案】A【解析】解x2 -7x+10 = 0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为5，底边长为2.该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1. （xx湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为_【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3x6+3，即3x9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2. （xx江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD2AP，则AP的长为_【答案】2，2，【解析】PD2AP，设APx，则PD2x，当P在AD边上时，如解图，AD6，APPD6，x2x6即x2，AP2当P在DC上时，如解图在RtADP中，APPD，PD2AP， 第12题解图 第12题解图当P在BC边上时，如解图，DP最大为6，AP最小为6，PD2AP，当P在AB上时，如解图，在RtADP中，AP2AD2PD2，x262(2x)2，解得x12，x22(舍)，AP2； 第12题解图 第12题解图 第12题解图 第12题解图当P在AC对角线上时，如解图，在RtADC中，AC6，AOAC3，在RtPDO中，PO3x，PD2x，DOAO3，PD2PO2DO2，(2x)2(3)2(3x)2，解得x1，x2(舍)，AP；当P在DB对角线上时，如解图，在RtAPO中，AP2AO2PO2，x2(2x3)2(3)2，整理得：x24x120，(4)24112160，方程无解，综上所述：AP2或2或【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （xx浙江省台州市，16，5分） 如图，在正方形中，点，分别在，上，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为 【答案】【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明BCECDF，一是可以得到BCG是直角三角形，二是可以得到BCG的面积，进而求出；利用勾股定理可以求出，这样就可以求出，因而BCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】在正方形ABCD中，AB=3， ， 阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3， 空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3， ， 四边形ABCD是正方形， BC=CD，BCE=CDF=90 CE=DF, BCECDF(SAS) CBE=DCF,DCF+BCG=90,CBE+BCG=90,即BGC=90，BCG是直角三角形易知，根据勾股定理：，即 ， ， BCG的周长=BG+CG+BC=【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1. （xx浙江杭州，21，10分） 如图，在ABC中，ACB=90，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。（1）若A=28，求ACD的度数；（2）设BC=，AC=线段AD的长度是方程的一个根吗？说明理由；若AD=EC，求的值。【思路分析】（1）先求B,再根据等腰三角形知识求BCD，在用直角求出ACD；（2）根据勾股定理表示出AB，表再示出AD，根据一元二次方程的解表示出的解进行对比；由AD=AE,则可得AD=，从而可列方程求解出比值【解题过程】【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1. （xx湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且，求k值及该菱形的面积【思路分析】（1）只需证明根的判别式0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根；（2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积【解析】解：（1）证明：由题意可知，a1，b（3k3），c，b24ac，0，0，无论k为何值，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可知， ，化简得，解得k2或7，x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x23k3，3k30，k7舍去，k2，该菱形的面积为9【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式2. （xx湖北宜昌，21，8分）如图，在中，. 以为直径的半圆交于点，交于点.延长至点，使,连接.(1)求证:四边形是菱形；(2) 若，求半圆和菱形的面积. (第21题图) 【思路分析】(1)先由，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到，证明四边形是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形是菱形.(2) 设，则，连接，在RtBDA中，,在RtBDA中，,从而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，求出半圆和菱形的面积.【解析】(1)证明：为半圆的直径，,又,四边形是平行四边形.又,（或，）平行四边形是菱形.(3) 解：连接，,设，则， (第21题第2问答图) 为半圆的直径，,在RtBDA中，,在RtBDA中，,或（舍去）,【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.
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