集合的概念及基本运算.pptx

要点梳理1 集合元素的三个特征 2 元素与集合的关系是 或 关系 用符号 或 表示 3 集合的表示法 及 第一编集合与常用逻辑用语 1 1集合的概念及其基本运算 基础知识自主学习 互异性 确定性 无序性 属于 不属于 列举法 描述法 图示法 区间法 4 常用数集 自然数集 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 5 集合的分类 按集合中元素个数划分 集合可分为 6 子集 真子集及其性质 对任意的x A 都有x B 则 或 若A B 且在B中至少有一个元素x B但x A 则 或 若A含有n个元素 则A的子集有 个 非空子集有 个 非空真子集有 个 7 集合相等 N N N Z Q R 有限集 无限集 空集 2n 2n 1 2n 2 8 集合的交 并 补运算 并集A B x x A或x B 交集A B x x A且x B 补集UA x x U且xA U为全集 UA表示A相对于全集U的补集 9 集合的运算性质 并集的性质A A A A A A B B A A B A B A 交集的性质A A A A A B B A A B A A B 补集的性质 基础自测1 2009 天津改编 设全集U A B x N lgx 1 若A UB m m 2n 1 n 0 1 2 3 4 则集合B 解析U A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A UB 1 3 5 7 9 故B 2 4 6 8 2 4 6 8 2 2009 广东改编 已知全集U R 集合M x 2 x 1 2 和集合N x x 2k 1 k 1 2 的关系的韦恩图如图所示 则阴影部分所表示的集合的元素的个数为 解析由题意知M x 1 x 3 则M N 1 3 有两个元素 故答案为2 2 3 2009 山东改编 集合A 0 2 a B 1 a2 若A B 0 1 2 4 16 则a的值为 解析 A 0 2 a B 1 a2 A B 0 1 2 4 16 a 4 故答案为4 4 2009 江西改编 已知全集U A B中有m个元素 UA UB 中有n个元素 若A B非空 则A B的元素个数为 解析因为A B U UA UB 所以A B共有m n个元素 故答案为m n 4 m n 例1 已知集合A x x a a Z B x x b Z C x x c Z 则A B C 用符号 填空 用列举法表示各集合中的元素或用实数的性质分析 解析方法一列举集合中的元素 典型例题深度剖析 分析 A B B C 即A B C 方法二判断集合中元素的共性和差异 A B 3b 2 3 b 1 1 B C A B C 答案 跟踪练习1 2010 无锡模拟 设集合A 1 a b B a a2 ab 且A B 则实数a b 解析由元素的互异性知 a 1 b 1 a 0 又由A B 1 0 例2 定义集合运算 A B z z xy x y x A y B 设集合A 0 1 B 2 3 则集合A B的所有元素之和为 注意元素的互异性 并利用分类讨论使问题得以解决 解析 1 当x 0时 无论y为何值 都有z 0 2 当x 1 y 2时 由题意得z 6 3 当x 1 y 3时 由题意得z 12 故集合A B 0 6 12 故元素之和为0 6 12 18 分析 18 跟踪练习2 2010 盐城调研 给定集合A B 定义A B x x m n m A n B 若A 4 5 6 B 1 2 3 则集合A B中所有元素之和为 解析由新的集合运算定义知A B 1 2 3 4 5 故元素之和为15 15 例3 14分 已知集合A x 0 ax 1 5 集合B 1 若A B 求实数a的取值范围 2 若B A 求实数a的取值范围 3 A B能否相等 若能 求出a的值 若不能 试说明理由 解题示范解A中不等式的解集应分三种情况讨论 若a 0 则A R 若a0 则 2分 1 当a 0时 若A B 此种情况不存在 当a 0时 若A B 如图 当a 0时 若A B 如图 综上知 当AB时 a 8或a 2 6分 2 当a 0时 显然B A 当a 0时 若B A 如图 当a 0时 若B A 如图 综上知 当B A时 12分 3 当且仅当A B两个集合互相包含时 A B 由 1 2 知 a 2 14分 跟踪练习3已知A x x2 8x 15 0 B x ax 1 0 若B A 求实数a 解A 3 5 当a 0时 1 高考中会以填空题的形式考查元素与集合 集合与集合的关系及集合中的元素个数等知识 属容易题 送分题 2 高考中以考查集合的交 并 补等运算为主 同时考察集合特性及集合 元素间的关系 注意利用Venn图 数轴求集合的交 并 补运算 思想方法感悟提高 高考动态展望 1 解题时要特别关注集合中元素的三个特性 特别是互异性 要进行解题后的检验 注意将数学语言与集合语言进行相互转化 2 空集在解题时有特殊地位 它是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 时刻关注对空集的讨论 防止漏掉 3 解题时注意区分两大关系 一是元素与集合的从属关系 二是集合与集合的包含关系 4 解答集合题目 认清集合中元素的属性 是点集 数集或其它情形 和化简集合是正确求解的两个先决条件 方法规律总结 一 填空题1 2009 海南 已知集合A 1 3 5 7 9 B 0 3 6 9 12 则A NB 解析 A 1 3 5 7 9 B 0 3 6 9 12 NB 1 2 4 5 7 8 A NB 1 5 7 定时检测 1 5 7 2 2010 南京模拟 已知集合M x y2 x 1 P x y2 2 x 3 那么M P 解析由M x y2 1 1 即M x x 1 由P x y2 3 3 即P x x 3 所以M P x 1 x 3 x 1 x 3 3 2009 陕西改编 若不等式x2 x 0的解集为M 函数f x ln 1 x 的定义域为N 则M N为 解析不等式x2 x 0的解集M x 0 x 1 f x ln 1 x 的定义域N x 1 x 1 则M N x 0 x 1 0 1 4 2010 苏州模拟 已知全集U R M x y P x y y M 则 UM UP 解析 M是y 的定义域 即M x x 1 UM x x UM UP x x 0或 x 1 5 2010 常州模拟 已知全集U R 集合M x x 1 N x 0 则U M N 解析因为M x x 1 N x x 2或x 1 则M N x x 2 所以U M N x x 2 x x 2 6 2009 珠海模拟 已知集合A中有10个元素 集合B中有6个元素 全集U中有18个元素 且有A B 设集合U A B 中有x个元素 则x的取值范围是 解析因为当集合A B中仅有一个元素时 集合U A B 中有3个元素 当A B中有6个元素时 U A B 中有8个元素 即3 x 8且x为整数 3 x 8且x为整数 7 2010 淮安模拟 对于任意两个集合M N 定义 M N x x M x N M N M N N M 设M y y x2 x R N y y 3sinx x R 则M N 解析因为M 0 N 3 3 所以M N 3 N M 3 0 所以M N 3 0 3 3 0 3 8 2010 南通模拟 已知集合A x y x2 y2 2ny n2 4 0 x y R B x y x2 y2 6mx 4ny 9m2 4n2 9 0 x y R 若A B为单元素集 则点P m n 构成的集合为 解析因为A B为单元素集 即圆x2 y n 2 4与圆 x 3m 2 y 2n 2 9相切 此时 9 2010 盐城模拟 设全集U R A x 0 UA 1 n 则m2 n2 解析由UA 1 n 知A 1 n 即不等式 0的解集为 1 n 所以 n 1 m 1 因此m 1 n 1 所以m2 n2 2 2 二 解答题10 2010 盐城模拟 已知集合A x x2 x 2 0 B x 20 且满足 A B C A B C R 求实数b c的值 解因为A x 2 x 1 B x 13或x0的解集为 x x 3或x 2 即方程x2 bx c 0的两根分别为 2和3 则b 3 2 1 c 3 2 6 11 2010 扬州模拟 设A x x2 ax a2 19 0 B x x2 5x 6 0 C x x2 2x 8 0 1 若A B A B 求实数a的值 2 若A B 且A C 求实数a的值 3 若A B A C 求实数a的值 解 1 因为A B A B 所以A B 又因为B 2 3 则a 5且a2 19 6同时成立 所以a 5 2 因为B 2 3 C 4 2 且A B A C 则只有3 A 即a2 3a 10 0 即a 5或a 2 由 1 可知 当a 5时 A B 2 3 此时A C 与已知矛盾 所以a 5舍去 故a 2 3 因为B 2 3 C 4 2 且A B A C 此时只有2 A 即a2 2a 15 0 得a 5或a 3 由 1 可知 当a 5时不合题意 故a 3 12 2010 绍兴模拟 已知 an 是等差数列 d为公差且不为0 a1和d均为实数 它的前n项和记作Sn 设集合A an n N B x y x2 y2 1 x y R 试问下列结论是否正确 如果正确 请给予证明 如果不正确 请举例说明 1 若以集合A中的元素作为点的坐标 则这些点都在同一直线上 2 A B至多有一个元素 3 当a1 0时 一定有A B 解 1 在等差数列 an 中 对一切n N 有Sn 这表明点 an 适合方程y x a1 于是点 an 均在直线 2 设 x y A B 则x y是方程组的解 由方程组消去y得 当a1 0时 方程无解 此时A B 当a1 0时 方程只有一个解此时 方程组只有一解 故上述方程组至多有解所以A B至多有一个元素 3 取a1 1 d 1 对一切的n N 有an a1 n 1 d n 0 0 这时集合A中的元素作为点的坐标 其横 纵坐标均为正 另外 由于a1 1 0 如果A B 那么根据 2 的结论 A B至多有一个元素 x0 y0 而这样的 x0 y0 A 产生矛盾 故a1 1 d 1时 A B 所以 当a1 0时 一定有A B 是不正确的 返回