随机过程的基本概念以统计特性.ppt

第1章 随机过程 2 主要内容 随机过程的基本概念及其统计特性 连续时间随机过程的微分和积分 随机过程的平稳性和遍历性 联合平稳随机过程 正态随机过程 马尔可夫链 3 随机变量 与时间无关 随机过程 与时间相关 4 1 1随机过程的基本概念及统计特性 自然界事物的变化分为两大类 确定性过程和随机过程 确定性过程 1 每次试验得到的观测过程都相同 2 具有确定形式的变化过程 或可用一个时间t的确定函数表示 随机过程 1 每次试验得到的观测过程都不同 2 没有确定的变化形式或不能用一个时间t的确定函数表示 5 一定义 1 接收机噪声电压观测方式 对相同接收机同时观测 从试验可知 每次得到的结果不同 且变化的规律不能用一个确定的函数来描述 噪声电压的起伏波形 6 随机相位信号 7 若和为常数 是随机取值的随机变量 电压波形为 随机振幅信号 8 9 10 定义2 设有一个过程X t 若对于每一个固定的时刻 是一个随机变量 则X t 称为随机过程 11 12 上面两种随机过程的定义 从两个角度描述了随机过程 具体的说 作观测时 常用定义1 这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性 对随机过程作理论分析时 常用定义2 这样可以把随机过程看成为n维随机变量 n越大采样时间越小 所得到的统计特性越准确 13 14 15 16 随机过程按时间和状态的分类 17 18 3按概率分布的特性来分类 高斯随机过程瑞利随机过程对数正态随机过程马尔可夫随机过程 4按统计特性来分类 平稳随机过程非平稳随机过程 5按随机过程在频域的带宽分类 宽带随机过程窄带随机过程白噪声有色噪声 19 三随机过程的概率分布 随机过程是一族时间函数 在一次具体试验中 函数族中哪一个函数 样本 出现时是服从某种概率分布的 因而对随机信号不能采用通常的对确定性信号的表述方法 而必须用概率统计 即统计特性的描述方法 1 概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面 完整的描述方法 2 数字特征 期望 方差 相关函数 的描述方法是的宏观 概括的描述方法 统计特性的描述方法分为两个大类 20 当仪器记录随机过程X t 的变化过程时候 一般不可能也没有必要连续的记录全部过程 而只要记下X t 在确定时刻t1 t2 tn上的量 由随机过程的定义可知 在确定t值上 随机过程变为随机变量 仪器记录的结果是n维随机变量X t1 X t2 X tn 如果说记录时间间隔 t ti ti 1相当小 n足够大 时 多维随机变量X t1 X t2 X tn 可以足够完整表示出随机过程X t 在一定近似程度上 可以通过研究多维随机变量来代替对随机过程的研究 且n取值越大 代替的越精确 当n 时 随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无穷大情况的自然推广 21 22 二维概率分布函数 FX x1 x2 t1 t2 P X t1 x1 X t2 x2 为了描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系 可以引入二维随机变量 X t1 X t2 的分布函数FX x1 x2 t1 t2 它是二随机事件 X t1 x1 和 X t2 x2 同时出现的概率 即 称为随机过程X t 的二维分布函数 若FX x1 x2 t1 t2 对x1 x2的二阶混合偏导存在 即 为随机过程X t 的二维概率密度 二维概率密度函数 注意 X t1 及X t2 为同一随机过程上的随机变量 二维分布比一维分布包含可更多的信息 但仍不能完整的反应出随机过程的全部统计特性 23 24 25 四随机过程的数字特征 随机变量的数字特征 期望 方差 相关系数 通常是确定值 随机过程的数字特征 期望 方差 相关函数 通常是确定性函数 随机过程的数字特征的计算方法 先把时间t固定 然后用随机变量的分析方法来计算 26 1数学期望 均值函数 显然 是某一个平均函数 随机过程的诸样本在它的附近起伏变化 如图所示 随机过程的均值是时间t的函数 称为均值函数 物理意义 如果随机过程表示接收机的输出电压 那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值 27 统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均 所以又称为集合平均 它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律 是所有样本函数在各个时刻摆动的中心 28 29 物理意义 如果表示噪声电压 则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值 方差表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值 30 31 3自相关函数 数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点时刻的重要数字特征 它们反应不出来整个随机过程不同时间的内在联系 比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程 32 自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻状态之间的内在联系 通常用描述 描述了整个随机过程任意两个不同时刻的内在关系 线性相关性若则 33 34 4自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数 我们称之为自协方差函数 简称协方差函数 用表示 它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度 中心化自相关函数 35 36 37 例 求随机相位正弦波的数字期望 方差及自相关函数 式中 为常数 是区间 0 上均匀分布的随机变量 解 由题可知 数学期望 38 方差 39 自相关函数 40 例设随机过程 其中V是在 0 1 是均匀分布的随机变量 求过程X t 的均值和自相关函数 41 42 例设随机振幅信号为其中为常数 V是标准正态随机变量 求该随机信号的均值 方差 相关函数和协方差函数 43 解 44 45 46 3n维特征函数 47 例设为相互独立的随机变量序列 其分布为求随机过程的一维分布 48 若存在 则有设 为常数 则n维随机变量的特征函数为设的特征函数为 而的特征函数为 则相互独立的充要条件为 48 49