随机过程的基本概念.ppt

第一章随机过程的基本概念 1 1基本概念 1 2有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理 1 3随机过程的数字特征 1 1基本概念 Ex 1对某城市的气温进行n年的连续观察 记录得 一 实际背景 在许多实际问题中 不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察 且需要做多次的连续不断的观察 以观察研究对象随时间推移的演变过程 研究该城市气温有无以年为周期的变化规律 随机过程的谱分析问题 Ex 2从杂乱电讯号的一段观察 Y t 0 t T 中 研究是否存在某种随机信号S t 过程检测 Ex 3监听器上收到某人的话音记录 Z t t 试问他是否确实是追踪对象 过程识别 二 随机过程定义 为 F P 上的一个随机过程 定义设 F P 是概率空间 若对每个 是概率空间 F P 上的随机变量 则称这族随机变量 注 1 称T是参数集 或参数空间 当T 1 2 n 随机向量 当T 1 2 n 随机时间序列 随机过程是n维随机变量 随机变量序列的一般化 是随机变量X t 的集合 用E表示随机过程的值域 称E为过程的状态空间 Ex 4设 F P 是对应于抛均匀硬币的概率空间 随机过程可看成定义在积集上的二元函数 1 当固定是一个随机变量 2 当固定 作为的函数 是一个定义在T上的普通函数 X t1 X t2 X t 1 X t 2 X t 3 t1 t2 tn 定义对每一固定 称是随机过程的一个样本函数 也称轨道 路径 现实 Ex 5利用抛硬币的试验定义一个随机过程 设出现正反面的概率相同 写出X t 的所有样本函数 解 记 1 出现正面 2 出现反面 则X t 的所有现实为 x 1 t cos t 和x 2 t 2t 1 分布函数定义 对任意 二维随机变量 X s X t 联合分布函数 定义1随机过程 对 随机变量X t 的分布函数 称为过程XT的一维分布函数 二 有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理 称为XT的二维分布函数族 定义2过程对任给的 随机向量 的联合分布函数 称为过程的n维分布函数 记 称F为XT的有限维分布函数族 定义3过程的n维特征函数定义为 特征函数和分布函数是相互唯一确定 称 为XT的有限维特征函数族 2 随机过程存在定理 随机过程的有限维分布函数族满足以下两个性质 1 对称性 对1 2 n的任一排列j1 j2 jn 均有 对任意固定的自然数m n 均有 2 相容性 注 联合分布函数能完全确定边缘分布函数 因事件乘积满足交换律 注 类似地 随机过程的有限维特征函数满足 1 对1 2 n的任一排列j1 j2 jn有 2 对任意固定的自然数m n 均有 3 随机过程存在定理 柯尔莫哥罗夫 如果分布函数族 满足条件 1 和 2 则存在一个概率空间上的一个随机过程 其有限维分布函数族恰为 即有 在实际应用中 很难确定出随机过程的有限维分布函数族 过程的数字特征能反映其局部统计性质 1 均值函数 方差函数及相关函数 定义给定随机过程 称 为过程XT的均值函数 需确定各类数字特征随时间的变化规律 三 随机过程的数字特征 定义给定随机过程 称 为过程XT的方差函数 称为过程XT的均方差函数 需要描述不同时刻过程状态的关联关系 定义给定随机过程 称 为过程XT的协方差函数 有 定义给定随机过程 称 为过程XT的自相关函数 有 特别当时 XT是零均值过程 称 为过程XT的自相关系数 定义给定两个随机过程称 为和的互协方差函数 称 为和的互相关函数 Ex 1设p q是两个随机变量 构成随机过程 均值函数为 自相关函数为 若p q相互独立 且均服从分布N 0 1 则 Ex 2设随机过程 其中 是正常数 随机变量A与 相互独立 A N 0 1 U 0 2 试求过程的均值函数和相关函数 解 随机变量函数的数学期望公式 2 复随机过程 复随机过程的均值函数为 方差函数为 自相关函数为 自协方差函数为 互协方差函数为 四 随机过程的分类 1 按状态空间和参数集进行分类 1 T E均为可列集 2 T是可列集 E不可列 3 T不可列 E为可列集 4 T E均不可列 当T为可列集 称为离散参数随机过程 随机序列 时间序列 当E为可列 或有限 集 称为离散状态随机过程 2 按概率结构进行分类 1 二阶矩过程 若过程对每一个 的二阶矩都存在 2 平稳过程 定义 设为一平稳过程 或平稳序列 若 或 则称X的均值具有遍历性 此处极限为均方意义 即 平稳过程的遍历性 若 或 则称X的协方差具有遍历性 若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性 则称随机过程具有遍历性 定理 均值遍历性定理 1 设X Xn n 0 1 2 是平稳序列 其协方差函数为 则X有遍历性的充要条件是 2 设X Xt t 是平稳过程 则X有遍历性的充要条件是 给出连续型的证明 做变换 则Jacobi行列式的值为 积分区域变为 所以有 推论1 若 则均值遍历性定理成立 证明 因为 当时 有 推论2 对于平稳序列而言 若 则均值遍历性定理成立 证 给出离散型情形 由Stoltz定理 令 定理 协方差函数遍历性定理 设X Xt t 是平稳过程 其均值函数为零 则协方差函数有遍历性的充要条件是 其中 例设 则的均值有遍历性 证明其均值为 其协方差函数为 所以 是平稳过程 又 所以 的均值有遍历性 3 平稳增量过程 对任意实数h及任意t1 t2有 4 独立增量过程 对任一正整数n及任意随机变量 相互独立 过程增量 重要子类有泊松过程 维纳过程 5 马尔科夫过程 6 正态过程 7 鞅过程