随机过程方兆本1.2条件期望和矩母函数.ppt

1 2条件期望和矩母函数 对于离散型随机变量X和Y 一般 对所有使P Y y 0的y 定义给定Y y时X取x的条件概率为 而给定Y y X的条件分布函数为 给定Y y X的条件期望为 对于一般的连续型随机变量Y 由于P Y y 往往为0 则给定Y y时X的条件概率定义为 若对任何包含y的小区间 y总有P Y y 0 则定义为P X A Y y 0 若P Y y 0 则定义为这里 y 0的意思是使包含y的小区间的长度缩小为0 除了个别例外的y值这一极限总是存在的 而给定Y y X的条件分布函数为 如果存在一非负函数f x y 使得对任何集合A恒有且则f x y 称为在给定Y y时X的条件密度 显然有 条件期望通常统一记为 注 E X Y y 表示一个数值 E X Y 表示随机变量 例1 8袋子中有3个相同的球 分别标号为1 2 3 现从中随机地取出一个球 记下标号 假设标号为k 后放回 同时从袋子中去掉标号为1 k 1的球 然后再随机地取一球记下标号 分别用X和Y表示两次取球记下的标号 则 例1 9扔一硬币出现正面的概率为p 独立地做投币试验 记S为n次试验中出现正面的次数 并设首次出现正面是在第T次试验 求给定n次试验中仅出现了一次正面时变量T的条件概率分布 也即P T k S 1 解 所以 命题1 1 若X与Y独立 则E X Y y E X 条件期望的平滑性 对随机变量X Y的函数 X Y 有 证明 假设 X Y 为离散型随机变量 则 矩母函数及生成函数 定义1 5随机变量X的矩母函数定义为随机变量exp tX 的期望 记作g t 即 矩母函数的性质 当矩母函数存在时它唯一地确定了X的分布 E Xn g n 0 n 1 对于相互独立的随机变量X与Y 则gX Y t gX t gY t 注 由于随机变量的矩母函数不一定存在 因此现在常用特征函数E eitX 代替矩母函数 关于特征函数内容以及性质1 可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材 1 丁万鼎等 概率论与数理统计 上海 上海科学技术出版社 1988 常见分布的矩母函数 解 先算条件期望 例1 10 随机和的矩母函数 记X1 X2 为一串独立同分布的随机变量 N为取值为非负整数的随机变量 且N与X序列相互独立 求Y的矩母函数 于是有 进一步 因此 注意 g 0 1 定义1 5若X为离散随机变量 则期望E sX 为其概率生成函数 记作 X s 即 生成函数的性质 生成函数与离散随机变量是一一对应的 对于相互独立的随机变量X与Y 则 X Y s X s Y s 性质 若离散随机变量分布为则 证明 事实上 课外作业 Page13Ex13 14 15 17