随机变量的概率分布与数字特征.ppt

第一节离散型随机变量及其概率分布 第二章随机变量的概率分布与数字特征 一 随机变量 在第一章中 我们曾提及随机变量 我们把 用来表示随机试验结果的变量 称为随机变量 例2 1观察些列随机试验的结果与数值之间的关系 1 掷一颗骰子出现的点数 2 一位隐性遗传疾病的携带者有三个女儿 则女儿中为该疾病携带者的人数 3 采用某种新药对10名患者进行治疗 治愈的患者人数 4 一个肝硬化病人的Hp感染情况 可能出现阳性Hp 也可能出现阴性Hp 5 对于某种新药疗效的试验结果 可能为 无效 好转 显效 治愈 定义2 1定义在样本空间 上的实值函数X X 称为随机变量 常用字母X Y Z等表示随机变量 其取值用小写字母x y z等表示 假如一个随机变量仅取有限个或可列个值 则称其为离散随机变量 假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间 则称其为连续随机变量 其中a可以是 b可以是 例2 2某药检所对某种送检的药品进行检查 按合格与不合格进行分类 使用随机变量表示检验结果 解 该试验的样本空间为 合格 不合格 若用随机变量X表示 随机取出某药品的检验结果 用数值1 表示合格 用数值0 表示不合格 则X作为样本空间 的实值函数定义为 随机变量 离散型随机变量 非离散型随机变量 其中最重要的一种 连续型随机变量 二 离散型随机变量 一 离散型随机变量的定义 定义2 2如果一个随机变量只能取有限个或可列无限个值 那么称这个随机变量为离散型随机变量 例2 3观察下列试验的结果 判断是否为离散型随机变量 1 50件产品中有8件次品 其余为正品 从中取出4件进行检验 则取到的次品数 2 某实验一次观测数据为5个 其中异常值的个数 3 某交通道口中午1小时内汽车流量 二 离散随机变量的概率分布 对于一个随机变量进行研究 首先要判断它的取值范围及可能取哪些值 其次还要知道它取这些值的概率 也就是要知道它取值的规律 随机变量X的取值规律称为X的概率分布 简称分布 定义2 3设离散随机变量X的所有可能取值为 X取各个值相应概率为 则称 式 2 1 为离散随机变量X的概率分布或分布律 也称概率函数 X的概率分布也常用表2 1的方式来表达 表2 1X的概率分布 XP 概率分布的两个性质 1 非负性 2 正则性 例2 2一位隐性遗传疾病的携带者有两个女儿 则每个女儿都有1 2的可能性从母亲那里得到一个致病的X染色体而成为携带者 假设父亲正常 用A B分别表示大女儿和小女儿是携带者 试求 1 女儿中携带者人数X的概率分布 2 至少有一个为携带者的概率 第二节连续型随机变量及其概率分布 第二章随机变量的概率分布与数字特征 一 连续型随机变量的定义 定义2 4如果一个随机变量可以取得某一区间内的任何数值或在整个数轴上的取值 那么称这个随机变量为连续型随机变量 例如 1 某小学四年级某班50名女生的身高 2 100名健康成年男子血清总胆固醇的测定结果 3 一批灯泡的使用寿命 这些都可以用连续型随机变量来表示 由于随机变量能够取某些区间中的所有值 不能像离散型随机变量那样将其所有可能取值与对应概率一一列出 因而不能用离散型随机变量的概率函数来描述 于是我们引入概率密度函数来描述连续随机变量的概率分布 二 连续型随机变量的概率分布 新生婴儿的体重X是一个随机变量 假如记录很多个新生婴儿的体重 我们用频率直方图表示出来 x轴表示体重 单位 500g y轴表示 频率 组距 频率 组距 X f x 定义2 5对于随机变量X 如果存在一个非负可积函数 使对任意 都有 式 2 2 则称为连续型随机变量X的概率密度函数 简称概率密度或密度函数 概率密度函数的性质 1 非负性 2 归一性 这两个性质刻画了密度函数的特征 也就是说 如果某个实值函数具有这两条性质 那么它必定是某个连续随机变量的密度函数 3 设X为连续随机变量 则对任意指定实数 有 即连续随机变量在处概率为零 4 设连续随机变量X 对任意 则 5 几何意义 随机变量X落在区间内的概率等于由密度函数所围成的曲边梯形的面积 例2 5已知随机变量X的概率密度为 例2 6设随机变量X的概率密度为 试求 第二节随机变量的分布函数 第二章随机变量的概率分布与数字特征 定义2 6设X是一个随机变量 对任意实数x 称函数 为随机变量X的分布函数 式 2 3 说明 对任意实数 有 特别的 一 离散随机变量的分布函数 对于离散随机变量 由于分布函数的定义域为R 所以任意的 只要将小于等于x的一切取值的相应概率值累加起来 就能够求得分布函数 即 例2 7已知到某药检所送检的10件药品中有2件失效 若从送检的药品中先后抽检3件 试列出抽检出次品数的分布函数 二 连续随机变量的分布函数 由分布函数的定义及连续随机变量的特点 连续随机变量X的分布函数为 式 2 5 其中为X的密度函数 从几何上看 表示密度函数与轴在和点之间的图像面积 图2 4连续变量分布函数几何意义 例2 8设随机变量X的概率密度函数为 试求X的分布函数 例2 9设随机变量X的分布函数 试求 1 2 X的密度函数 第三节常用连续随机变量分布 正态分布 第二章随机变量的概率分布与数字特征 一 正态分布的定义 定义2 8若随机变量X的概率密度函数为 公式2 6 其中 均为常数 则称X服从参数为的正态分布 记作 公式2 7 正态分布的分布函数为 二 正态分布的图形与性质 图2 7正态分布的概率密度函数f x 的图像 图2 8正态分布的分布函数的图像 正态分布曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头低 中间高 左右对称 沿X轴平行移动 图像越靠右 1 1 正态分布曲线是以为对称轴 当时 取得最大值 2 图像在处有拐点 且以X轴为渐近线 3 正态分布完全由两个参数和决定 固定 改变 描述 正态分布的平均水平决定 正态曲线在X轴上的位置 位置参数 曲线沿X轴水平移动 形状不变 只改变位置 描述 正态分布的变异程度决定 正态曲线的分布形状 固定 改变 越大 曲线越矮胖 表示数据越分散 变异度越大 越小 曲线越高瘦 表示数据越集中 变异度越小 形状参数 三 标准正态分布 对于正态分布 参数时的正态分布称为标准正态分布 记作 其概率密度函数用表示为 式 2 8 其概率分布函数用表示为 式 2 9 常用公式 案例2 11设 查表求 四 正态分布的标准化 步骤 1 找出2 利用公式 3 查表求值 案例2 12设 查表求 案例2 13对使用过甘草的许多中药处方进行分析 若已知每次的甘草用量X N 8 4 现任抽一张含甘草的处方 求甘草的用量在5 10g范围内的概率 五 正态曲线下面积分布规律 曲线下的面积即为概率 可通过公式求得 曲线下的总面积为1或100 以为中心左右两侧面积各占50 越靠近处曲线下面积越大 两边逐渐减少 公式2 7 图2 11正态分布的3原则示意图 正态分布的3原则 六 正态分布的应用举例 1 制定医学参考值的范围 2 质量控制 自学 3 可疑值取舍 自学 检验日期 20090809报告日期 2009 08 0909 46 48检验者 XXX审核者 XXX注 此检验报告仅对本次标本负责 1 意义 医学参考值是指绝大多数正常人群的解剖 生理 生化 免疫等各种指标数据的波动范围 由于存在个体差异 生物医学数据并非常数而是在一定范围内波动 故采用医学参考值范围作为判定正常和异常的参考标准 但不是 金标准 一 制定医学参考值的范围 2 单 双侧问题 常依据医学专业知识而定 双侧 血清总胆固醇无论过低或过高均属异常白细胞数无论过低或过高均属异常 单侧上限 如 血清转氨酶 体内有毒物质过高异常 越低越好 P5 3 医学参考值范围有90 95 99 等 最常用的为95 计算医学参考值范围的常用方法 正态分布法百分位数法 3 正态分布法 第四节随机变量的数字特征 第二章随机变量的概率分布与数字特征 一 数学期望及其性质 问题 有甲 乙两个射手 他们的射击技术用下表表出 试问 哪个射手技术较好 二 连续型随机变量的数学期望 定义2 11设连续型随机变量X的密度函数为 称的值为随机变量的X的数学期望 简称期望或均值 记作 定义2 12设X是一个随机变量 Y g X 也是随机变量 且E Y 存在 1 若X是离散随机变量 其概率分布为则随机变量函数g X 的期望为 三 随机变量函数的数学期望 2 设X是连续型随机变量 其密度函数为 则随机变量函数的期望为 四 数学期望的性质 性质1若C是常数 则 性质2若C是常数 则 性质3 性质4若X Y相互独立 则 二 方差及其性质 问题 有丙 丁两个射手 他们的射击技术用下表表出 试问 哪个射手技术较好 一 方差的定义 定义2 13设X是一个随机变量 称为X的方差 记作 即称为X的标准差 记作 二 方差的性质 性质3若X Y相互独立 则 性质1若C是常数 则 性质2若C是常数 则