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广西壮族自治区田阳高中2018-2019学年高二12月月考数学（理）试题一、选择题：（共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.抛物线的准线方程是A. B. C. D. 【答案】A【解析】抛物线方程即为，故准线方程为选A2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A. 100,10 B. 200,10 C. 100,20 D. 200,20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】由图1得样本容量为（3500+2000+4500）2%100002%200，抽取的高中生人数为20002%40人，则近视人数为400.520人，故选：D【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键3.将数30012转化为十进制数为（ ）A. 524 B. 774 C. 256 D. 260【答案】B【解析】试题分析：30012（4）=2+14+344=2+4+768=774故选B考点：排序问题与算法的多样性.4.一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A. 55.2，3.6 B. 55.2，56.4 C. 64.8，63.6 D. 64.8，3.6【答案】D【解析】【分析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为x1,x2,xn，由其平均数为4.8，方差是3.6，则有x1=1n(x1+x2+xn)=4.8，方差S12=1n(x1x)2+(x2x)2+(xnx)2=3.6，若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1+60,x2+60,xn+60，则其平均数为x1=1n(x1+60)+(x2+60)+(xn+60)=4.8+60=64.8，方差为S22=1n(x1+6064.8)2+(x2+6064.8)2+(xn+6064.8)2=3.6，故选D.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5.下列结论错误的是()A. 命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题B. 对于一个命题的四种命题可能一个真命题也没有C. 命题“直棱柱的每个侧面都是矩形”为真D. “若am2bm2，则a50，从而输出z=55，故选B.考点：1.程序框图的应用.【此处有视频，请去附件查看】8.双曲线y2ax2=1过点（3，4），则它的渐近线方程为（ ）A. y=2x B. y=12x C. y=4x D. y=14x【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程即可【详解】双曲线y2a-x2=1过点（3，4），可得16a-3=1，可得a4，则该双曲线的渐近线方程为：y=2x故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力9.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【答案】D【解析】如图：连接B1G，EGE，G分别是DD1，CC1的中点，A1B1EG，A1B1=EG，四边形A1B1GE为平行四边形，A1EB1G，B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G=B1C12+CG2=2+1=3,B1F=B1B2+BF2=4+1=5 B1G2+FG2=B1F2B1GF=90异面直线A1E与GF所成角为90，故选 D10.两人约定在2000到2100之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在2000至2100各时刻相见的可能性是相等的，则他们两人在约定时间内相见的概率为（ ）A. 89 B. 23 C. 49 D. 19【答案】A【解析】【分析】由题意设事件A为“甲乙两人能会面”，求出试验包含的所有事件，并且事件对应的集合表示的面积是s1，再求出满足条件的事件，并且得到事件对应的集合表示的面积是 89，进而根据几何概率模型的计算公式可得答案【详解】由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“甲乙两人能会面”，试验包含的所有事件是（x，y）|20x21，20y21，并且事件对应的集合表示的面积是s1，满足条件的事件是A（x，y）|20x21，20y21，|xy|4060=23所以事件对应的集合表示的面积是12121313=89，根据几何概型概率公式得到P=89则两人在约定时间内能相见的概率是89故选：B【点睛】本题考查了几何概型的定义与概率计算公式，而几何概率模型一般通过事件的长度、面积或者体积之比来求事件发生的概率，本题属于中档题，11.直线过椭圆：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P,Q两点，若PF=3FQ,POQ=120，则椭圆离心率为（ ）A. 12 B. 33 C. 73 D. 217【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质结合PF=3FQ,POQ=120求出直线PQ的斜率，再根据A,F的坐标得出直线PQ的斜率，从而得出b,c的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】椭圆的焦点在x轴上，ab0,Fc,0,A0,b，故直线FA的方程为xc+yb=1，即bxcy+bc=0，直线FA（即PQ）的斜率为bc， 过O作的垂线OM，则M为PQ的中点，POQ=120,OPM=30，OMPM=tan30=33，PF=3FQ,F是MQ的中点，直线PQ的斜率k=tanMFO=OMMF=2OMPM=233，bc=233，不妨令b=23t,c=3t，则a=b2+c2=21t，椭圆的离心率e=ca=217，故选D.【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出a,c，从而求出;构造a,c的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.12.双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)与抛物线y2=2px(p0)相交于两点,公共弦恰好过它们的公共焦点,则双曲线的离心率为（ ）A. 2 B. 1+2 C. 22 D. 2+2【答案】B【解析】试题分析：由抛物线和双曲线的对称性可知AB垂直与x轴因为AB过焦点F(p2,0),则可令A(p2,p)因为抛物线和双曲线共焦点,则c=p2,所以A(c,2c),将x=c代入双曲线方程可得|y|=b2a,则2c=b2a,将b2=c2a2代入上式并整理可得c22aca2=0,即e22e1=0,解得e=12,因为e1,所以e=1+2故B正确考点：1抛物线的定义;2双曲线的离心率二填空题：（每小题5分，共20分）13.若向量=（4, 2，-4）,b=（6, -3，2）,则(2ab)(a+2b)=_【答案】4【解析】【分析】由坐标运算可得2a-b和a+2b的坐标，进而可得其数量积【详解】a=（4，2，4），b=（6，3，2），由向量的坐标运算可得2a-b=2（4，2，4）-（6，3，2）（2，7，10），a+2b=（4，2，4）+2（6，3，2）（16，-4，0）(2a-b)(a+2b)=162470（10）4【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题14.命题p:x0R，x02+mx0+20,若“非p”为真命题，m的取值范围为_【答案】(22,22) 【解析】【分析】由题意知， x2+mx+20恒成立，即0恒成立，即0，所以m2-420，得到-22m22，故答案为(-22,22).【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力15.过原点的直线与圆x2+y2+6y+5=0相交于A、B两点，则弦AB中点M的轨迹方程为_【答案】y2+x2+3y=0(53x3) 【解析】【分析】根据圆的特殊性，设圆心为C，则有CMAB，当斜率存在时，kCMkAB1，斜率不存在时加以验证【详解】设圆x2+y26x+50的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CMAB，当直线CM与AB的斜率都存在时，即x3，x0时，则有kCMkAB1，yx-3yx=-1（x3，x0），化简得x2+y23x0（x3，x0），当x3时，y0，点（3，0）适合题意，当x0时，y0，点（0，0）不适合题意，解方程组x2+y2-3x=0x2+y2-6x+5=0得x=53，y=235，点M的轨迹方程是x2+y23x0（53x3）故答案为y2+x2+3y=0(530,q:x22(a1)x+a(a2)0,若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】a32,2【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，由p是q的充分不必要条件，可知pq，从而求出a的范围.【详解】解2x2-3x-20得x-,-122,+，解x2-2a-1x+aa-20得：x-,a-2a,+，若p是q的充分不必要条件，则-,-122,+-,a-2a,+，-12a-22a，解得：a32,2【点睛】本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的解法，是一道基础题；18.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率10，15）100.2515，20）25n20，25）mp25，30）20.05合计M1（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【答案】（1）0.125；（2）5；（3）710【解析】【分析】（1）由频率=频数总数，能求出表中M、p及图中a的值（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数（3）在样本中，处于20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于25，30内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率【详解】（1）由分组10，15）内的频数是10，频率是0.25知，所以M=40因为频数之和为40，所以因为a是对应分组15，20）的频率与组距的商，所以 （2）因为该校高三学生有360人，分组15，20）内的频率是0.625，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.625=225人 （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人设在区间20，25）内的人为a1，a2，a3，在区间25，30）内的人为b1，b2则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）而两人都在20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率为【点睛】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19.已知直线l:y=kx+1与双曲线C:3x2y2=1（1）当k=3时，直线与双曲线C的一渐近线交于点P，求点P到另一渐近线的距离；（2）若直线与双曲线C交于A,B两点，若AB=43，求k的值【答案】（1）12； （2）k=2或k=66313.【解析】【分析】（1）写出双曲线C:3x2y2=1渐近线方程，渐近线方程与直线方程联立可求得P-36,12，利用点到直线距离公式即可得结果；（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A,B的横坐标的和与积，由弦长公式列方程求解即可.【详解】（1）双曲线C:3x2-y2=1渐近线方程为y=3x由y=3x+1y=-3x得P-36,12则P到y=3x的距离为d=12-3-361+3=12；（2）联立方程组y=kx+13x2-y2=1，消去y得3-k2x2-2kx-2=0直线与双曲线有两个交点，3-k20=4k2+83-k20，解得k26且k23，x1x2=-23-k2,x1+x2=2k3-k2AB=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=2-k4+5k2+6k2-32=43（k2b0)的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为32，|F1F2|=23，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m0，求OMN的面积S的最大值【答案】（1）x24+y2=1； （2）32.【解析】【分析】（1）由离心率为32，|F1F2|23，列式计算a，b，即可得椭圆C的方程.（2）将直线PA1，PA1的方程：y=m6(x+2)，y=m2(x-2)分别与椭圆方程联立，得到M、N的坐标，可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：xty+1，由x=ty+1x2+4y2=4结合韦达定理，可得OMN的面积S=2t2+3t2+4，再利用函数单调性即可求出面积最大值【详解】（1）离心率为32，F1F2=23，ca=322c=23，a=2，c=3，则b=1椭圆C的方程的方程为：x24+y2=1（2）由（1）得A1（-2，0），A2（2，0），直线PA1，PA1的方程分别为：y=m6x+2，y=m2x-2由y=m6x+2x24+y2=1，得9+m2x2+4m2x+4m2-36=0-2+xM=-4m29+m2，可得xM=18-2m29+m2，yM=m6xM+2=6m9+m2由y=m2x-2x24+y2=1，可得1+m2x2-4mx+4m2-4=02+xN=4m21+m2，可得xN=2m2-21+m2，yN=m2xN-2=-2m1+m2kMN=yM-yNxM-xN=2m3-m2，直线MN的方程为：y-2m1+m2=2m3-m2x-2m2-21+m2，y=2m3-m2x-2m2-21+m2-2m1+m2 =2m3-m2x-2m2-21+m2-3-m21+m2 =2m3-m2x-1可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x=ty+1由x=ty+1x24+y2=1得t2+4y2+2ty-3=0设Mx1,y1，Nx2,y2，则y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4y1-y2=y1+y22-4y1y2=4t2+3t2+4，的面积令，则，且函数在递增，当，S取得最大值.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想，转化思想，考查了运算能力，属于难题.
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