随机变量的数字特征2-方差.ppt

2方差 设有一批灯泡寿命为 一半约950小时 另一半约1050小时 平均寿命为1000小时 另一批灯泡寿命为 一半约1300小时 另一半约700小时 平均寿命为1000小时 问题 哪批灯泡的质量更好 质量更稳定 单从平均寿命这一指标无法判断 进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度 2 例如 某零件的真实长度为a 现用甲 乙两台仪器各测量10次 将测量结果X用坐标上的点表示如图 测量结果的均值都是a 3 又如 甲 乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹 其落点距目标的位置如图 5 甲炮射击结果 乙炮射击结果 4 我们需要引进一个量来描述r v X的取值分散程度 即X的取值与E X 的偏离程度 偏离的度量 平均偏离 绝对值 不好研究 5 定义设X是一随机变量 为标准差或均方差 存在 则称之为X的方差 记为D X 或Var X 即 方差实际上是一个特殊的函数g X X E X 2的期望 对于离散型随机变量X 对于连续型随机变量X 此外 利用数学期望的性质 可得方差得计算公式 常用 例1 设随机变量X具有数学期望 例2 设随机变量X具有0 1分布 其分布律为 解 例3 解 例4 解 X的概率密度为 例5 设随机变量X服从指数分布 其概率密度为 即对指数分布而言 方差是均值的平方 而均值恰为参数 方差的性质 证明 14 解 由数学期望和方差的性质 E X 2Y E X 2E Y X与Y相互独立 已知E X 3 D X 1 E Y 2 D Y 3 求 E X 2Y D X 2Y D X 2Y D X 2 2D Y 3 2 2 1 1 4 3 13 例6 例7 解 例8 设活塞的直径 以cm计 汽缸的直径X Y相互独立 任取一只活塞 任取一只汽缸 求活塞能装入汽缸的概率 表1几种常见分布的均值与方差 数学期望方差 分布率或密度函数 分布 20 几个与期望及方差有关的练习题 1 设X的数学期望E X 2 方差D X 4 则E X2 2 设X B n p 已知E X 1 6 D X 1 28 则n P 3 设X P 且P X 1 P X 2 则E X D X 21 总结方差的计算方法 定义法 函数的数学期望方差的性质常用公式 D X E X2 E X 2X分解成数个相互独立的随机变量之和 利用D X D X1 X2 Xn D X1 D X2 D Xn 根据题型 以上方法可能独立使用 也可能结合使用 22 作业P116 21