随机变量的函数的变量分布.ppt

2 5随机变量的函数的分布 设随机变量X 普通函数g x 则Y g X 也是一个随机变量 当X取x时 Y取y g x g x ax b 则Y g X aX b也是一个随机变量 问题 已知X的分布 如何求Y g X 的分布 g x sinx 则Y g X sinX也是一个随机变量 一 X为离散型随机变量 例1 设X具有以下的分布律 求Y X 1 2分布律 X 1012pk0 20 30 10 4 X 1012pk0 20 30 10 4Y 4 1 0 1 即P Y 0 P X 1 0 1 P Y 1 P X 0 P X 2 0 3 0 4 0 7 2 若g x1 g x2 中不是互不相等的 则应将那些相等的值分别合并 并根据概率加法公式把相应的pi相加 就得到了Y的概率分布律 1 Y 2X 1 2 二 X为连续型随机变量 1 分布函数法 1 先求出Y的分布函数 FY y P Y y P g X y P X G 其中G x g x y 转化为关于X的事件 再利用X的分布函数表示 2 对y求导得到Y的概率密度 fY y FY y 记住此公式 例3 r v X N 2 证明X的线性函数Y aX b a 0 也服从正态分布 若f x 在有限区间 a b 以外等于零 则只需假设在 a b 上g x 严格单调 选取 min g a g b max g a g b 定理 设X是连续型r v 具有概率密度f x 设y g x 是x的严格单调函数 且反函数x h y 具有连续的导函数 当g x 严格增加时 记 g g 当g x 严格减少时 记 g g 则Y的概率密度为 2 公式法 定理中条件y g x 是X的严格单调函数是相当苛刻的 许多常见的函数都不能满足 因此 求随机变量的函数的分布时 只能按 分布函数法 直接求解