随机变量函数的分布密度.ppt

第四节随机变量函数的分布密度 已知连续型随机变量X的密度函数 随机变量Y g X 求随机变量Y的密度函数 4 1分布函数法 连续随机变量X的函数Y g X 的分布密度函数 1 使用如下公式计算Y的分布函数 2 对 求导 得到Y的密度函数 例4 1设X服从 0 1 上的均匀分布 令 求Y的密度函数 2 X的密度函数 3 X的分布函数 分析 1均匀分布的密度函数与分布函数 解 求导得 当 时 当 时 故 例4 2某人驾车从甲地到乙地 两地相距180公里 速度值服从 30 60 单位 公里 小时 区间内的均匀分布 求这段旅程所费时间的密度函数 解 设X是速度 Y g X 是这段旅程所花费的时间 则 Y的分布函数 X的密度函数 分布函数为 即 对上式求导 得Y的密度函数为 本题计算步骤 X的密度函数 X的分布函数 Y的分布函数 Y的密度函数 例4 3已知X密度函数 的密度函数 教材P64 求随机变量 解 当y 0时 应用复合函数求导法 4 2线性函数 用X的密度函数表示线性函数aX b的密度函数 第一步 计算aX的密度函数 aX的值域比X的值域大a倍 所以 aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍 但为了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1 必须将X的密度函数下拉到原来的1 a 随机变量aX b与aX一样 只是将图形平移了b个单位 最后 得到随机变量Y aX b的密度函数为 随机变量X的线性函数的分布密度函数 假设X是连续变量 密度函数为 定义 则 证明 只证a 0的情形 用复合函数求导法得 解 例4 4设X服从 0 2 上的均匀分布 密度函数 求Y 2X 1的密度函数 P63 Y的密度函数为 例4 5 指数随机变量的线性函数 随机变量X服从参数为 的指数分布 密度函数为 定义Y aX b 则 注 b 0 a 0 Y仍是指数分布 但一般情况Y不是指数分布 4 3单调函数 设 y g x 是x的单调可导函数 其反函数为x h y Y g X 的密度函数为 证 则在 内 例4 2 在区间 30 60 内 h y 180 y 所以 所以当 时 运用公式得到 时 Y的概率密度 解 是单调增加的函数 其导函数恒不为零 反函数为 例设随机变量X的密度函数为 求 的密度函数 值域为y 0 由定理可得 当 教材P65 时 概率密度为 当 的概率密度为 从而