随机变量与分布函数.ppt

随机变量及其分布 第一节随机变量与分布函数 引言 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 为了深入研究和全面掌握随机现象的统计规律 建立系统的公式与定理以便更好地分析各种与随机现象有关的实际问题 有必要将随机试验的结果数量化 即将样本空间的样本点与实数相对应 从而使得利用函数以及公理化思想分析随机问题成为可能 一 随机变量的概念 引例1 投掷均匀的骰子一枚 出现点数情况 引例2 测试灯泡寿命 引例3 某人向目标射击 命中目标次数 引例4 投掷硬币 正反两面出现情况 无论试验对应的样本空间有限或无限 是否存在数量特征 我们均可以将其量化 样本空间 实数集合 一 随机变量的概念 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样 一 随机变量的概念 1 它随试验结果的不同而取不同的值 因而在试验之前只知道它可能取值的范围 而不能预先肯定它将取哪个值 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 这种定义在样本空间上的实值单值函数X X 就是我们的随机变量 一 随机变量的概念 随机变量通常用大写字母X Y Z W N等表 而表示随机变量所取的值时 一般采用小写字母x y z w n等 一 随机变量的概念 注意 1 本质 实值单值函数 自变量为每一个样本点 因变量为普通的实数 2 随机变量取某个值意味着某个基本事件发生 随机变量在某个范围内取值意味着复合事件发生 二 引入随机变量的意义 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 没有收到呼叫 X1 X 0 例如 从某一学校随机选一学生 测量他的身高 可以把可能的身高看作随机变量X 然后我们可以提出关于X的各种问题 如P X 1 7 P X 1 5 P 1 5 X 1 7 二 引入随机变量的意义 二 引入随机变量的意义 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 二 引入随机变量的意义 试验所有可能结果 随机变量所有可能取值 某结果 事件 的概率 随机变量取某个值或在某区间取值的概率 上述两方面就是我们今后的主要研究内容 随机变量的概率分布 三 随机变量的分类 离散型 1 离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个 称为离散型随机变量 观察掷一个骰子出现的点数 随机变量X的可能值是 随机变量 连续型 例如 1 2 3 4 5 6 非离散型 其它 三 随机变量的分类 例如若随机变量X记为 连续射击 直至命中时的射击次数 则X的可能值是 例如设某射手每次射击打中目标的概率是0 8 现该射手射了30次 则随机变量X记为 击中目标的次数 则X的所有可能取值为 三 随机变量的分类 例如随机变量X为 测量某零件尺寸时的测量误差 则X的取值范围为 a b 例如随机变量X为 灯泡的寿命 2 连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间 称为连续型随机变量 则X的取值范围为 分析 例1一报童卖报 每份0 15元 其成本为0 10元 报馆每天给报童1000份报 并规定他不得把卖不出的报纸退回 设X为报童每天卖出的报纸份数 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示 当0 15X 1000 0 1时 报童赔钱 故 报童赔钱 X666 三 随机变量的分类 四 随机变量的分布函数 利用随机变量研究随机现象 首先应掌握随机事件的表示方法 因为不同类型的随机事件利用随机变量表示起来也是不一样的 1 随机事件的表示方法 思考 若任意类型的区间均可以利用某一个基础区间表示 那么研究会很方便 这样的区间存在吗 四 随机变量的分布函数 四 随机变量的分布函数 2 随机变量的分布函数 四 随机变量的分布函数 注意 四 随机变量的分布函数 因此 只要知道了随机变量X的分布函数 它的统计特性就可以得到全面的描述 四 随机变量的分布函数 3 分布函数的性质 1 单调不减性 2 非负有界性 3 右连续性 四 随机变量的分布函数 例2 解 由分布函数的性质可知 练习