阶跃函数和冲激函数.ppt

一 阶跃函数和冲激函数 我们来讨论这样的一个函数 虚线代表n增大时的变化趋势 1 4阶跃函数和冲激函数 该脉冲波形下的面积为1 不妨称其为函数的强度 宽度趋于0 幅度趋于无穷大 但强度 1 1 单位阶跃函数 2 单位冲激函数的定义有两种 狄拉克 Dirac 给出的定义 函数值只在t 0时不为零 积分面积 强度 为1 t 0时 为无界函数 n表示脉冲宽度 它们不同于普通函数 函数本身有不连续点 跳变点 或其导数与积分有不连续点的情况 这类函数统称为奇异函数 符号函数 Signum 奇异函数例 冲激函数的导数 的一阶导数称为冲激偶 可以从下述关系理解公式 单位斜变函数 若冲激不是发生在原点 而是在则记为 a 0时 a t 表示t 0处强度为a的冲激函数 a 0时 a t 表示t 0处强度为a的负冲激函数 时移的冲激函数 三 有延迟的单位冲激和单位阶跃信号 有延迟的单位阶跃信号 单位阶跃信号 阶跃信号的作用 1 利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围 例如 门函数 可表示为 阶跃信号的作用 2 表示任意的方波脉冲信号 其他函数只要用门函数处理 乘以门函数 就只剩下门内的部分 例如 如图所示的函数 可表示为 例如 如下图所示的函数 可表示为 例如 如下图所示的序列 可表示为 四 冲激函数的性质 设f t 在t 0处连续 且处处有界 则 仍为一个冲激函数 但强度为f 0 1 及其导数与普通函数的乘积 具有提取连续时间信号样本的作用 取样性质 冲激函数抽样性质证明 分和讨论 仍为一个冲激函数 但强度为f 0 1 及其导数与普通函数的乘积 取样性质 例1 4 1 分别化简函数 为常数 与的乘积 P19 解 例题 1 8 8 例1 4 2 解 如图所示 写出其用阶跃函数表示的表达式 求其导数 并画出波形 对上式求导 得 常义导数 强度等于2的冲激和强度为4的负冲激函数 其波形图见下页 冲激信号的作用1 表示信号间断点的导数 例1 4 2 解 直接画图并写出其表达式 一般 设f t 是分段连续函数 它在处有第一类间断点 则分段连续函数f t 的导数为 跳跃度 常义导数 强度等于的冲激函数 3 尺度变换 分析 用两边与f t 的乘积的积分值相等证明 分a 0 a 0两种情况 两边相等 1 尺度变换证明 2 由上述得 冲激偶尺度变换证明 1 2 得证 已知f t 画出g t f t 和g 2t 4 奇偶性 取 当n为偶数时 是t的偶函数 当n为奇数时 是t的奇函数 是t的偶函数 是t的奇函数 5 复合函数形式的冲激函数 P21 不作要求 自学 考虑 注意 只要积分区间不包括冲激信号 t t0 的t t0时刻 则积分结果必为零 冲激函数的性质总结 1 抽样性 3 奇偶性 2 尺度变换 比例性 4 微积分性质 5 冲激偶 6 卷积性质 1 5系统的描述 动态系统 指任意时刻的响应 不仅与该时刻的激励有关 而且与它过去的历史状况有关 系统按响应与激励之间的关系分为 动态系统 即时系统 任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励 而与它过去的历史无关 如 加法器 数乘器等 即时系统 激励与响应均为连续信号的系统 为连续系统 激励与响应均为离散信号的系统 为离散系统 系统按响应与激励的信号形式 连续系统 离散系统 一 系统的数学模型 描述连续系统的数学模型 微分方程 描述离散系统的数学模型 差分方程 描述系统的方法有多种形式 方程描述 输入输出方程和状态方程两种 框图描述 信号流图描述 系统函数 系统单位冲激响应 描述等 系统的各种描述方式之间可以相互转换 对于一个确定的系统 输入输出方程形式唯一 系统函数唯一 而状态方程 框图 信号流图均可有多种形式 例1 如图所示电路 写出 解 1 激励 响应 代入 1 式得 以为响应 则 微分方程的一般形式 一般 例2 某人向银行贷款万元 月息为 他定于每月初还款 设第月初还款为万元 若令第月尚未还清的钱款数为万元 则有 差分方程的一般形式 一般 二 系统的框图表示 在用方框图描述时 常用的基本单元有 积分器 延时器 除了利用数学表达式描述系统模型外 也可以借助方框图表示系统模型 数乘器 加法器 延迟单元 例1 5 1已知某连续系统的框图 写出系统的微分方程 解 书上25页 例5 1 2某连续系统如图所示 写出该系统的微分方程 解 先设中间变量 再对两个加法器列方程 最后消去中间变量 书上25页 对连续系统 设其最右端积分器的输出为x t 对两个加法器列式 消去中间变量 用乘 用乘 又 例5 1 3 某离散系统如图所示 写出该系统的差分方程 解 先设中间变量 再对两个加法器输出列方程 最后消去中间变量 对离散系统 设其最左端延时器的输入为x k 书上27页 对两个加法器列式 消去中间变量 用乘以 用乘以 总之 已知框图列写其微分 或差分方程 的一般步骤是P27 连续系统 设最右端的积分器输出为 2 逐个写出加法器输出信号的方程 3 消去中间变量 1 选中间变量 离散系统 设最左端的迟延单元输入为 例5 1 2某连续系统如图所示 写出该系统的微分方程 书上26页 消去中间变量的最终结果 简单替换结果一致 例5 1 3 某离散系统如图所示 写出该系统的差分方程 P27 1 6系统的特性和分析方法 对于连续或离散的动态系统 按基本特性可分为线性系统与非线性系统 时变系统与非时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与非稳定系统等等 本书主要讨论LTI LinearTimeInvariant 系统 一 线性 设系统的激励与响应之间的关系为 线性性质包括两个内容 齐次性和可加性 激励作用于系统所引起的响应为 1 齐次性 2 可加性 一个系统既是齐次的又是可加的 则称该系统是线性的 一 线性 线性特性 设为任意常数 则对于线性系统应有 动态系统的响应取决于 输入信号 初始状态 这样 动态系统在任意时刻 或 的响应可以由初始状态和区间或上的激励完全的确定 为简便 设初始时刻为 系统的完全响应可写为 根据线性性质 线性系统的响应是和单独作用所引起的响应之和 即 零输入响应 零状态响应 分解特性 这样 动态系统是线性系统 应满足 1 分解特性 2 零输入线性 当有多个初始状态时 对所有的初始状态呈线性 3 零状态线性 当有多个激励时 对所有的呈线性 总之 一个既具有分解特性 又具有零状态线性和零输入线性的系统 称为线性系统 否则称为非线性系统 例题 补充 设初始状态为x 0 激励为f t 试判断下列系统是否为线性系统 解 由于无法区分 所以不是线性系统 满足分解特性 不满足零状态线性 所以不是线性系统 不具有零状态线性 满足分解特性 所以不是线性系统 系统时不变认识 二 时不变性 对一个系统 若激励在时间上有一个任意平移 都导致零状态响应在时间上有相同的平移 则称该系统为时不变系统 否则称为时变系统 电路分析上看 元件的参数值是否随时间而变 从方程看 系数是否随时间而变 从输入输出关系看 线性时不变系统可由常系数的线性微分方程式或差分方程式描述 称该系统为时不变系统 对一个系统 若激励在时间上有一个任意平移 都导致零状态响应在时间上有相同的平移 则称该系统为时不变系统 否则称为时变系统 例 判断下列系统是否为时不变系统 解 所以 该系统为时不变系统 所以 该系统为时变系统 系统作用 对输入信号作余弦运算 系统作用 输入信号乘cost 所以 该系统为时变系统 所以 该系统为时变系统 直观判断方法 若f 前出现变系数 或有反转 展缩变换 则系统为时变系统 例 判断下列系统是否为时不变系统 根据LTI系统的线性和时不变性 可得到LTI系统的微分特性和积分特性 书上29页 一个系统既是线性又是时不变的 称线性时不变系统 简记为LTI系统 利用这两个性质可简化计算 例1 6 1某连续系统和离散系统的全响应分别为 P29 解 1 系统的零输入响应和零状态响应分别为 符合分解特性 满足零输入线性和零状态线性 因而该系统是线性的 由于是在时接入的 在时 故上式可改写为 故该系统是时不变的 令 则 代入上式 相应的积分限改写为到 得 解 2 系统的零输入响应和零状态响应分别为 而且零输入响应满足零输入线性 但零状态响应不满足可加性 因为一般而言 故该系统是非线性的 符合分解特性 故该系统是时不变的 时不变性 直观判断方法 若f 前出现变系数 或有反转 展缩变换 则系统为时变系统 三 因果性 1 定义 零状态响应不出现于激励之前的系统 或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值 而与将来时刻的输入值无关 称为因果系统 想一想 的系统是不是因果系统 设 则 可见在区间 即零状态响应出现于激励之前 因而该系统是非因果的 2 因果 Causality 非因果系统直接判断法 响应不会超前于激励出现的系统 未来的激励 都是因果系统 常把t 0时接入系统的信号 即在t 0 f t 0的信号称为因果信号或有始信号 3 因果信号 表示为 四 稳定性 对有界的输入 系统的零状态响应也是有界的 这称为有界输入有界输出稳定 简称为稳定 更确切的说 若系统的激励时 其零状态响应 就称该系统是稳定的 否则称为不稳定的 BIBO BoundedInput BoundedOutput 显然 无论激励是何种形式的序列 只要它是有界的 那么也是有界的 因而该系统是稳定的 例1 是否稳定 它随时间t无限增长 故系统是不稳定的 判断一个系统是否稳定 若用此BIBO方法判断 则必须逐一检验所有的有界输入均为有界输出 因无法穷尽所有的有界输入是否都为有界输出 所以该方法太复杂 进一步需到第七章讲解 建立系统模型或描述系统的方法有多种形式 方程描述 输入输出方程和状态方程两种 框图描述 信号流图描述 系统函数描述等 系统函数在分析LTI系统中起重要的作用 信号流图将系统方程 框图和系统函数联系在一起 并把系统的时域响应与频域响应联系起来 五LTI系统分析方法概述 系统分析简言之就是建立表征系统的数学方程并求解 着眼于激励与响应的关系 而不考虑系统内部变量情况 单输入 单输出系统 列写一元n阶微分方程 输入 输出描述法 状态变量分析法 1 建立系统模型的两种方法 不仅可以给出系统的响应 还可以描述内部变量 如电容电压或电感电流的变化情况 研究多输入 多输出系统 列写多个一阶微分方程 2 数学模型的求解方法 1 时域法 计算较复杂 但物理概念清楚 2 变换域法 傅里叶变换 FT拉普拉斯变换 LTz变换 ZT离散傅里叶变换 DFT离散沃尔什变换 DWT l 卷积积分 或卷积和 法 系统的分类 习题一 习题一 习题1 27 某LTI连续系统 其初始状态一定 已知当激励为时 其全响应 若初始状态不变 激励为时 其全响应为 求初始状态不变 而激励为时系统的全响应 解 设零输入响应为 单独作用产生零状态响应为 当激励为时 其全响应 当激励为时 其全响应 所以 当激励为时 其全响应 已知f t 画出g t f t 和g 2t 作业 1 1 4 9 1 2 1 4 8 11 1 3 a b c 1 4 a b 1 5 2 5 1 6 5 7 1 7 4 5 1 91 10 2 3 6 7 8 1 20 b c 1 23 1 4 1 25 3 4 8 1 261 291 301 32