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第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形(第2课时）教学目标1.理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2.了解菱形的现实应用和常用判别条件. 过程与方法1.从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2.让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观1.让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2.通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用.重点与难点【重点】菱形的定义和判定定理的运用.【难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.教学准备【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习菱形的定义及其性质.新课导入:1.菱形有哪些性质?其中哪些是平行四边形所没有的?学生思考、交流.在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分菱形四条边都相等,对边平行对角相等垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图).提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形.学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形.计算下列各题:(1)菱形周长为20,一条对角线的长为8,则另一条对角线的长为.(2)菱形的两条对角线分别为6,8,则这个菱形的面积为,边长为.(3)菱形的一个内角为120,一条较长的对角线的长为10,则菱形的周长为.(4)上面的计算中,用到了菱形的哪些特性?学生先独立完成,同桌交流,并检查.(1)由“菱形的四条边都相等”得边长为5,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的另一条对角线的长为6.(2)由“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”得菱形的面积为24,由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理可得菱形的边长为5.(3)由“菱形的对角线互相垂直且平分”和勾股定理建立方程,计算可得菱形的边长为,周长为.(4)上面的计算中,用到的菱形特性有:菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直且平分;菱形的每一条对角线平分一组对角.提问:如果一个四边形是平行四边形,则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形?依据是什么?根据菱形的定义可知:一组邻边相等的平行四边形是菱形.所以只要再有一组邻边相等的条件即可.追问:要判定一个四边形是菱形,除根据定义判定外,还有其他的判定方法吗?1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形思路一提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗?学生思考:这个命题的条件是什么?结论是什么?先画出图形,写出已知和求证.已知:在ABCD中,对角线ACBD于点O,如图.求证:ABCD是菱形.小组讨论,交流:可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由AOB=AOD=90及AO=AO,得AOBAOD,可得到AB=AD(或根据线段垂直平分线的性质定理,得到AB=AD),最后证得ABCD是菱形.学生整理证明过程.证明:四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,ACBD,AB=AD,ABCD是菱形.通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.提示:此定理包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直.用符号语言表述为:在ABCD中,对角线ACBD,ABCD是菱形.思路二请指出下列命题的条件、结论及它的逆命题,判断该逆命题的真假,并说明理由.(1)菱形的对角线互相垂直;(2)菱形的四条边都相等.师生交流、实验、猜想、证明.命题“菱形的对角线互相垂直”的条件是:四边形是菱形,结论是:对角线互相垂直.它的逆命题是:对角线互相垂直的四边形是菱形.该逆命题是假命题.如图,四边形ABCD中,对角线ACBD,显然它不是菱形.追问:“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题,那么“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题,还是假命题?请说明理由.学生再分析发现:“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是真命题.理由如下:已知:如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证:ABCD是菱形.解析要证明ABCD是菱形,只要证明有一组邻边相等即可.证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).教师总结:通过大家猜想、证明,我们得到了菱形的一个判定定理.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.根据这个判定定理,以后要判定一个四边形是菱形,只需要满足两个条件:对角线互相垂直;平行四边形.用符号语言表述为:在ABCD中,对角线ACBD,ABCD是菱形.2.四条边相等的四边形是菱形思路一已知线段AC,分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D.所得四边形ABCD是菱形,你知道其中的道理吗?学生跟着老师一起画图,各抒己见.一生介绍自己的想法:由作法知四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).AB=AD,四边形ABCD是菱形(菱形的定义).教师引导学生经过猜想、证明,得出菱形的一个判定定理.定理:四条边相等的四边形是菱形.用符号语言表述为:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形.学生讨论,交流.命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题.理由如下:已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形.解析根据菱形的定义,只需证四边形ABCD是平行四边形即可.证明:AB=BC=CD=DA,四边形ABCD的两组对边分别相等.四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).AB=AD,四边形ABCD是菱形(菱形的定义).师:通过大家猜想、证明,我们又得到了菱形的一个判定定理.定理:四条边相等的四边形是菱形.用符号语言表述为:四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形.至此,我们得到了菱形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用菱形的定义、定理来解决问题.课堂小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.布置作业【必做题】教材第58页练习第1,2,3题;教材第60页习题18.2第6题.【选做题】教材第61页习题18.2第10题.教学后记：
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